定積分的概念教學(xué)案例設(shè)計(jì)

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載定積分的概念教學(xué)案例設(shè)計(jì)1教學(xué)目標(biāo)及重點(diǎn)、難點(diǎn)1.1教學(xué)目標(biāo)知識目標(biāo)：1. 通過求曲邊梯形的面積和變速直線運(yùn)動的路程，了解定積分概念的 實(shí)際背景意義；2. 借助于幾何直觀理解定積分的基本思想，了解定積分的概念，會應(yīng) 用定積分的定義求函數(shù)的定積分.3. 理解掌握定積分的幾何意義和性質(zhì)；能力目標(biāo)：體會“以直代曲”，“無限逼近”，“近似代替”等數(shù)學(xué)思想. 情感態(tài)度價值觀：體會定積分在實(shí)際問題中的應(yīng)用，體會數(shù)學(xué)的強(qiáng)大威力.1.2教學(xué)重點(diǎn)1.3微元法思想和定積分的基本性質(zhì) 教學(xué)難點(diǎn)無限細(xì)分和無窮累積的思維方法2教學(xué)過程簡錄2.1實(shí)例鋪路，引出課題教師：“回憶前面曲邊圖形面積，變速運(yùn)動的路

2、程，變力做功等問題的解決方法, 解決步驟是什么？”學(xué)生：分割4以直代曲冷求和二取極限（逼近） 教師：“對這四個步驟再以分析、理解、歸納，找出共同點(diǎn).” 師生共同歸納得出，以上兩個例子盡管來自不同領(lǐng)域，卻都?xì)w結(jié)為求同一結(jié)構(gòu)的和式的極限.我們以后還將看到，在求變力所作的功、水壓力、某些空間體的體積等許 多問題中，都會出現(xiàn)這種形式的極限，因此，有必要在數(shù)學(xué)上統(tǒng)一對它們進(jìn)行研究.2.2演示驗(yàn)證，直觀感知教師：“讓我們再次回顧解決曲邊梯形的面積的方法，體會當(dāng)中蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想 （教師動畫演示對曲邊梯形的分割過程）円 W 三 E -aiPP JZtTT Qi* 村 L jCJ耳 25 利葉oA y卜：>

3、;n = H,Onn伸12£ lUMU rillUIUTJ OJ0272Sftmft-n彳(1.107100.17TJ6AOJ72Bfi7njpTE-ns.tn m 11MaD.»F>11訃*'E1d.KH-Vih-hlklaaUjfJBP*TII PM _OMrpIf*11EL+1LJ1'UJ1141 :JCiM-t:* BIU.TU+JkLHl叭 *-ri-c -R I 31-1>1 ma ” Zv：丨Ed. IrZ：*1ft-»：h.hfl* 心已"£&工;和"J 丁廠=1廠町-十】 今“!&

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6、m*r'4HMWJ7fhhiVmh>1'電 FMKrp''MWfItff'*MW'AMHWriTFTmhwu'Tmw*If'MMW市/*nr'NfhhTW' Zb教師：體現(xiàn)了哪些數(shù)學(xué)思想，哪位同學(xué)說說？學(xué)生1:以上對曲邊梯形的無限分割體現(xiàn)了“無限逼近”的思想。學(xué)生2:還有“近似代替”的思想，用不足近似值和過剩近似值代替曲邊梯形的面積， 以及“以直代曲”的思想.教師：這種求面積的方法具有普遍意義，為此，引入定積分的概念.2.2.1定積分的概念設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上有定義，任意用分點(diǎn)a = Xo <X

7、i CX2 < ”yxn =b將a,b分成n個小區(qū)間，用Axi =Xi-xy表示第i個小區(qū)間的長度，在人_,必上任取一點(diǎn)q，作乘積f (£ )也Xi , i =1,2，；n .再作和n無f (©於Xi .i4若當(dāng)A=max£XiT 0時，上式的極限存在，則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間a,b上可積，并稱此極限值為其中bf(x)在a,b上的定積分,記作fa f(x)dx.即bn(1)a f(x)dx=limS f(©疋Xi.分區(qū)間，a, b分別稱為積分下限和上限.f(X)稱為被積函數(shù)，f(x)dx稱為被積表達(dá)式，X稱為積分變量，a,b稱為積許多實(shí)際問題都可用定

8、積分表示.例如，若變速直線運(yùn)動的速度為v(t)，則在時間區(qū)間a,b 上,物體經(jīng)過的路程為bs = v(t)dt.同理，圖5- 1所示的曲邊梯形面積可表為x圖5- 1bA = f f (x)dxabW = f F(r)dra變力做功I. f(x)在a,b可積，是指不管對區(qū)間分劃的方式怎樣，也不管點(diǎn)在小區(qū)間Xi彳,Xi上如何選取，只要AT 0，極限值總是唯一確定的.哪些函數(shù)是可積的呢?定理 在閉區(qū)間a,b上連續(xù)的函數(shù)必在a,b上可積；在區(qū)間a,b上有界且只有有限個間斷點(diǎn)的函數(shù)也必在a,b上可積.II .定積分是一個數(shù)，只取決于被積函數(shù)與積分區(qū)間，而與積分變量的記號無關(guān),III2.2.2bbbt f

