圓錐曲線解題技巧和方法綜合(全).-圓錐曲線大題解題技巧

1、圓錐曲線的解題技巧一、常規(guī)七大題型：（1）中點弦問題具有斜率的弦中點問題，常用設(shè)而不求法（點差法）：設(shè)曲線上兩點為( x1 , y1 ) ，( x2 , y2 ) ，代入方程，然后兩方程相減，再應(yīng)用中點關(guān)系及斜率公式（當(dāng)然在這里也要注意斜率不存在的請款討論），消去四個參數(shù)。如：（ 1 ） x2y 21(ab0) 與直線相交于A、 B，設(shè)弦AB 中點為 M(x 0 0a 2b 2,y )，則有x0y0k0 。a2b 2x 2y21(a0, b0) 與直線 l 相交于 A、B，設(shè)弦 AB 中點為 M(x0,y0)則有（ 2）b2a 2x0y0k0a2b2（ 3）y2=2px（ p>0）與直線

2、 l 相交于 A、B 設(shè)弦 AB 中點為 M(x 0,y0),則有 2y0k=2p,即 y0k=p.典型例題給定雙曲線 x2y21 。過 A（ 2，1）的直線與雙曲線交于兩點P1 及 P2，2求線段 P1 P2 的中點 P 的軌跡方程。（2）焦點三角形問題橢圓或雙曲線上一點P，與兩個焦點F1 、 F2 構(gòu)成的三角形問題，常用正、余弦定理搭橋。x 2y21上任一點， F1(c,0) ， F2 (c,0) 為 焦點，典型例題設(shè) P(x,y)為 橢圓2b2aPF1 F2， PF2F1。sin()（ 1）求證離心率e；sinsin（ 2）求 |PF1 |3PF2 |3 的最值。（3）直線與圓錐曲線位置

3、關(guān)系問題直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的基本方法是解方程組，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為一元二次方程后利用判別式、 根與系數(shù)的關(guān)系、 求根公式等來處理， 應(yīng)特別注意數(shù)形結(jié)合的思想， 通過圖形的直觀性幫助分析解決問題，如果直線過橢圓的焦點，結(jié)合三大曲線的定義去解。典型例題拋物線方程 y 2p( x1) (p0) ，直線 xyt與 x軸的交點在拋物線準(zhǔn)線的右邊。（ 1）求證：直線與拋物線總有兩個不同交點（ 2）設(shè)直線與拋物線的交點為A、 B，且 OA OB，求 p 關(guān)于 t 的函數(shù) f(t) 的表達(dá)式。（ 4）圓錐曲線的相關(guān)最值（范圍）問題圓錐曲線中的有關(guān)最值（范圍）問題，常用代數(shù)法和幾何法解決。<1>若命題

4、的條件和結(jié)論具有明顯的幾何意義，一般可用圖形性質(zhì)來解決。<2>若命題的條件和結(jié)論體現(xiàn)明確的函數(shù)關(guān)系式，則可建立目標(biāo)函數(shù)（通常利用二次函數(shù)，三角函數(shù)，均值不等式）求最值。（ 1），可以設(shè)法得到關(guān)于a 的不等式，通過解不等式求出a 的范圍，即： “ 求范圍，找不等式 ”?；蛘邔?a 表示為另一個變量的函數(shù)，利用求函數(shù)的值域求出a 的范圍；對于（ 2）首先要把 NAB 的面積表示為一個變量的函數(shù)，然后再求它的最大值,即：“ 最值問題，函數(shù)思想 ”。最值問題的處理思路：1、建立目標(biāo)函數(shù)。用坐標(biāo)表示距離，用方程消參轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的最值問題，關(guān)鍵是由方程求x、 y 的范圍；2、數(shù)形結(jié)合，用

