四種命題、充要條件學案專題

1、全國名校高考數(shù)學復習優(yōu)質(zhì)專題、 學案匯編（附詳解）四種命題、充要條件【考綱要求】1理解命題的概念.2、了解“若P,則q”形式的命題及其逆命題、否命題與逆否命題，會分析 四種命題的相互關(guān)系。3、理解必要條件、充分條件與充要條件的意義.【知識網(wǎng)絡】【考點梳理】一、命題：可以判斷真假的語句。二、四種命題原命題：若P則q ;原命題的逆命題：若q則P ;原命題的否命題：若P ,則q ;原命題的逆否命題：若q，則P三、四種命題的相互關(guān)系及其等價性 1四種命題的相互關(guān)系原命題 若P則q否命題 若一 P貝 一* q*互互 逆互 逆互為逆否逆命題 若q則P逆否命題 若-'q則-'p2、互為逆否關(guān)

2、系的命題同真同假，即原命題與逆否命題的真假性相同，原 命題的逆命題和否命題的真假性相同。所以，如果某些命題（特別是含有否定 概念的命題）的真假性難以判斷，一般可以判斷它的逆否命題的真假性。四、充分條件、必要條件和充要條件1判斷充要條件，首先必須分清誰是條件，誰是結(jié)論，然后利用定義法、 轉(zhuǎn)換法和集合法來判斷。如：命題P是命題q成立的XX條件，則命題 P是條件，命題q是結(jié)論。全國名校高考數(shù)學復習優(yōu)質(zhì)專題、 學案匯編(附詳解)又如-：命題P成立的XX條件是命題q，則命題q是條件，命題P是結(jié)論。又如：記條件p,q對應的集合分別為A,B則A U B ,則P是q的充分不必要條件；A二B,則P是q的必要不充

3、分條件。2、“= ”讀作“推出”、“等價于”。p= q，即P成立，則q 一定成立。3、充要條件已知命題P是條件，命題q是結(jié)論(1)充分條件：若P二q,則P是q充分條件.所謂“充分”，意思是說，只要這個條件就夠了，就很充分了,不要其它條件了。女口： x：3是x：4的充分條件。(2)必要條件：若q= P,則P是q必要條件.所謂“必要”，意思是說，這個條件是必須的，必要的，當然， 要其它條件。女口：某個函數(shù)具有奇偶性的必要條件是其定義域關(guān)于原點對稱。 奇偶性首先必須定義域關(guān)于原點對稱，否則一定是非奇非偶。但是定義域關(guān)于還有可能需函數(shù)要具有原點對稱并不就一定是奇偶函數(shù)，還必須滿足f(-x)= f(x)

4、才是偶函數(shù)，滿足f (-X)= f(X)是奇函數(shù)。(3)充要條件：若P二q ,且q= P，則P是q充要條件.【典型例題】類型一：四種命題及其關(guān)系例1.寫出命題“已知a,b是實數(shù)，若ab=0,則a=0或b=0”的逆命題，否命題，逆否命題，并判斷其真假。解析：逆命題：已知a,b是實數(shù)，若a=0或b=0,則ab=0,真命題;否命題：已知a,b是實數(shù)，若abM0，則0且0，真命題;逆否命題：已知a,b是實數(shù)，若aM0且bM0，則abM0，真命題。點評:1.“已知a,b是實數(shù)”為命題的大前提，寫命題時不應該忽略;2. 互為逆否命題的兩個命題同真假;3. 注意區(qū)分命題的否定和否命題.全國名校高考數(shù)學復習優(yōu)

5、質(zhì)專題、 學案匯編(附詳解)舉一反三：【變式】寫出下列命題的否定，并判斷真假.2(1) ? X R, X +X+ 1>0；1 1（2） ? X Q, 3X2 + 2X+ 1 是有理數(shù);？ a、R,使 sin（ a+p） = sin a+sin p；？ X，y Z,使 3x 2y 工 10.【解析】（1）的否定是“ ？ X R, x2+x+ K0” .假命題.1 1 的否定是“ ？ X Q, 3X2 + 2X+ 1不是有理數(shù)”.假命題.成等比數(shù)列；q : （a12 +a；+ 11|+a2）（a；+a； +|+a2）=（a1a2 +a2a3+|11 + anan）2，則（）A.B.C.p是q

6、的充分條件，但不是q的必要條件p是q的必要條件，但不是q的充分條件p是q的充分必要條件D.p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件【答案】A解析:試題分析：對命題p： a1, a2,，an成等比數(shù)列，則公比q=(n>3)且an an對命題 q,當 an=0 時，（a2 +£ + HI+aLxa； +£ + 川+a2）二點代 +0203 +川 + aan）2成立；當anM 0時，根據(jù)柯西不等式，等式（aj+ Hf+a24）（a2+川*2）=向2 +003 +川 *山3訂2 成立,全國名校高考數(shù)學復習優(yōu)質(zhì)專題、 學案匯編（附詳解）則生二色V電1，所以a1，&, a

7、n成等比數(shù)列，所以P是q的充分條 a2a3an件，但不是q的必要條件.故選A點評：1. 處理充分、必要條件問題時，首先要分清條件與結(jié)論；2. 正確使用判定充要條件的三種方法，要重視等價關(guān)系轉(zhuǎn)換 舉一反三：的(A)(B)(C)(D) 【答案】【變式】（優(yōu)質(zhì)試題 天津高考）設(shè)xR，則“|x-2山1 ”是“ x2+x-20 ”充分而不必要條件 必要而不充分條件 充要條件既不充分也不必要條件A解析：x -刀燈的解集為（1，3），X2 +x-2 >0的解集為（-,-2）U（1,xc），故| X-2| cl是X2 +x-2 aO的充分不必要條件。故選：A.類型三：求參數(shù)的取值范圍例4.已知me R,

8、設(shè)P： Xi和X2是方程X2 ax 2= 0的兩個根，不等式| m5| <1 xi -24X2|對任意實數(shù)ae 1,2恒成立；Q:函數(shù)f（X）= 3x + 2mx+ m+3有兩個不同的零點.求使“P且Q'為真命題的實數(shù)m的取值范圍.解析：由題設(shè) Xi+ X2 = a, XiX2= 2,|xi X2| = 7(xi + X2)2 4xiX2 =a2 + 8.當ae 1,2時，70+8的最小值為3.要使| m 5| <1 Xi -X2|對任意實數(shù)a e 1,2恒成立，只須| m 5| < 3，即2<8.由已知，得f（x） = 3x2 + 2m）+ n+ 3= 0的判

9、別式 = 4甫一12(0+ 4) = 4吊一12m- 16>0,3得 n< 1 或 m>4.全國名校高考數(shù)學復習優(yōu)質(zhì)專題、 學案匯編(附詳解)綜上，要使“ PAQ'為真命題，只需P真Q真，即 r 2<m<8Im V -1或m a/解得實數(shù)m的取值范圍是(4,8.點評：從認知已知條件切入，將四種命題或充要條件問題向集合問題轉(zhuǎn)化，是解決 這類問題的基本策略。舉一反三：【變式】設(shè)命題P:|4x耳<1 ;命題q:x2 (2a+1)x + a(a+1)<0，若卩是q 的必要而不充分條件，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】由題意知：命題：若-P是-q的必要而不充分條件的等價命題即逆 否命題為：P是q的充分不必要條件.1P : 4x 3 蘭1 二一蘭 X <1 ;2q : X2 -(2a +1)x +a(a +