復變函數(shù)與積分變換試的題目及答案42632

1、實用標準文案第一套第一套一、選擇題（每小題3 分，共 21 分）1.若（），則復函數(shù) f (z)u( x, y)iv ( x, y) 是區(qū)域 D 內的連續(xù)函數(shù)。A.u( x, y) 、 v( x, y) 在區(qū)域 D 內連續(xù)；B.u( x, y) 在區(qū)域 D 內連續(xù)；C.u( x, y) 、 v( x, y) 至少有一個在區(qū)域 D 內連續(xù)；D.以上都不對。2.解析函數(shù) f ( z) 的實部為 uexsin y ，根據柯西 - 黎曼方程求出其虛部為（）。-裝A. e x cos yC ； Bex cos yC ；Ce x sin y C ； Dex cos yC3.dz（）。1 ( z 2)| z

2、 2|2A.2 i ；B. 0；C.4i ；D.以上都不對 .4.函數(shù) f ( z) 以 z0 為中心的洛朗展開系數(shù)公式為（）。-f ( )dfn(z0 )訂A.cn1B.cn2 i(z0 ) n 1n!C.cn1f ( )dD.cnn!f ( )d2 ik2z02i k2 (z0 )n 15. z=0 是函數(shù)sin z2）。的（zA. 本性奇點B. 極點C.連續(xù)點D.可去奇點6.將點， 0， 1 分別映射成點0， 1，的分式線性映射是（）。-線A. wzB.wzC.1 zD.w111zw1zzz7.L（sinkt） （），（ Re s0 ）。A.k；B.s；C.1；D.12k2s2k2ssk

3、.sk3 分，共 18 分）二、填空題（每小題21.(1 i) 31；-精彩文檔實用標準文案zn2.冪級數(shù)收斂于2；n 1 n！3.設 Z0 為復函數(shù) f（z）的可去奇點，則f（z）在該點處的留數(shù)為3.；4. 通過分式線性映射k zz（ k 為待定復常數(shù)）可將4映射成單位圓內部1；5.z b 、az 、1一個一般形式的分式線性映射可由三種特殊形式的映射復合而成，z分別將平面看成 z 平面的平移映射、旋轉與伸縮映射、5；6.求積分e i x ( x)dx6；三、判斷題（每小題 2 分，共 10 分）1. 平面點集 D 稱為一個區(qū)域，如果 D 中任何兩點都可以用完全屬于D 的一條折線連接起來，這樣

4、的集合稱為連通集。（）2.f ( z) u( x, y) iv (x, y) 在區(qū)域D 內解析的充要條件是：u( x, y) 與 v( x, y) 在 D 內可微，且滿足C-R 方程。（）3.將 z 平面上一個點集映射到平面上一個點集，z 的參數(shù)方程是：zz(t) ，的參數(shù)方程是：f z(t ) ，則函數(shù) z 與導數(shù)滿足伸縮率不變性、旋轉角不變性和保角性。（）4.拉氏變換的微分性質為：若L f (t ) F ( s) ，則 L f (t )tF (s)f (0)。（）5. 傅里葉級數(shù) f (t) c0A cos(n0tn) 表示一個周期為T 的信號 f (t) 可以分解為簡諧波之和，nn 1這

5、些簡諧波的（角）頻率分別為一個基頻0 的倍數(shù)。（）四、計算題（前四題，每小題9 分，第五題， 15 分，共 51 分）1. 當 a， b 分別等于多少時，函數(shù)f (z) x3axy2i（2y - y3）bx在復平面上處處解析 ?精彩文檔實用標準文案2. 計算zdz 。|z| 2 (8z2 )( z i)3. 將函數(shù)在指定圓環(huán)內處展開為洛朗級數(shù)：z1， 0 | z | 1.f ( z)1)z2 ( z4. 利用留數(shù)定理計算積分sin2 z dz|z| 2z2 ( z 1)(2xx9x)( yy3y)0x(0)x (0)15. 求微分方程組x7x)( yy5y)0y(0)y (0)的解(2 x0一