5、化曲為直的轉(zhuǎn)化思想；3、利用判別式，對于二次函數(shù)求最值，往往由條件建立二次方程，用判別式求最值；4、借助均值不等式求最值。典型例題已知拋物線 y2=2px(p>0)，過 M（ a,0）且斜率為 1 的直線 L 與拋物線交于不同的兩點A、B，|AB| 2p（1）求 a 的取值范圍；（ 2）若線段 AB 的垂直平分線交x 軸于點 N，求 NAB 面積的最大值。（5）求曲線的方程問題1曲線的形狀已知 - 這類問題一般可用待定系數(shù)法解決。典型例題已知直線 L 過原點，拋物線C 的頂點在原點，焦點在x 軸正半軸上。若點A（ -1， 0）和點 B（ 0，8）關(guān)于 L 的對稱點都在C上，求直線L 和拋

6、物線C 的方程。2曲線的形狀未知-求軌跡方程典型例題已知直角坐標(biāo)平面上點Q（ 2，0）和圓 C：x2+y2 =1, 動M點 M 到圓 C的切線長與 |MQ| 的比等于常數(shù)（ >0）,N求動點 M 的軌跡方程，并說明它是什么曲線。OQ（6） 存在兩點關(guān)于直線對稱問題在曲線上兩點關(guān)于某直線對稱問題，可以按如下方式分三步解決：求兩點所在的直線，求這兩直線的交點，使這交點在圓錐曲線形內(nèi)。 （當(dāng)然也可以利用韋達(dá)定理并結(jié)合判別式來解決）典型例題已知橢圓x2y2m 的取值范圍，使得對于直線C 的方程1 ，試確定43y 4xm，橢圓 C 上有不同兩點關(guān)于直線對稱（7）兩線段垂直問題y1· y2

7、1 來處理或用向量的坐標(biāo)圓錐曲線兩焦半徑互相垂直問題，常用k1· k2· x2x1運算來處理。典型例題已知直線 l 的斜率為 k ，且過點 P(2,0) ，拋物線 C: y24( x 1) ，直線 l 與拋物線 C 有兩個不同的交點（如圖） 。（ 1）求 k 的取值范圍；（ 2）直線 l 的傾斜角 為何值時， A、 B 與拋物線 C 的焦點連線互相垂直。四、解題的技巧方面：在教學(xué)中， 學(xué)生普遍覺得解析幾何問題的計算量較大。事實上， 如果我們能夠充分利用幾何圖形、韋達(dá)定理、曲線系方程，以及運用“設(shè)而不求”的策略，往往能夠減少計算量。下面舉例說明：（1）充分利用幾何圖形解析幾何

8、的研究對象就是幾何圖形及其性質(zhì)，所以在處理解析幾何問題時，除了運用代數(shù)方程外，充分挖掘幾何條件，并結(jié)合平面幾何知識，這往往能減少計算量。典型例題設(shè)直線 3x4 ym0 與圓 x 2y2x2y0 相交于 P、 Q 兩點， O 為坐標(biāo)原點，若OPOQ ，求 m 的值。（2） 充分利用韋達(dá)定理及“設(shè)而不求”的策略我們經(jīng)常設(shè)出弦的端點坐標(biāo)而不求它，點等問題中常常用到。典型例題已知中心在原點O，焦點在而是結(jié)合韋達(dá)定理求解，y 軸上的橢圓與直線y這種方法在有關(guān)斜率、中x1 相交于 P、 Q 兩點，且OPOQ，| PQ|10，求此橢圓方程。2（3） 充分利用曲線系方程利用曲線系方程可以避免求曲線的交點，因此

9、也可以減少計算。典型例題求經(jīng)過兩已知圓C1： x 2y 24 x2y0 和 C2 ： x2y 22y40 的交點，且圓心在直線l ： 2x4y10 上的圓的方程。（4）充分利用橢圓的參數(shù)方程橢圓的參數(shù)方程涉及到正、余弦，利用正、余弦的有界性， 可以解決相關(guān)的求最值的問題這也是我們常說的三角代換法。典型例題P 為橢圓 x2y21上一動點， A 為長軸的右端點， B 為短軸的上端點，求四a2b2邊形 OAPB面積的最大值及此時點P 的坐標(biāo)。（5）線段長的幾種簡便計算方法 充分利用現(xiàn)成結(jié)果，減少運算過程一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦AB 長的方法是：把直線方程ykxb 代入圓錐曲線方程中，得到型如

