一元二次不等式的解法

1、知識點(diǎn)一：一元二次不等式的定義注意:只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為一元二次不等式。比如：丁任意的一元二次不等式，總可以化為一般形式- ' 1或. ?：!-.： -'.知識點(diǎn)二：一般的一元二次不等式的解法設(shè)一元二次方程山八山的兩根為T T且；_,丄則相應(yīng)的不等式的解集的各種情況如下表：N-b2 -4aeA >0A = 0A < 0二次函數(shù)（尬> 0）的圖象ax+ c 二 0仗> Q）的根比尤，十bx十亡> 0 （?。┑慕饧痑x1十扮:十c <0（tf>0）的解集（1） 一元二次方程|：山的兩根丁 是相應(yīng)的不等式的

2、解集的端點(diǎn)的取值，是拋物線:-與；軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)；（2）表中不等式的二次系數(shù)均為正，如果不等式的二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，應(yīng)先利用不等式的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為二次項(xiàng)系數(shù)為正的形式，然后討論解決；（3） 解集分 ; 11 - 11 '' - 1三種情況，得到一元二次不等式 心< 與:二:.的解集。知識點(diǎn)三：解一元二次不等式的步驟（1）先看二次項(xiàng)系數(shù)是否為正，若為負(fù)，則將二次項(xiàng)系數(shù)化為正數(shù)；（2）寫出相應(yīng)的方程；：'-,計(jì)算判別式3 : L .時，求出兩根匚 二，且； '匸（注意靈活運(yùn)用因式分解和配方法）bA AX二勺 ：二'J時，求根 丄時，方程無解（3）根據(jù)不等式，

3、寫出解集.知識點(diǎn)四：用程序框圖表示求解一元二次不等式ax2+bx+c > 0（a > 0）的過程規(guī)律方法指導(dǎo)1 解一元二次不等式首先要看二次項(xiàng)系數(shù)a是否為正；若為負(fù)，則將其變?yōu)檎龜?shù)；2 若相應(yīng)方程有實(shí)數(shù)根，求根時注意靈活運(yùn)用因式分解和配方法；3寫不等式的解集時首先應(yīng)判斷兩根的大小，若不能判斷兩根的大小應(yīng)分類討論；4根據(jù)不等式的解集的端點(diǎn)恰為相應(yīng)的方程的根，我們可以利用韋達(dá)定理，找到不 等式的解集與其系數(shù)之間的關(guān)系；5若所給不等式最高項(xiàng)系數(shù)含有字母，還需要討論最高項(xiàng)的系數(shù)經(jīng)典例題透析 類型一：解一元二次不等式1 解下列一元二次不等式(1) 丁 1；;；(3)：' . '

4、; I思路點(diǎn)撥：轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)，數(shù)形結(jié)合解決，或利用符號法則解答舉一反三：【變式1】解下列不等式(1)!.；'11 ；(2) 2 i ' 11(3) -' 2 .' ；(4). - I【變式2】解不等式： f.: '總結(jié)升華：1. 初學(xué)二次不等式的解法應(yīng)盡量結(jié)合二次函數(shù)圖象來解決，培養(yǎng)并提高數(shù)形結(jié) 合的分析能力；2. 當(dāng)L-11時，用配方法，結(jié)合符號法則解答比較簡潔 (如第2、3小題)；當(dāng)L ' 且是一個完全平方數(shù)時，利用因式分解和符號法則比較快捷，(如第1小題)3. 當(dāng)二次項(xiàng)的系數(shù)小于 0時，一般都轉(zhuǎn)化為大于 0后，再解答.類型二：已知一元二

