實(shí)數(shù)典型例題(培優(yōu))

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載實(shí)數(shù)典型問題精析（培優(yōu)）例1 . （2009年烏魯木齊市中考題）J2的相反數(shù)是（A . -s/2 B .邁 C.-D .返分析：本題考查實(shí)數(shù)的概念相反數(shù),要注意相反數(shù)與倒數(shù)的區(qū)別， 實(shí)數(shù)a的相反數(shù)是-a,選A.要謹(jǐn)防將相反數(shù)誤認(rèn)為倒數(shù)，錯選D.例2 . （2009年江蘇省中考題）下面是按一定規(guī)律排列的一列數(shù):第3個數(shù)：1-114 I+)；第 2個數(shù)：1 - 1+ fi1 +2丿3 I 2八-州十日:丫1+凹11 +應(yīng)丫1+旦丫1+旦丫1+凹3人 4人 5人 6丿1第n個數(shù)：厶川1 +（-1）2仃-1）3I 2八11 +2n丿那么，在第10個數(shù)、第11個數(shù)、第12個數(shù)、第13個數(shù)

2、中，最大的數(shù)是（A .第10個數(shù)B .第11個數(shù)C.第12個數(shù)D .第13個數(shù)解析：許多考生對本題不選或亂選，究其原因是被復(fù)雜的運(yùn)算式子嚇住了，不善于從復(fù)雜的式子中尋找出規(guī)律，應(yīng)用規(guī)律來作出正確的判斷也有一些考生盡管做對了，但是通過寫出第10個數(shù)、第11個數(shù)、第12個數(shù)、第13個數(shù)的結(jié)果后比較而得出答案的，費(fèi)時費(fèi)力，影響了后面試題的解答，造成了隱性失分.本題貌似復(fù)雜，其實(shí)只要認(rèn)真觀察，就會發(fā)現(xiàn)，從第二個數(shù)開始，減數(shù)中的因數(shù)是成對增加的，且增加的每一對數(shù)都是互為倒數(shù)，所以這些數(shù)1 1111的減數(shù)都是 丄，只要比較被減數(shù)即可，即比較 丄、丄、丄、丄 的大小，答案一目了然2 11 12 13 14例

3、3 （荊門市）定義 ab = a2 b,則（1探2）探3 =解 因?yàn)閍探b= a2 b，所以(1：)3 = (12 2)探3 = ( 1)探3= ( 1)2 3 = 2.故應(yīng)填上 2.說明：求解新定義的運(yùn)算時一定要弄清楚定義的含義，注意新定義的運(yùn)算符號與有理數(shù)運(yùn)算符號之間的關(guān)系，及時地將新定義的運(yùn)算符號轉(zhuǎn)化成有理數(shù)的運(yùn)算符號例4 （河北?。┕畔ＥD著名的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派把1、3、6、10、，這樣的數(shù)稱為 三角形數(shù)”而把1、4、9、16、，這樣的數(shù)稱為 正方形數(shù)”從如圖所示中可以發(fā)現(xiàn)，任何一個大于1的正方形數(shù)”都可以看作兩個相鄰三角形數(shù)”之和.下列等式中，符合這一規(guī)律的是（A.13 = 3+10B.

4、25 = 9+16C.36= 15+21D.49 = 18+31r:亦總4=1+3* * * * * *9=3+616=6+10解 因?yàn)?5和21是相鄰的兩個 三角形數(shù)”，且和又是36,剛好符合 正方形數(shù)”，所以正方形數(shù)”,36= 15+21符合題意，故應(yīng)選 C.（說明 本題容易錯選B,事實(shí)上，25雖然是而9和16也是正方形數(shù)”，并不是兩個相鄰三角形數(shù)”）.例5. （2009年荊門市中考題）若 J口+ y）2，則x y的值為（A . 1 B . 1 C . 2 D . 3分析：因?yàn)閤-1 0, 1-x 0，所以x 1 ,x0a+b-2=2 ,2a-b+4 =3 2 聯(lián)立解方程組，得:代入已知條

5、件得： M，所以M+N=J9+*3=3 + 0 = 3故M+ N的平方根是 J3。練習(xí)：1.已知Jx + 2y = 3, *4x3y=2，求x + y的算術(shù)平方根與立方根。的值。2.若一個正數(shù)a的兩個平方根分別為X +1和X + 3 ,求a2005（大小比較）例4.比較a、Ja的大小。a分析：要比較a、1、爲(wèi)的大小，必須搞清 a的取值范圍，由-知aHO，由 石知aaa 0，綜合得a 0，此時仍無法比較，為此可將 a的取值分別為0 c a c 1 ，a = 1 ;a A1三種情況進(jìn)行討論，各個擊破。當(dāng)01時，仿取特殊值可得 a aa（利用取值范圍）例5.已知有理數(shù)a滿足2004 - a + Ja