10、ax2bxc0的方程，方程的兩根設(shè)為x A ， xB ，判別式為，則 |AB|1k 2 · |x AxB |1k 2· ，若直接用結(jié)論，能減少配方、開方等運算| a |過程。例求直線 xy10 被橢圓 x 24 y 216 所截得的線段AB 的長。 結(jié)合圖形的特殊位置關(guān)系，減少運算在求過圓錐曲線焦點的弦長時， 由于圓錐曲線的定義都涉及焦點， 結(jié)合圖形運用圓錐曲線的定義，可回避復(fù)雜運算。例F1、 F2是橢圓 x2y21 的兩個焦點， AB 是經(jīng)過 F1 的弦，若 |AB|8 ，求值259| F2A|F2B| 利用圓錐曲線的定義，把到焦點的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離例點 A（ 3，

11、2 ）為定點， 點 F 是拋物線 y 24x 的焦點， 點 P 在拋物線 y 24x 上移動，若 | PA| |PF |取得最小值，求點P 的坐標(biāo)。圓錐曲線解題方法技巧歸納第一、知識儲備：1. 直線方程的形式（ 1）直線方程的形式有五件：點斜式、兩點式、斜截式、截距式、一般式。（ 2）與直線相關(guān)的重要內(nèi)容傾斜角與斜率 k tan ,0, )Ax0By0C夾角公式： 點 到 直 線 的 距 離 dA2B2tank2 k11 k2 k1（ 3）弦長公式直線 ykxb 上兩點 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) 間的距離：AB1k 2 x1x2221(1k )( x1x2 )4x1

12、x2 或 AB1k2 y1 y2（4）兩條直線的位置關(guān)系 l1l2k1k2 =-1 l1 / l2k1k2 且b1b22、圓錐曲線方程及性質(zhì)(1)、橢圓的方程的形式有幾種？（三種形式）標(biāo)準(zhǔn)方程： x2y21(m0, n0且 mn)mn距離式方程：( xc) 2y2( x c)2y22a參數(shù)方程： xa cos , yb sin(2)、雙曲線的方程的形式有兩種標(biāo)準(zhǔn)方程： x2y21(m n0)mn距離式方程： | ( xc)2y2(x c)2y2 | 2a(3)、三種圓錐曲線的通徑你記得嗎？橢圓：2b2 ；雙曲線： 2b2 ；拋物線：2 paa(4)、圓錐曲線的定義你記清楚了嗎？如：已知 F1、

13、F2 是橢圓 x2y 21的兩個焦點，平面內(nèi)一個動點M 滿43足 MF1MF 22 則動點 M 的軌跡是（）A、雙曲線； B、雙曲線的一支； C、兩條射線； D、一條射線(5)、焦點三角形面積公式： P在橢圓上時， S F PF2b2 tan12P在雙曲線上時， S F PFb2 cot122（其中 F1 PF2,cos| PF1 |2| PF2 |24c2, PF1PF2 | PF1 | PF2| cos）|PF1| |PF2 |(6) 、記住焦半徑公式： （1）橢圓焦點在 x軸上時為 aex0 ; 焦點在 y軸上時為 a ey0，可簡記為“左加右減，上加下減” 。（2） 雙曲線焦點在 x軸

14、上時為 e | x0 |a（3） 拋物線焦點在 x軸上時為 | x1 |p ,焦點在 y軸上時為 | y1 |p22(6)、橢圓和雙曲線的基本量三角形你清楚嗎？第二、方法儲備1、點差法（中點弦問題）設(shè) A x1 , y1、 B x2 , y2， M a, b 為橢圓 x 2y 21的弦 AB 中點則有43x12y121 ， x22y221 ；兩式相減得 x12x22y12y220434343x1x2 x1x2y1y2 y1y2k AB =3a434b2、聯(lián)立消元法：你會解直線與圓錐曲線的位置關(guān)系一類的問題嗎？經(jīng)典套路是什么？如果有兩個參數(shù)怎么辦？設(shè)直線的方程，并且與曲線的方程聯(lián)立，消去一個未知