5、次不等式的解集求待定系數(shù)2 不等式匚:的解集為,求關(guān)于：的不等式A:二” W : - .的解集。總結(jié)升華：二次方程的根是二次函數(shù)的零點(diǎn)，也是相應(yīng)的不等式的解集的端點(diǎn)根據(jù)不等式的解集的端點(diǎn)恰為相應(yīng)的方程的根，我們可以利用韋達(dá)定理，找到不等式的 解集與其系數(shù)之間的關(guān)系，這一點(diǎn)是解此類題的關(guān)鍵。舉一反三：【變式1】不等式ax2+bx+12 > 0的解集為x|-3 v x v 2，則a=, b=。1 1A弋 X U _【變式2】已知.的解為三 1 ,試求、1 ,并解不等式+ 2x(5 > 0類型三：二次項(xiàng)系數(shù)含有字母的不等式恒成立恒不成立問題3 已知關(guān)于x的不等式(m2+4m-5)x2-4

6、(m-1)x+3 > 0對一切實(shí)數(shù)x恒成立， 求實(shí)數(shù)m的取值范圍。思路點(diǎn)撥：不等式對一切實(shí)數(shù)恒成立，即不等式的解集為R,要解決這個問題還需要討論二次項(xiàng)的系數(shù)?！咀兪?】已知關(guān)于/.的不等式in 的解集為 二-， 求關(guān)于.的不等式:.-I 1 ' H 的解集.總結(jié)升華：情況(1)是容易忽略的，所以當(dāng)我們遇到二次項(xiàng)系數(shù)含有字母時，一 般需討論。舉一反三：【變式1】 若關(guān)于丄的不等式:-;r_- "-1 '11的解集為空集, 求匸的取值范圍2 . I【變式2】若關(guān)于丄的不等式- - I 11的解為一切實(shí)數(shù)，求：'的取值范圍【變式3】若關(guān)于丄的不等式'&

7、quot; -I 11的解集為非空集，求匸的取值范圍類型四：含字母系數(shù)的一元二次不等式的解法舉一反三:類型四：含字母系數(shù)的一元二次不等式的解法舉一反三:4 解下列關(guān)于x的不等式(1) x2-2ax < -a2+1;(2) x -ax+1 > 0;(3) x2-(a+1)x+a v 0;【變式1】解關(guān)于x的不等式：.：類型四：含字母系數(shù)的一元二次不等式的解法舉一反三:類型四：含字母系數(shù)的一元二次不等式的解法舉一反三:【變式2】解關(guān)于的不等式：j (:5.解關(guān)于 x 的不等式：ax2- (a+1)x+1 v 0。SS類型四：含字母系數(shù)的一元二次不等式的解法舉一反三:類型四：含字母系數(shù)的

8、一元二次不等式的解法舉一反三:總結(jié)升華：熟練掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基礎(chǔ)，對最高項(xiàng)含有字母系數(shù)的不等式，要注意按字母的取值情況進(jìn)行分類討論，分類時要“不重不漏”總結(jié)升華：對含字母的二元一次不等式，一般有這樣幾步： 定號：對二次項(xiàng)系數(shù)大于零和小于零分類，確定了二次曲線的開口方向； 求根：求相應(yīng)方程的根。當(dāng)無法判斷判別式與0的關(guān)系時，要引入討論，分類求解；定解：根據(jù)根的情況寫出不等式的解集；當(dāng)無法判斷兩根的大小時，弓I入討論。2舉一反三：【變式1】解關(guān)于x的不等式:(ax-1)(x-2) >0;【變式2】解關(guān)于x的不等式:2ax + 2x-1 v 0;【變式3】解關(guān)于x的不等式：

9、ax2-x+1 > 07.如果關(guān)于x的方程x2 (m 1)x+2 m=0的兩根為正實(shí)數(shù)，則m的取值范圍是 。2學(xué)習(xí)成果測評 基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)：解下列不等式(1) 14-4x2> x; x +x+1>0 ;7.如果關(guān)于x的方程x2 (m 1)x+2 m=0的兩根為正實(shí)數(shù)，則m的取值范圍是 。2)D. (2a, 6a)3 .不等式2ax +5x+c > 0的解集為a, c的值為()(3) 2x2+3x+4<0 ;-: 1 1 ' 11 ;(7)I 匚' II1.不等式x2 ax 12a2 v 0 (其中av 0)的解集為(A . ( 3a, 4a) B. (4

