2019-2020年高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末綜合測(cè)評(píng)含解析新人教A版

1、2019-2020年高中數(shù)學(xué)第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用章末綜合測(cè)評(píng)含解析新人教A版、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.(2016天津高二檢測(cè))若函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且x0C(a,b),則limhT0fxq+h fx0h的值為()A. f ' (X0)B.2f ' (X0)C. 2f '(X。)D.limh0f x+h fx0hh=2limh0xq+h - fx0h ,2h=2f (x0)故選B.2.設(shè)曲線y=ax2在點(diǎn)(1 , a)處的切線與直線2x y6 = 0 平行，則 a=()A.C

2、.D. 1y' =2ax,于是切線斜率k= y |x=1=2a,由題意知 2a =2,，a=1.3.卜列各式正確的是A.(sina)=cosa( a為常數(shù))B.(cosX)=sinC.(sinx)=cos(2 , +0°) D.(x 5)165x由導(dǎo)數(shù)公式知選項(xiàng)A中(sina)'=0;選項(xiàng)B中(cosx)'=sinx;選項(xiàng)D中(x 5)=5x 64 .函數(shù)f(x)=(x3)ex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A. (8, 2)B.(0,3)C. (1,4)D.(2 , +00)【解析】f ' ( x) = (x2)ex,由 f' (x)>0得x>

3、;2,所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是【答案】5 .(2016東北三校聯(lián)考)若函數(shù)f(x)=！x3f'x2x,則f'(1)的值為()3A.0B.2C.1D.-1【解析】f'(x)=x22f'(1)x1,貝Uf'(1)=122f'(1)11,解得f'(1)=0.【答案】A6.如圖1所示，圖中曲線方程為y=x2-1,用定積分表示圍成封閉圖形(陰影部分)的面積是()圖1A. /X2-1dxB. 2(x21)dxC. jx211dxD.r(x21)dx-(x21)dx【解析】S=-(x21)dx+(x21)dx011=2|x211dx.0【答案】

4、C7.(2016泰安高二檢測(cè))函數(shù)f(x)=x3+3x2+3xa的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()A.2B.1C. 0D.由a確定【解析】f'(x)=3x2+6x+3=3(x2+2x+1)=3(x+1)2>0,.函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增，無(wú)極值.故選C.【答案】C8.若函數(shù)f(x)=-x3+3x2+9x+a在區(qū)間2,1上的最大值為2,則它在該區(qū)間上的最小值為()C. 10D. 19【解析】f(x)'=3x2+6x+9=3(x+1)(x3),所以函數(shù)在2,-1內(nèi)單調(diào)遞減，所以最大值為f(2)=2+a=2.，a=0,最小值f(1)=a5=-5.【答案】A9.已知y=f(x)是定義在R上的

5、函數(shù)，且f(1)=1,f'(x)>1,則f(x)>x的解集是()A.(0,1)B.(-1,0)U(0,1)C.(1,+oo)D.(8,1)U(1,+oo)【解析】不等式f(x)>x可化為f(x)-x>0,設(shè)g(x)=f(x)x,則g'(x)=f(x)'-1,由題意g'(x)=f'(x)1>0,函數(shù)g(x)在R上單調(diào)遞增，又g(1)=f(1)1=0,.原不等式？g(x)>0?g(x)>g(1).x>1,故選C.【答案】C10.已知函數(shù)f(x)=x2+2x+alnx,若函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)，則實(shí)數(shù)a的

6、取值范圍是()A.a>0B.a<4C.a>0或aw4D.a>0或a<4【解析】f'(x)=2x+2+a,xC(0,1),x.f(x)在(0,1)上單調(diào)，f'(x)>0或f'(x)W0在(0,1)上恒成立，a.a.-2x+2+->0或2x+2+wo在(0,1)上恒成立，xx即a>2x22x或aw2x2-2x在(0,1)上恒成立.2121設(shè)g(x)=2x2x=2,+2j+2,則g(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，g(x)max=g(0)=0,g(x)min=g(1)=-4.aAg(x)max=0或aWg(x)min=-4.【答案】