6、、選擇題（每小題3 分，共 21 分）1.A 2.B 3.B4.A 5.A 6.D 7.A.3 分，共 18 分）二、填空題（每小題4k4k531. 3 2cos6isin k 0,1,2 ；或 3 2e6 , 3 2e 6, 3 2e 2363精彩文檔實用標準文案2.ez ； 3. 0； 4.上半平面 Im z0； 5.反演映射 6. 1.三、判斷題 （每小題 2 分，共 10 分）1.×2.3.4. 5. 四、計算題（前四題，每小題9 分，第五題， 15 分，共 51分）. 解：u x322y31axy , vbx yu v x yuv（3 分）yxu3x2ay2 ,u2axy,

7、v2bxy,vbx23y 2xyxy（3 分）3x2ay2bx23 y2 ,2axy2bxya3, b3（3 分）zdz2z2.解：（2i2（5 分）z）8 z z28-z(zi)i（或判斷出 -i在圓內，22 不在圓內，得2 分）2（4 分）93.將函數(shù)在指定圓環(huán)內處展開為洛朗級數(shù)：f (z)z1,0 z1z 2 (z 1)f (z)z1z12121（5 分）z2 (z 1) z2 (z 1)z2z2 1 z（或：寫出洛朗級數(shù)公式2 分）12n12n 20 z 1 （4 分）z2z2n 0 zz2z2 2z2 z4.解：由于函數(shù)在積分區(qū)域內有可去奇點z=0 與單極點 z=1（4 分）Re s

8、( f ( z),0)0,Re s( f ( z),1)lim( z -1)sin22 zsin 2 1（3 分）z1z ( z-1)精彩文檔實用標準文案由留數(shù)定理，原積分2i sin2 1（2 分）(2 s2s 9) X ( s) (s2s 3)Y ( s) 1 2s分）5. 解：s 7) X (s)(s2（4(2 s2s 5)Y(s) 3 2s整理得2 X (s)22sY ( s)2s 4（4分）X (s)1Y ( s)s 1X ( s)1 12s113 s 13 s24 3 s24（4分）解得Y (s)2 12s1 13 s 1 3 s24 3 s24再取拉氏變換得到其解為：x(t)1

9、et2 cos2t1 sin 2t333（ 3分）y(t )2 et2 cos2t1sin 2t333第二套一、選擇題（每小題3 分，共 21 分）1.1 i 3的指數(shù)式為（）。A、 2e2 i 3B 、 e2i 3C 、 2e i 3D 、 2e i 62.復函數(shù) LnZ （）。A 在復平面上處處解析；B在復平面上處處不解析；C 除去原點外處處解析；D除去原點及負半實軸外處處解析 .3.由柯西積分公式得，積分dz 的值為（）。|z| 1 z2A.0B. 1C. 2D.無解4.洛朗級數(shù)的正冪部分叫（）。A、主要部分B 、解析部分C 、無限部分D 、都不對精彩文檔實用標準文案5.sin1 在點

10、z=0 處的留數(shù)為（）。zA.-1B.0C.1D.26.保角映射具有的性質有（）。A.反演性、保圓性、保對稱性B.共形性、保角性、保對稱性C. 共形性、保圓性、保對稱性D. 反演性、保角性、保對稱性7.L（ekt） （），（ Re sk ）。A.2kk2； B.s2sk2； C.1； D.1k .ssks二、填空題（每小題3 分，共 18 分）1.3 i51=。n!22.冪級數(shù)n收斂半徑為：2。nzn 1 n3.孤立奇點可分為可去奇點、極點和3三種。4.通過分式線性映射eiz， (1 ，為實數(shù) ) 可將4映射成單位圓內部1z1。5.在擴充復平面上兩點z1 與 z2 是關于圓周C 的對稱點的充要

11、條件是通過z1 與 z2 的任何圓周與 C5 。6.按定義，函數(shù)f ( x) 的傅里葉變換式為6。三、判斷題 （每小題 2 分，共 10 分）1.如果平面點集G中的每一點都是它的內點，則稱G為開集。（）2.ln z 的所有分支可表示為 ln z Lnz 2k i 。（）3.設函數(shù)f z 在 z0 的鄰域內有定義，且在z0 具有保角性和伸縮率不變性，則稱f z 在 z0 時共形的。（）精彩文檔實用標準文案4. 傅里葉級數(shù) f tc0An cos n 0t1n 中 c0n 1TT /2ft dt 的物理意義：表示周期信號在一T /2個周期內的平均值，也叫做交流分量。（）5.拉氏變換的微分性質為：若

12、L f (t)F ( s) ，則 L f (t )tF ( s)f (0) 。 （）四、計算題（前四題，每小題9 分，第五題， 15 分，共 51 分）1.設 my3nx2 yix3lxy 2 為解析函數(shù)，試確定l,m,n的值2.計算積分zdz ， C : z2 ；C z33. 將下列各級數(shù)在指定圓環(huán)域內展開為洛朗級數(shù)1， 1z 2 ；z2 1 z24. 利用留數(shù)定理求積分（圓周均取正向）z153 dz2z 3 z21 z42精彩文檔實用標準文案5. 求微分方程式的解y(4)ycosty(0)y (0)y (0)0y (0)c （ c 為常數(shù)）第二套一、選擇題（每小題3 分，共 21 分）1.