15、數(shù)，得到一個二次方程， 使用判別式0 ，以及根與系數(shù)的關(guān)系， 代入弦長公式，設(shè)曲線上的兩點 A( x1 , y1), B( x2 , y2 ) ，將這兩點代入曲線方程得到1 2 兩個式子，然后1 - 2 ，整體消元······，若有兩個 字母未知數(shù)，則要找到它們的聯(lián)系， 消去一個，比如直線過焦點，則可以利用三點A、B、F 共線解決之。若有向量的關(guān)系，則尋找坐標(biāo)之間的關(guān)系， 根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合消元處理。 一旦設(shè)直線為 ykxb ，就意味著 k 存在。例 1、已知三角形 ABC 的三個頂點均在橢圓4x25 y 280上，且點 A是橢圓短軸

16、的一個端點（點 A 在 y 軸正半軸上） .（1）若三角形 ABC 的重心是橢圓的右焦點，試求直線BC 的方程 ;（2）若角 A 為 900 ，AD 垂直 BC 于 D ，試求點 D 的軌跡方程 .分析：第一問抓住“重心” ，利用點差法及重心坐標(biāo)公式可求出中點弦 BC 的斜率，從而寫出直線 BC 的方程。第二問抓住角 A 為 900 可得出 ABAC，從而得 x1 x2y1 y214( y1y2 )160 ，然后利用聯(lián)立消元法及交軌法求出點D 的軌跡方程；解：（ 1）設(shè)B （ x1 , y1 ） ,C( x2 , y2),BC 中點為 ( x0 , y0 ),F(2,0)則有x12y121,

17、x22y22120162016兩式作差有( x1x2 )( x1x2 )( y1y2 )( y1y2 )x0y0 k0(1)2016045F(2,0)為三角形重心，所以由x13x22 ，得 x03 ，由 y1y240得3y02 ，代入（ 1）得 k65直線 BC 的方程為 6x5 y2802)由 ABAC 得 x1 x2y1 y214(y1y2 )160（2）設(shè)直線BC方程為ykxb, 代入 4x 25y 280，得(45k 2 )x 210bkx5b2800x1x210kb， x1 x25b 28045k245k2y1y28k, y1 y24b 280k 2代入（ 2）式得45k 245k

18、29b232b160 ，解得 b4(舍)或b445k 294)y4y49直線過定點（0， 設(shè) D （ x,y ）， 則1， 即9xx9 y 29x 232 y160所以所求點 D 的軌跡方程是 x 2( y16)2( 20) 2 ( y4) 。994、設(shè)而不求法例 2、如圖，已知梯形 ABCD 中 AB2 CD ，點 E 分有向線段 AC 所成的比為，雙曲線過 C、D、E 三點，且以 A、B 為焦點當(dāng) 23 時，34求雙曲線離心率e 的取值范圍。分析：本小題主要考查坐標(biāo)法、定比分點坐標(biāo)公式、雙曲線的概念和性質(zhì)，推理、運算能力和綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力。建立直角坐標(biāo)系 xOy ，如圖，若設(shè)

19、 C c ,h22，代入 x2y2 1，求得 h，2ab進(jìn) 而 求 得 xE, yE,再 代 入 x2y 21，建立目標(biāo)函數(shù)a2b 2f (a,b,c, ) 0 ，整理 f ( e,)0 ，此運算量可見是難上加難 .我們對 h 可采取設(shè)而不求的解題策略 ,建立目標(biāo)函數(shù) f (a,b,c, )0，整理 f (e,) 0,化繁為簡 .解法一：如圖，以AB 為垂直平分線為 y 軸，直線 AB 為 x 軸，建立直角坐標(biāo)系 xOy ，則 CD y 軸因為雙曲線經(jīng)過點 C、D，且以 A、 B 為焦點，由雙曲線的對稱性知 C、D 關(guān)于 y 軸對稱依題意，記Ac, 0，Cc2, h，Ex0 , y0，其中c1

20、|AB|為雙2曲線的半焦距，h 是梯形的高，由定比分點坐標(biāo)公式得cc22 c，hx0y02111設(shè)雙曲線的方程為x2y 21 ，則離心率ca2b2ea由點 C、E 在雙曲線上，將點 C、E 的坐標(biāo)和 ec 代入雙曲線方a程得e2h 21 ，4b2e22h21411 b2由式得h 2e21 ，b 24將式代入式，整理得e24412，43故1e21由題設(shè)解得23得，2133343e22 47e10所以雙曲線的離心率的取值范圍為7,10分析：考慮 AE , AC 為焦半徑 ,可用焦半徑公式 ,AE , AC 用 E, C 的橫坐標(biāo)表示，回避 h 的計算 , 達(dá)到設(shè)而不求的解題策略解法二：建系同解法一