10、a, 3a) C. ( 3, 4)x的取值范圍是()x -或注-1A.27.如果關(guān)于x的方程x2 (m 1)x+2 m=0的兩根為正實(shí)數(shù)，則m的取值范圍是 。27.如果關(guān)于x的方程x2 (m 1)x+2 m=0的兩根為正實(shí)數(shù)，則m的取值范圍是 。2D . a= 1, c= 6A . a=6, c=1 B . a= 6, c= 1 C. a=1, c=17.如果關(guān)于x的方程x2 (m 1)x+2 m=0的兩根為正實(shí)數(shù)，則m的取值范圍是 。27.如果關(guān)于x的方程x2 (m 1)x+2 m=0的兩根為正實(shí)數(shù)，則m的取值范圍是 。24.解不等式- J.-.'- 得到解集-一，那么的值等于()7

11、.如果關(guān)于x的方程x2 (m 1)x+2 m=0的兩根為正實(shí)數(shù)，則m的取值范圍是 。27.如果關(guān)于x的方程x2 (m 1)x+2 m=0的兩根為正實(shí)數(shù)，則m的取值范圍是 。2A . 10B . -10C. 14D. -145.不等式x2 ax bv 0的解集是A (x|2<x<3)x|2 v xv 3,則 bx2 ax 1 > 0 的解集是()i1*l 一 <x <-329.(1)(2)已知不等式ax2 求 a, b;解不等式 ax2 (ac+b)x+bc v 0。3x+6 >4 的解集為x|x v 1 或 x> b。7.如果關(guān)于x的方程x2 (m 1

12、)x+2 m=0的兩根為正實(shí)數(shù)，則m的取值范圍是 。27.如果關(guān)于x的方程x2 (m 1)x+2 m=0的兩根為正實(shí)數(shù)，則m的取值范圍是 。2利-3 <x <-2)7.如果關(guān)于x的方程x2 (m 1)x+2 m=0的兩根為正實(shí)數(shù)，則m的取值范圍是 。27.如果關(guān)于x的方程x2 (m 1)x+2 m=0的兩根為正實(shí)數(shù)，則m的取值范圍是 。26 .拋物線y= x2+5x 5上的點(diǎn)位于直線y=1的上方，則自變量x的取值范圍是 。10.不等式mx2+1 > mx的解集為實(shí)數(shù)集 R，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.7.如果關(guān)于x的方程x2 (m 1)x+2 m=0的兩根為正實(shí)數(shù)，則m的取值范圍是

13、。2能力提升:11不等式 卞曠；_的解集是全體實(shí)數(shù)，則 a的取值范圍是()4( 4A.他0) B.(呦U(嚴(yán))C卜測D. WO】U(亍枷)12 .對于滿足OW pw 4的實(shí)數(shù)p，使" -恒成立的x的取值范圍是18.解下列關(guān)于 x的不等式' ；13已知川+fct + E >0的解集為同，則不等式cx2-bx+a>0的解集是.14 .若函數(shù)1 '的定義域?yàn)镽 ,貝U a的取值范圍為綜合探究：a(x-X) 1Z 仆> 學(xué) 1)19.解關(guān)于x的不等式：.一15.若使不等式 *廠二十：【和丁一爲(wèi)+： :同時成立的x的值使關(guān)于x的不等式2-9+ < 0也成立，則a的取值范圍是 .16 .若不等式ax2+bx+c > 0的解集為x|2 v x v 3，則不等式ax2-bx+c v 0的解集是2; 不等式 cx +bx+a > 0 的解集是 .20.設(shè)集合 A=x|x -2x-8 v 0,