9、 (x)dx = f (u)du = L f (t)dt .定義定積分時已假定下限a小于上限b，為便于應(yīng)用，規(guī)定當(dāng)b<a時,baJa f(x)dx = b f (x)dx .af f(x)dx=0 . a定積分的幾何意義若f(X)>0，則積分bf(x)dx表示如圖所示的曲Wo J：j4-x2dx邊梯形的面積，即bila f (x)dx = A .b特別地，當(dāng)a=b時，有a f (x)dx=0o 針對訓(xùn)練：用定積分表示下列圖形的面積yky = SUL jro1芋、JA* X(兩名學(xué)生上黑板板書)1學(xué)生 1:2xdx學(xué)生 2： Jsinxdx隨堂檢測：利用定積分的幾何意義求值2(1)

10、(x+1)dx,x-2,2表示圓心在原點(diǎn)，半徑為2的半圓，此積分計(jì)算的是半圓的面積 秤分計(jì)算的是半圓周的面積。1（2）xdx匸 1（略）（略）b這是顯然的，因?yàn)榇藭r曲邊梯形各點(diǎn)處的高是-f（X）而不是 f（X）.學(xué)生3：（略）學(xué)生4:被積函數(shù)y=J4-X2半徑為計(jì)算下列定積分5（1） l（2x -4）dx學(xué)生5：學(xué)生6：、II .若f（x）0，則積分f（x）dx表示如圖5-3所示的曲邊梯形面積的負(fù)值，即對定積分的幾何意義的幾點(diǎn)補(bǔ)充說明：根據(jù)定積分的幾何意義，如何用定積分表示圖中陰影部分的面積 ？可以用兩部分面積的差表示:學(xué)生7：bbbb軸上方的圖形面積減去x軸下方的圖形面積：f f (x)dx

11、 A2+A3 a2.2.3定積分的性質(zhì)根據(jù)定積分的定義，不難得出定積分的如下性質(zhì):性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)3性質(zhì)4b1dx =b -abbf kf (x)dx = k f f (x)dxaFbbf f1(X 上 2 (x)dIaabcbJ f ( X)d x J f x d x Jaac(其中k是不為0的常數(shù))1 f ( X)也Jx 2 f( x(f)x其中 < a(定積分的線性性質(zhì))(定積分的線性性質(zhì))(定積分對積分區(qū)間的可加性)教師：你能將性質(zhì)4可加性推廣到更一般的情況嗎？(學(xué)生展開討論，選取幾個油代表性的，師生共同歸納得出)、bb說明：推廣：Jaf1(x)±f2(x)±

12、|i±fm(x)dx=rf1(x)dx± j； f2(x)dx±)H± Jc fm(x),bc1c2b 推廣：f f(x)dx= f(x)dx+ f (x)dx + |(|+ f"a"a"01q 性質(zhì)解釋：aC2aa性質(zhì)1y=if (x)dx%邊梯形AMNB邊梯形AMPC練習(xí)：1、根據(jù)定積分的可加性，可將下列定積分 學(xué)生8： 1 2 2 2 2J0(2x-x2)dx = t 2xdx - L X dxS®邊梯形CPNB(2x-x2)dx 表示為?2、計(jì)算定積分:(0,1)5(1)(2x-4)dx("Ldx

13、學(xué)生2.39： (2)式表示半圓發(fā)散思考，深入探索不計(jì)算積分，比較下列各組積分的大小E(1,0>(2)21 xdx10xdx01Jox2dxIn。+ x)dx.U2 Sin Xdx sin xdx（4）（四名同學(xué)板演，教師巡視，各小組共同討論得出） 學(xué)生10:在同一區(qū)間內(nèi)，函數(shù)值大的，對應(yīng)的定積分值大。 學(xué)生11:同一函數(shù)在不同區(qū)間內(nèi)的積分值比較大小，先看函數(shù)值的正負(fù)，再看區(qū)間范 圍的大小.教師：表述更嚴(yán)謹(jǐn)應(yīng)該怎么說？ 學(xué)生11:應(yīng)該是區(qū)間長度的大小.教師：推廣到一般情形呢？:學(xué)生12:若在區(qū)間a,b上,f(x) >0，則bf f (x)dx > 0 .-a學(xué)生13:若在區(qū)間a,b 上,f(x)<g(x)，則bbJa f(X)dX<g(x)dx .學(xué)生14：先畫圖再定值.b比較積分區(qū)間上兩函數(shù)大小，再由a-a(3)令 F(x) =x-ln(1 +x), F (x) =1 bf (x)dx < J g(