6、 - 2005 = a，求a - 20042的值。分析：觀察表達(dá)式 Ja - 2005中的隱含條件，被開方數(shù)應(yīng)為非負(fù)數(shù)即a -2005 0，亦即a 2005，故原已知式可化為:-(2004-a) + Ja -2005 =a. Ja -2005 = 2004. a-2005 = 20042 a-20042 =2005練習(xí)： 若X、y、m適合關(guān)系式J3x + 5y -3 - m + J2x +3y - m = Jx 2005+ y + J2005 - x - y，試求 m 的值。(思路:x-2005+y與2005-x-y互為相反數(shù)，且均有算術(shù)平方根，故二者分別為0)(規(guī)律探索)例6.借助計算器計算

7、下列各題:(1) Jl1 -2 (2) J1111-22 (3)-222 (4)- 2222仔細(xì)觀察上面幾道題及其計算結(jié)果，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？你能解釋這一規(guī)律嗎?分析：利用計算器計算得：(1) J11 - 2 =3，(2) J1111 -22 = 33(3) J111111 -222 =333，(4)心1111111 -2222 = 3333觀察上述各式的結(jié)果， 容易猜想其中的規(guī)律為： 2n個1與n個2組成的數(shù)的差的算術(shù)平方根等于n個3組成的數(shù)。即(111 -22；二2 =33二3Y 2n個1n個2n個3實(shí)數(shù)思想方法小結(jié)實(shí)數(shù)是整個數(shù)學(xué)學(xué)科的基礎(chǔ)，對于初學(xué)者來講，有些概念比較抽象、難懂，但是，如

8、果我們運(yùn)用數(shù)學(xué)的思想方法來指導(dǎo)本章的學(xué)習(xí),卻會收到良好的效果.那么，在本章中有哪些重要思想方法呢?、估算思想估算能力是一種重要的數(shù)學(xué)思維方法，估算思想就是在處理問題時，采用估算的方法達(dá)常用到估算的到問題解決的目的，在遇到無理數(shù)的大小比較或確定無理數(shù)的范圍等問題時, 方法進(jìn)行解決。例1估計10+ 1的值是()(A )在 2和3之間(B )在 3和4之間(C)在4和5之間(D )在 5和6之間分析：此題主要考查學(xué)生的估算能力，首先要確定伍的取值范圍，在估算低+ 1的取值范圍。因?yàn)?9V 10 16,所以J9 vQ10v JT6，即3V仲V 4, 410+1 0時，a的平方根是 Ta，即a是非負(fù)數(shù).

9、例1、若J2 一X 一Ux 一2 _y = 6,求y的立方根.分析認(rèn)真觀察此題可以發(fā)現(xiàn)被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，即 2-x 0,得 xw 2;x 2 0,得 x 2;進(jìn)一步可得x=2.從而可求出y= 6.2 -X 0Lx -2 0嚴(yán)2 x=2;jx 2xQ當(dāng) x=2 時,y= 6. y =( 6) =36.所以yx的立方根為痂.二、巧用正數(shù)的兩平方根是互為相反數(shù)求值我們知道，當(dāng)a0時，a的平方根是 ja，而(+ja)+(Ji) =0.已知：一個正數(shù)的平方根是2a 1與2 a，求a的平方的相反數(shù)的立方根分析由正數(shù)的兩平方根互為相反得:(2a 1)+(2 a)=0,從而可求出 a= 1,問題就解 2a 1

10、 與 2 a 是一正數(shù)的平方根，二(2a 1)+(2 a)=0, a= 1.的平方的相反數(shù)的立方根是3口 =-1.三、巧用算術(shù)平方根的最小值求值我們已經(jīng)知道ja 0,即a=o時其值最小，換句話說ja的最小值是零.例3、已知：y= Ja -2 + J3(b +1),當(dāng)a、b取不同的值時，y也有不同的值.當(dāng)y最小a時,求b的非算術(shù)平方根.(即負(fù)的平方根)分析y= Ja -2 + J3(b +1),要y最小，就是要 g- 2和J3(b +1)最小,而 Ja -2 0, j3(b+1) 0，顯然是 Ja -2 =0 和 J3(b + 1)=0，可得 a=2,b= 1.解 Va-2 0, j3(b+1)