21、，AEa exE , AC aexC ，cc2 c ，又 AE2，代入整理3 ，由題xE12121AC1e1設(shè) 23得，2133343e22 4解得7e10所以雙曲線的離心率的取值范圍為7,105、判別式法例 3 已知雙曲線 C : y2x 21 ，直線 l 過點 A 2,0 ，斜率為 k ，當(dāng) 0 k 122時，雙曲線的上支上有且僅有一點B 到直線 l 的距離為 2 ，試求 k 的值及此時點 B 的坐標(biāo)。分析 1：解析幾何是用代數(shù)方法來研究幾何圖形的一門學(xué)科，因此，數(shù)形結(jié)合必然是研究解析幾何問題的重要手段. 從“有且僅有”這個微觀入手，對照草圖，不難想到：過點B 作與 l 平行的直線，必與雙

22、曲線C 相切 . 而相切的代數(shù)表現(xiàn)形式是所構(gòu)造方程的判別式0 . 由此出發(fā)，可設(shè)計如下解題思路：l : y k( x2) 0 k 1直線 l在 l 的上方且到直線l 的距離為2把直線 l的方程代入雙曲線方程，消去y，令判別式0l ': y kx2k 2 22k解得 k的值解題過程略 .分析 2：如果從代數(shù)推理的角度去思考，就應(yīng)當(dāng)把距離用代數(shù)式表達(dá)，即所謂“有且僅有一點B 到直線 l 的距離為2 ”，相當(dāng)于化歸的方程有唯一解 . 據(jù)此設(shè)計出如下解題思路：問題kx2x22k關(guān)于x 的方程20k1有唯一k 21轉(zhuǎn)化為一元二次方程根的問題求解簡解：設(shè)點 M (x,2x2 ) 為雙曲線C 上支上

23、任一點，則點M 到直線 l 的距離為：kx 2x 22k20 k 1k 21于是，問題即可轉(zhuǎn)化為如上關(guān)于x 的方程 .由于 0k 1，所以2x 2xkx ，從而有kx2x22kkx 2 x22k.于是關(guān)于 x 的方程kx2x 22k2( k 21)2x2 2(2(k 21)2kkx) 2 ,22k kx02(k1)k 2 1 x22k 2(k 22(k 221)2k x1)2k2 0,2(k 21)2kkx0.由 0k1可知：方程 k21 x 22k2(k 21)2k x2( k221)2k2 0 的二根同正，故2(k21)2kkx0 恒成立，于是等價于k 21 x 22k 2(k 21)2k

24、 x2( k 222 0 .1)2k由如上關(guān)于x的方程有唯一解，得其判別式0，就可解得k 2 5 .5點評：上述解法緊扣解題目標(biāo)，不斷進(jìn)行問題轉(zhuǎn)換，充分體現(xiàn)了全局觀念與整體思維的優(yōu)越性 .例 4 已知橢圓 C:x 22 y28 和點 P（4，1），過 P 作直線交橢圓于A、B 兩點，在線段 AB 上取點 Q，使 APAQ ，求動點 Q 的軌跡所PBQB在曲線的方程 .分析：這是一個軌跡問題，解題困難在于多動點的困擾，學(xué)生往往不知從何入手。其實，應(yīng)該想到軌跡問題可以通過參數(shù)法求解. 因此，首先是選定參數(shù)，然后想方設(shè)法將點Q 的橫、縱坐標(biāo)用參數(shù)表達(dá)，最后通過消參可達(dá)到解題的目的.由于點 Q( x,