13、C2.D3.A4.B5.C6.C7.C.二、填空題（每小題3 分，共 18 分）1.16 3 i2. 03. 本性奇點4. 單 位 圓 內 部 z 15. 正交6.Fft e i t dt三、判斷題 （每小題 2 分，共 10 分）1.2.×3.4. ×5. 四、計算題（前四題，每小題9 分，第五題， 15 分，共 51 分）1.解：由題意知：實部umy3nx2 y 、虛部 v x3lxy 2u2nxy ，u3my2nx2 ， v3x2ly 2 ， v2lxy （ 2 分）xyxyuv由 于323x2析函數(shù)，故有xy分 ）即m yn x y il為x 解yu（ 2vyx2n

14、xy2lxy（ 3 分）解得 m=1， n=-3 ， l=-3（2 分）3my2nx23x2ly 2z2.解：由 z-3=0 ，得奇點為z=3（3 分）此時不在C 的環(huán)域內，由柯西基本定理 （ 3 分）知dz0（ 3C z3分）1 z213. 解：555（3 分）z21z2 1z2精彩文檔實用標準文案11112 1111z2 1 z 25z z2115 z21101zz21z221n12n11zn（3 分）5 n 01z2n 15 n 01z2 n 110 n 0 2n2 111 211 1 1z z2z31z2（3分）5 z45 z35 z25 z 10 20 40 804.解：函數(shù)z15在

15、 z3 的外部，除點外沒有其他奇點，因此根據定理二與規(guī)則四有：z22z4231z153 dz2 i Re s f z ,（3 分）Cz22z41211（3分）12 i（分）2i Resfzz2 ,02i Re sz 1 z2212z43 ,035.解：方程兩邊取拉氏變換，得s4Y( s)css3Y(s)cs1（2 分）s2解出 Y(s)c1（3分）s2 ( s1)(s2s31)L 1212Re s2est21),0Re s2est 21),1s(s 1)(s1)s(s 1)(ss (s 1)(sResest,i Re sest, i （ 3 分）21)(s221)(s2s (s1)s (s1)

16、lim(est)lim(est)lim(est)lim(est)( s 1)(s21)(ss2 ( s1)(ss01)s1 s2 (s2 1)sis2 (si)s ii )t11 e t1 (cos tsin t )（2 分）22因此，原方程的解11111y(t )LY (s) cLLs3s2 (s 1)(s21)c t 2t11 e t1 (cos tsin t ) （ 5 分）222第三套精彩文檔實用標準文案一、填空題（每空2 分，共 20 分）1復數(shù)3的實部為 1，虛部為2及其共軛復數(shù)為3 .12i2已知 f ( z)uiv 是解析函數(shù)，其中 u1 ln( x2y2 ) ，則 v4 .2

17、yez設 C為正向圓周z1,則dz=5 .3Ci22n4冪級數(shù)z3的收斂半徑為 6 .n 1 n5 z0 是 f ( z)ln(1z) 的奇點，其類型為 7 .z6設 f ( z)( z111)1 ( z 1)( 1)n ( z 1)n，則1)2( zResf ( z),18 .7 函數(shù)的傅里葉變換為 F ( )9.8函數(shù) F (s)1的拉普拉斯逆變換為 f (t) 10.s(s1)二、選擇題（每小題2 分，共 20 分）1復數(shù) z168i 的輻角為（）2525A arctan 1B- arctan 122C arctan 1Darctan 1222方程 Re z21所表示的平面曲線為（）A