11、 0,y= Ja-2 +j3(b+1) , J a-2=0 和 J 3(b + 1) =0時，y 最小.由 Ja -2=0 和 J3(b 十1) =0,可得 a=2,b= 1.所以ba的非算術(shù)平方根 是-= -1.四、巧用平方根定義解方程2我們已經(jīng)定義：如果x=a ( a 0)那么x就叫a的平方根.若從方程的角度觀察，這里的x實(shí)際是方程x2=a (a 0)的根.例4、解方程（X+1）2=36.分析把X+1看著是36的平方根即可.解( X+1) 2=36X+1看著是36的平方根.x+1= 6.X1=5 , x2= 7.例4實(shí)際上用平方根的定義解了一元二次方程（后來要學(xué)的方程）.你能否解27（x+

12、1）3=64這個方程呢？不妨試一試.利用平方根的定義及性質(zhì)解題如果一個數(shù)的平方等于 a （a0,那么這個數(shù)是 a的平方根.根據(jù)這個概念，我們可以解決一些和平方根有關(guān)的問題 .（例1與例2區(qū)別）例1已知一個數(shù)的平方根是2a 1和a 11,求這個數(shù).它們互為相反數(shù).互為相反數(shù)分析：根據(jù)平方根的性質(zhì)知：一個正數(shù)的平方根有兩個, 的兩個數(shù)的和為零解：由 2a 1+a 11=0，得 a=4，所以 2a 1=2X4- 1=7 .所以這個數(shù)為72=49.例2已知2a 1和a 11是一個數(shù)的平方根，求這個數(shù).分析：根據(jù)平方根的定義，可知2a 1和a11相等或互為相反數(shù).當(dāng) 2a 1 = a 11 時，a= 1

13、0,所以 2a 1= 21,這時所求得數(shù)為(21)2=441;當(dāng)2a 1 + a 11=0時,a=4,所以2a 1=7，這時所求得數(shù)為 72=49.綜上可知所求的數(shù)為 49或441.（區(qū)別：類似3是9的平方根，但9的平方根不是3,是+3、-3.）例3已知2x 1的平方根是 3,2x+y 1的平方根是 5,求2x 3y+11的平方根.分析：因?yàn)?x 1的平方根是5,所以2x 1=36,所以2x=37;因?yàn)?x+y 1的平方根是5,所以 2x+y 1=25,所以 y=26 2x= 11,所以 2x 3y+11=37 3X 11)+11=81,因?yàn)?1的平方根為9,所以2x 3y+11的平方根為9.

14、例4若2m 4與3m 1是同一個數(shù)的平方根，則 m為（ ）(A) 3( B) 1(C) 3 或 1(D) 1分析：本題分為兩種情況：（1）可能這個平方相等，即 2m 4=3m 1,此時，m= 3;（2） 一個數(shù)的平方根有兩個， 它們互為相反數(shù)，所以（2m 4） + （3m 1） =0,解得m=1 .所以選（C）.練一練：1.已知x的平方根是2a 13和3a- 2,求x的值.2.已知2a 13和3a 2是x的平方根，求x的值 3.已知 x+2y=10,4x+3y=15, 求 x+y 的平方根.答案:1.49;2. 49 或 1225; 3. 75 .從被開方數(shù)入手二次根式中被開方數(shù)的非負(fù)性，時常

15、是求解二次根式問題的重要隱含條件。從被開方數(shù) 入手，將會使很多問題迎刃而解。一、確定二次根式有意義例1.下列各式中一定是二次根式的是（5 B.海J齊D.p分析：二次根式的兩個基本特征是帶二次根號學(xué)”被開方數(shù)必為非負(fù)數(shù)。A中被開方數(shù)為負(fù)數(shù)；B中不帶 學(xué)”而是 肅”；D中被開方數(shù)的正負(fù)無法確定；所以A、B、D都不是或不一定是二次根式。只有C中的被開方數(shù)+4恒大于0,且?guī)?T ”故選（C）。例2.x取何值時，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。何濟(jì)先0。如果式子中含有分分析：使二次根式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，必有被開方數(shù)大于等于 母，分母不能為 0。解：由2 X 0,x l0,.1 Wx W2,.當(dāng)1 Wx W

16、2時，式有意義;由2x 1 0 （分母2x 1工0）x 一 , .當(dāng)x 一時，式有意義;2 2由x1 0, x20, x1且xM2，二當(dāng)xl且xM2時，式有意義；由于（x3）J x取任何實(shí)數(shù)時，式都有意義。二、含有相反數(shù)的被開方數(shù)根式的化簡與求值例3.已知y=+二+ 9，求（xy64）2的算術(shù)平方根。分析：由被開方數(shù)X 7, 7 x互為相反數(shù)，且均需滿足被開方數(shù)大于等于0。故X 7=7 x=0，由此求出X、y。解：由$-727-x0/. X 7 = 7 x= 0, 得 x=7y= 9 J(D-6呼-=xy-64 = |7x9-64例4.設(shè)等式枕）-J潮9一旳）二Jx-朋一在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)成立。其中