7、C11.曲線y=ln(2x1)上的點(diǎn)到直線2xy+3=0的最短距離為()A.5B.25C. 3 5D. 2【解析】設(shè)曲線上的點(diǎn)A(X0,ln(2X01)到直線2xy+3=0的距離最短,則曲線上過(guò)點(diǎn)A的切線與直線2xy+3=0平行.因?yàn)閥'=A(2xT)'所以y' | x =2/口x0=X-T=2,解得xo=1.2x01所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0).所以點(diǎn)A到直線2xy+3=0的距離為|2X1-0+3|5任f' (0)>0 ,且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x,12.已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c的導(dǎo)數(shù)為f'(x)有 f(x)>0,則 ff的最小值為()A

8、. 35B.2C. 23D.2【解析】由題意，得f' (x)=2ax+ b.由對(duì)任意實(shí)數(shù)x,有f (x) >0,知圖象開口向上，所以a>0,且 A =b2-4ac<0,所以通b2.4因?yàn)閒' (0)>0 ,所以b>0,且在x = 0處函數(shù)遞增.由此知f(0) =c>0.所以*1 a+ b+ c b+ 2Vac b+2bb4 = 2.二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分,將答案填在題中的橫線上)23x 27t7t2 I - cosy j (0 - cos 0)8+1.2x+y+1 = 0,則點(diǎn) P14.(2014江西高考)若曲線y=

9、e-上點(diǎn)P處的切線平行于直線=-e-x,的坐標(biāo)是【解析】設(shè)Rxo,yo),y=e,y' 點(diǎn)P處的切線斜率為k=-e-X0=-2, .一Xo=ln2).Xo=In2)yo=e'n2=2, 點(diǎn)P的坐標(biāo)為(一In2,2).【答案】(-ln2,2)15 .(2016南京高二檢測(cè))直線y=a與函數(shù)f(x)=x33x的圖象有三個(gè)相異的公共點(diǎn),則a的取值范圍是.2【解析】令f(x)=3x3=0,得x=±1,可求得f(x)的極大值為f(1)=2,極小值為f(1)=2,如圖所示，2<a<2時(shí)，恰有三個(gè)不同公共點(diǎn).【答案】(-2,2)16 .周長(zhǎng)為20cm的矩形，繞一條邊旋轉(zhuǎn)

10、成一個(gè)圓柱，則圓柱體積的最大值為cm.【解析】設(shè)矩形的長(zhǎng)為x,則寬為10x(0<x<10),由題意可知所求圓柱的體積V=兀x2(10-x)=10Ttx2-兀x3,V'(x)=20兀x37tx.由V，(x)=0,得x=0(舍去),x=20,3且當(dāng)xCp,魯時(shí),V，(x)>0,當(dāng)xC償10時(shí)，V'(x)<0,13，當(dāng)x=骨時(shí)，V(x)取得最大值為兀cm3.3274000三、解答題(本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟)17 .(本小題滿分10分)已知曲線y=x3+x2在點(diǎn)P0處的切線li平行于直線4xy1=0,且點(diǎn)R在第三象限，(

11、1)求R的坐標(biāo)；(2)若直線l，11,且l也過(guò)切點(diǎn)P。，求直線l的方程.【解】(1)由y=x3+x2,得y'=3x2+1,由已知得3x2+1=4,解得x=±1.當(dāng)x=1時(shí)，y=0;當(dāng)x=-1時(shí)，y=-4.又因?yàn)辄c(diǎn)P0在第三象限，所以切點(diǎn)R的坐標(biāo)為(1,4).(2)因?yàn)橹本€l，l1,l1的斜率為4,-，1所以直線l的斜率為一4,因?yàn)閘過(guò)切點(diǎn)R,點(diǎn)R的坐標(biāo)為(1,-4),1r所以直線l的萬(wàn)程為y+4=-4(x+1),即x+4y+17=0.18 .(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=aln(x+1)+gx2ax+1(a>0).(1)求函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切

12、線方程；(2)當(dāng)a>1時(shí)，求函數(shù)y=f(x)的單調(diào)區(qū)間和極值.【解】(1)f(0)=1,f'(x)=-+x-a=xx,f'(0)=0,所以函數(shù)yxI1xI1=f(x)在點(diǎn)(0,f(0)處的切線方程為y=1.(2)函數(shù)的定義域?yàn)?1,+8),令f'(x)=0,Qttxxa+1即"x+1解得x=0或x=a1.當(dāng)a>1時(shí)，f(x),f'(x)隨x變化的變化情況為x(-1,0)0(0,a-1)a1(a1,+0°)f'(x)十0一0十f(x)單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減極小值單調(diào)遞增可知f(x)的單調(diào)減區(qū)間是(0,a-1),單調(diào)增區(qū)間是(