25、 y)的變化是由直線AB 的變化引起的，自然可選擇直線AB 的斜率 k 作為參數(shù)，如何將 x, y 與 k 聯(lián)系起來？一方面利用點Q 在直線 AB 上；另一方面就是運用題目條件：APAQ 來轉(zhuǎn)化 .由 A、B、PBQBP、Q 四點共線，不難得到 x 4( x A xB ) 2 xA xB8(x AxB )，要建立 x 與 k 的關(guān)系，只需將直線 AB 的方程代入橢圓C 的方程，利用韋達(dá)定理即可.通過這樣的分析，可以看出，雖然我們還沒有開始解題，但對于如何解決本題，已經(jīng)做到心中有數(shù).APAQPBQB4(x AxB )2xAxBx(xAxB )8將直線方程代入橢圓方程，消去y ，利用韋達(dá)定理xf

26、k利用點 Q 滿足直線AB 的方程： y = k (x 4)+1，消去參數(shù)k點 Q 的軌跡方程在得到 xf k 之后，如果能夠從整體上把握，認(rèn)識到：所謂消參，目的不過是得到關(guān)于x, y 的方程（不含k），則可由 yk( x4)1 解得k y 1 ，直接代入 x f k 即可得到軌跡方程。從而簡化消去參的過x 4程。簡解：設(shè) A x1 , y1 , B( x2，y2 ), Q(x, y) ，則由APAQ可得：4x1x1PBQBx ，x24x2x解之得： x4(x1x2 ) 2x1 x2（1）8 ( x1x2 )設(shè)直線 AB 的方程為： yk (x4)1，代入橢圓 C 的方程，消去 y得出關(guān)于 x

27、 的一元二次方程：2k 21 x24k(14k) x 2(14k) 280（2）4k (4k1)x1x22k21 ,x1 x22(14k)28 .2k 21代入（1），化簡得：4k3x.k2(3)與 yk( x4)1聯(lián)立，消去 k 得： 2xy4 ( x4)0.在（2）中，由64k 264k240，解得 210k2 10 ，結(jié)合（3）44可求得 16 2 10x162 10.99故知點 Q 的軌跡方程為： 2xy40（ 16210x162 10）.99點評：由方程組實施消元 ，產(chǎn)生一個標(biāo)準(zhǔn)的關(guān)于一個變量的一元二次方程，其判別式、韋達(dá)定理模塊思維易于想到. 這當(dāng)中，難點在引出參，活點在應(yīng)用參，重

28、點在消去參.，而“引參、用參、消參”三步曲，正是解析幾何綜合問題求解的一條有效通道.6、求根公式法例 5 設(shè)直線 l 過點 P（0，3），和橢圓 x 2y21順次交于 A、B 兩點，94試求AP的取值范圍 .PB分析：本題中，絕大多數(shù)同學(xué)不難得到：AP =xA ，但從此后卻一PBxB籌莫展 , 問題的根源在于對題目的整體把握不夠. 事實上，所謂求取值范圍，不外乎兩條路：其一是構(gòu)造所求變量關(guān)于某個（或某幾個）參數(shù)的函數(shù)關(guān)系式（或方程） ，這只需利用對應(yīng)的思想實施；其二則是構(gòu)造關(guān)于所求量的一個不等關(guān)系.分析 1:從第一條想法入手，AP = xA 已經(jīng)是一個關(guān)系式，但由于PBxB有兩個變量 xA ,

29、 xB ，同時這兩個變量的范圍不好控制，所以自然想到利用第 3 個變量直線AB 的斜率 k. 問題就轉(zhuǎn)化為如何將xA , xB 轉(zhuǎn)化為關(guān)于 k 的表達(dá)式，到此為止，將直線方程代入橢圓方程，消去y 得出關(guān)于 x 的一元二次方程，其求根公式呼之欲出.把直線 l 的方程 y = kx+3 代入橢圓方程， 消去 y 得到關(guān)于 x 的一元二次方程求根公式xA= f（ k）， xB = g（k）AP/PB = （ xA / x B）得到所求量關(guān)于k 的函數(shù)關(guān)系式由判別式得出k 的取值范圍所求量的取值范圍簡解 1：當(dāng)直線 l 垂直于 x 軸時，可求得 AP1 ;PB5當(dāng) l 與 x 軸不垂直時，設(shè)A x1,