18、圓B 直線C 橢圓D 雙曲線3在復平面上，下列關于正弦函數(shù)sin z 的命題中，錯誤 的是（）A sin z 是周期函數(shù)B sin z 是解析函數(shù)C sin z1D (sin z)cosz精彩文檔實用標準文案4設 C為正向圓周 z1，則cos zdz =（）CzA iB2iC 0D15在拉氏變換中，函數(shù)f1 (t ) 與 f2 (t ) 的卷積， f1(t )f2 (t) 為（）AtBtf1(t ) f2 (t )dtf1( ) f2 ( )d0Ctt)dD t)df1( ) f2 (f1 ( ) f 2 (t006冪級數(shù)zn 1的收斂區(qū)域為（）1 n!nA 0zB zC 0z1D z17設f

19、()ez的羅朗級數(shù)展開式為cn zn，則它的收斂圓環(huán)域為（）zz(z2)nA 0 z 2 或 2zB 0 z 2 2 或 2 z 2C 0 z 2D 0 z 2 2sin(z)8 z是函數(shù) f ( z)3的（）33zA 一階極點B可去奇點C 一階零點D本性奇點9 Resz2 ,2i（ ）( z2i )A 2iB -1C2iD 110 (t t0 ) 的傅里葉變換為（）A 1B t0C e i t0D ei t0精彩文檔實用標準文案三、計算題（每小題8 分，共 24 分）sin1 已知 f ( z)| | 24 d ，求 f (12i ) ， f (1) ， f (1) 。z2 計算積分ezd

20、z ， C : z3 取正向。C z( z21)3 求函數(shù) f ( z)z1 在孤立奇點處的留數(shù)。z22z四、綜合題（共36 分）1設 f z x 3y32x2 y2 i ，問f (z)在何處可導？何處解析？并在可導處求出導數(shù)值。（8( )分）2將函數(shù) f (z)1分別在 0與圓環(huán)域內展開為羅倫級數(shù)。(z 1)(z 2)z 1 1 0 z 2（10 分）3求余弦函數(shù)f (t)cos 0t 的傅里葉變換。（ 8 分）4用 Laplace 變換求解常微分方程。（ 10 分）y3y3yy1y(0)y (0)1,y(0) 2精彩文檔實用標準文案第三套一、填空題1 3,6 ,36 i ； 2x； 3 0

21、； 4 1； 5可去奇點；6 -1；7 1；5555x2y28 et1二、選擇題BDCBD ，BABCC三、計算題( 每題 5 分，共 20 分 )1、解：（ 1）因為 1 2i5 2 不在曲線 C：2 內所以根據柯西定理得： f (1 2i ) 0（2 分）（ 2）已知 z1在曲線 C：2 內，由柯西積分公式得：sinf (1)4dsin .2 i2 i（3 分）| 214（ 3）由高階導數(shù)公式得：sin422（ 3分）f (1)|2(1)2 d(sin4)2 i4i12、解：設 f (z)ez在曲線 C 內除 z 0,1之外處處解析，（2 分）z(z21)又因為 z0,1是 f ( z)e

22、z的一階極點，根據留數(shù)定理得：z( z21)z3ed z 2iRes f ( z),zk C z(z21)k 1Re s f ( z),02i ， Re s f (z),1e i ， Re s f (z),11 i （ 4 分）eezd zi (e1（2 分）C z(z2 1)2)e精彩文檔實用標準文案3、解：由 f (z)z1得：z22 zz0和 z2 都是 f ( z) 的孤立奇點，并且是一階極點，（2 分）Re s f ( z),01（3 分）Re s f ( z), 23（3分）22四、綜合題1 解： u( x, y)x 3y3 ,v(x, y)2x 2 y 2u3x2 ,u3 y2

23、,v4xy 2 ,v4 x2 y（4 分）xyxy均連續(xù)，要滿足 CR 條件，必須要3x 24x 2 y,4xy23y 2 成立即僅當 xy0 和 xy3f ( z) 處處不解析；（2 分）時才成立，所以函數(shù)4f ( 0)u(0 ,0 ) i v (0 ,0 )0,f ( 33 i )u3 3i v3 327 (1 i )（2分） 2解：xx4 4x(4 ,4)x( 4,4 )16f (z)11( zn0z（5 分）( z 1)(z 2)(z 1)(1 (z 1）)n 11)1 1f (z)11(1)n1 z 2（5分） 3 解：( z 1)(z 2)21n 1 ( z 2)n 2(z2)(1)(z2)F ()F f (t)cos0te i t dt1(ei 0tei0t )e it dt21 e i (0 )te i (0 ) t dt1 2(0 )2