17、,22m、x、y是互不相等的三個實(shí)數(shù)，求代數(shù)式 X +可+ 的值。22X -y-y解：由 mxMy xm0, ym0又被開方數(shù)x m0 ,my0即ym0, ymv 0而被開方數(shù)將m=0代入等式，得 長-F=0 x = y 0+尹a =卜尹）？+卜=2!* -X尹-于（-疔-（-刃丿-于3才F面兩道練習(xí)題，同學(xué)們不妨試試。1.x取何值時，下列各式在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義。 M V-4?-4x-l的值。2若 y=Jl-打 +J2x-1 + Jo-1)2，試求(4x2y)2010實(shí)數(shù)大小進(jìn)行比較的常用方法實(shí)數(shù)的大小比較是中考及數(shù)學(xué)競賽中的常見題型,不少同學(xué)感到困難。實(shí)數(shù)”是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，也是學(xué)好

18、其他知識的基礎(chǔ)。為幫助同學(xué)們掌握好這部分知識，本文介紹 幾種比較實(shí)數(shù)大小的常用方法，供同學(xué)們參考。方法一：差值比較法差值比較法的基本思路是設(shè) a, b為任意兩個實(shí)數(shù)，先求出 a與b的差，再根據(jù)當(dāng)a b 0時，得到a b。當(dāng)a b 0時，得到a 0 ,-1 1 yf3 O方法二：商值比較法商值比較法的基本思路是設(shè)a, b為任意兩個正實(shí)數(shù)，先求出aaaa與b得商。當(dāng)一V 1時，av b;當(dāng)一 1時，a b;當(dāng)一=1時，a=b。來比較a與b的大小。bbb例2：比較勺圧-1與1的大小。55解： 3173-11V方法三：倒數(shù)法 倒數(shù)法的基本思路是設(shè) a, b為任意兩個正實(shí)數(shù)， 先分別求出a與b的倒1 1

19、數(shù)，再根據(jù)當(dāng) 一 一時，av bo來比較a與b的大小。b例 3：比較 J2004 J2003 與 J2005 J2004 的大小。解/=72004+72003 ,= J2005 + J2004J2004 -J2003J2005 - J2004又 J2004 + J2003 V J2005 + J2004 J2004 72003 72005 72004 -（超綱，不作要求）方法四：平方法平方法的基本是思路是先將要比較的兩個數(shù)分別平方，再根據(jù)a0, b0時，可由a2 b2得到ab來比較大小，這種方法常用于比較無理數(shù)的大小。例5：比較4246與J3 + J5的大小解：（72+ j6）2 =8 +2屁

20、,（J3 + V5）2 =8+15 O又 8+2 心2 V 8+2 J1542 +76 v V3+75 o方法五：估算法估算法的基本是思路是設(shè) a, b為任意兩個正實(shí)數(shù)，先估算出a, b兩數(shù)或兩數(shù)中某部分的取值范圍，再進(jìn)行比較。例4：比較用-381與的大小8解： 3 扌13 0, b 0,若要比較形如a/b與cjd的大小，可先把根號外的因數(shù) a與c平方后移入根號內(nèi)，再根據(jù)被開方數(shù)的大小進(jìn)行比較。例6:比較2 J7與3 的大小解：27 = 42 *7 = 28, 373 = J32 *3=V27。又 28 27, 2“ 3 J3。方法七：取特值驗(yàn)證法比較兩個實(shí)數(shù)的大小，有時取特殊值會更簡單。例7

21、：當(dāng)0YxY1時，X2 , X , 1的大小順序是X14解:（特殊值法）取Xn1，則：X221=2。x1 2x2 x 1。42x例（常德市）設(shè)a = 20, b = （ 3）2,f1 fc=癥,d =-，貝U a、b、c、d按由小到大的順丿序排列正確的是（A. c a d bB.b d a cC.a c d b D.b c a d分析 可以分別求出a、b、c、d的具體值，從而可以比較大小解 因?yàn)?a = 20= 1, b = ( 3)2= 9, c =癥=V9 , d = 9，所以c a d0,av 0, a+bv 0,b a 0然后可化簡。解：觀察圖1實(shí)數(shù)a、b在數(shù)軸上的位置可判定b0, av0, a+bv 0, b a0,然后Co化簡 |a+b|+J(b-a)2 = ( a+b) +b a= 2a,故選點(diǎn)評：借用數(shù)軸判斷出某些字母（數(shù)）的大小，然后化簡是實(shí)數(shù)化簡經(jīng)常用的一種方法。則點(diǎn)C所表示的數(shù)是（例2如圖2，數(shù)軸上表示1、J2的對應(yīng)點(diǎn)為A、B，點(diǎn)B關(guān)于點(diǎn)A的對稱點(diǎn)