30、 y1 , B(x2， y2 ) ，直線 l 的方程為：y kx 3 ，代入橢圓方程，消去y 得 9k 24 x254kx 45 0解之得x1, 227k 69k25 .9k 24因為橢圓關(guān)于 y 軸對稱，點 P 在 y 軸上，所以只需考慮 k0 的情形.當(dāng) k0 時， x127k69k 25 ， x227k 69k 25 ，9k 249k24所以 APx1=9k29k 25 = 118k= 118.PBx29k 2 9k 259k 2 9k 259 2 952k由(54k) 2180 9k 240 , 解得 k 25 ，9所以11181 ，559292k綜上1AP1 .PB5分析 2: 如果

31、想構(gòu)造關(guān)于所求量的不等式， 則應(yīng)該考慮到： 判別式往往是產(chǎn)生不等的根源 . 由判別式值的非負(fù)性可以很快確定 k 的取值范圍，于是問題轉(zhuǎn)化為如何將所求量與 k 聯(lián)系起來 . 一般來說，韋達(dá)定理總是充當(dāng)這種問題的橋梁，但本題無法直接應(yīng)用韋達(dá)定理，原因在于APx1不是關(guān)于 x1, x2 的對稱關(guān)系式 . 原因找到后，解決問題的PBx2方法自然也就有了，即我們可以構(gòu)造關(guān)于x1 , x2 的對稱關(guān)系式 .把直線 l 的方程 y = kx+3 代入橢圓方程， 消去 y得到關(guān)于x 的一元二次方程韋達(dá)定理xA+ xB = f（ k），xA xB = g（k）AP/PB = （ xA / xB）構(gòu)造所求量與k

32、的關(guān)系式由判別式得出k 的取值范圍關(guān)于所求量的不等式簡解 2：設(shè)直線 l的方程為：ykx3 ，代入橢圓方程，消去 y 得9k 24 x 254kx450（*）則x1x254k ,9k24x1 x245.9k 24令x1，則，1324k 2.x2245k 220在（ *）中，由判別式0, 可得 k 25 ，9從而有324k236 ，所以41236 ，解得420145k 2555 .51得 1結(jié)合 01.5綜上，1AP1 .PB5點評：范圍問題不等關(guān)系的建立途徑多多，諸如判別式法，均值不等式法，變量的有界性法，函數(shù)的性質(zhì)法，數(shù)形結(jié)合法等等. 本題也可從數(shù)形結(jié)合的角度入手，給出又一優(yōu)美解法 .解題猶

33、如打仗，不能只是忙于沖鋒陷陣，一時局部的勝利并不能說明問題，有時甚至?xí)痪植克m纏而看不清問題的實質(zhì)所在，只有見微知著，樹立全局觀念，講究排兵布陣，運籌帷幄，方能決勝千里 . 第三、推理訓(xùn)練：數(shù)學(xué)推理是由已知的數(shù)學(xué)命題得出新命題的基本思維形式，它是數(shù)學(xué)求解的核心。 以已知的真實數(shù)學(xué)命題， 即定義、公理、定理、性質(zhì)等為依據(jù)，選擇恰當(dāng)?shù)慕忸}方法，達(dá)到解題目標(biāo)，得出結(jié)論的一系列推理過程。 在推理過程中， 必須注意所使用的命題之間的相互關(guān)系（充分性、必要性、充要性等） ，做到思考縝密、推理嚴(yán)密。通過編寫思維流程圖來錘煉自己的大腦， 快速提高解題能力。例 6 橢圓長軸端點為 A, B ， O 為橢圓中心， F 為橢圓的右焦點，且AFFB1，OF1（）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（）記橢圓的上頂點為 M ，直線 l 交橢圓于 P, Q 兩點，問：是否存在直線 l ，使點 F 恰為 PQM 的垂心？若存在，求出直線 l 的方程 ; 若不存在，請說明理由。思維流程：（） 由 AFFB1 ， OF1(ac)(ac)1 ， c1寫出橢圓方程a2,b1由 F 為PQM 的重心PQMF , MPFQk PQ1（）yxm3x 24 mx 2m22 0x22 y22消元兩根之和，兩根之積得出關(guān)于MPFQ0解出 mm 的方程解