13、一1,0)和(a1,+°°),極大值為f(0)=1,極小值為f(a-1)=alnaga2+3.19 .(本小題滿分12分)(2016荷澤高二檢測(cè))已知函數(shù)f(x)=x2mnx,h(x)=x2x+a)(1)當(dāng)a=0時(shí)，f(x)>h(x)在(1,+°°)上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)當(dāng)mi=2時(shí)，若函數(shù)k(x)=f(x)h(x)在區(qū)間1,3上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【解】(1)由f(x)>h(x)在(1,+8)上恒成立，x得mi<-在(1,+00)上恒成立，inx“x一.inx-1令g(x)=jn-x,則g(x)=口x2

14、,故g(e)=0,當(dāng)xC(1,e)時(shí)，g'(x)<0;x(e,+8)時(shí)，gz(x)>0.故g(x)在(1,e)上單調(diào)遞減，在(e,十°°)上單調(diào)遞增，故當(dāng)x=e時(shí)，g(x)的最小值為g(e)=e.所以mee.(2)由已知可知k(x)=x2lnx-a,函數(shù)k(x)在1,3上恰有兩個(gè)不同零點(diǎn)，相當(dāng)于函數(shù)(j)(x)=x2lnx與直線y=a有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，2x2曠(x)=1x=,故(T(2)=0,所以當(dāng)xC1,2)時(shí)，。(x)<0,所以(Hx)單調(diào)遞減，當(dāng)xC(2,3時(shí)，叱(x)>0,所以(Hx)單調(diào)遞增.所以4(1)=1,4(3)=32ln3,

15、4(2)=22ln2,且。(1)>。(3)>。(2)>0,所以22ln2<aw32in3.所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(22in2,32in3.20 .(本小題滿分12分)某村莊擬修建一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形蓄水池(不計(jì)厚度).設(shè)該蓄水池的底面半徑為米，高為h米，體積為Vm3.假設(shè)建造成本僅與表面積有關(guān)，側(cè)面的建造成本為100元/m2,底面的建造成本為160元/m2,該蓄水池的總建造成本為12000兀元(兀為圓周率).(1)將V表示成r的函數(shù)V(r),并求該函數(shù)的定義域；(2)討論函數(shù)V(r)的單調(diào)性，并確定r和h為何值時(shí)該蓄水池的體積最大.【解】(1)因?yàn)樾钏貍?cè)面的總成本為100

16、。2兀rh=200兀rh(元)，底面的總成本為160兀r2元，所以蓄水池的總成本為(200兀rh+160兀r2)元.又根據(jù)題意200兀rh+160兀r2=12000兀所以h=5r"(300-4r2)，從而V(r)=兀r2h=4(300r4r3).5因?yàn)閞>0,又由h>0可得r<513,故函數(shù)V(r)的定義域?yàn)?0,5木).(2)因?yàn)閂(r)=4<300r-4r3)，5所以V'(r)=2(300-12r2).5令V'(r)=0,解得ri=5,2=5(因?yàn)?=5不在定義域內(nèi)，舍去).當(dāng)rC(0,5)時(shí)，V'(r)>0,故V(r)在(0

17、,5)上為增函數(shù)；當(dāng)rC(5,543)時(shí)，V'(r)<0,故Mr)在(5,5鎘)上為減函數(shù).由此可知，V(r)在r=5處取得最大值，此時(shí)h=8.即當(dāng)r=5,h=8時(shí)，該蓄水池的體積最大.21 .(本小題滿分12分)(2016長(zhǎng)沙高二檢測(cè))拋物線y=ax2+bx在第一象限內(nèi)與直線x+y=4相切.此拋物線與x軸所圍成的圖形的面積記為S求使S達(dá)到最大值的a,b值,并求S的最大值.【解】由題設(shè)可知拋物線為凸形，它與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為x1=0,x2=a所以S=：(ax2+bx)dx=61a2b3,'0又直線x+y=4與拋物線y=ax2+bx相切，即它們有唯一的公共點(diǎn),x+y=4

18、,由方程組1_ax2+bx得ax2+(b+1)x-4=0,其判別式A=0,即(b+1)2+16a=0.12于是a=-16(b+1)2,代入式得：128b3,128b23-b&b)=3b+14(b>0)，S(b)=3b+i5；令S'(b)=0,得b=3,且當(dāng)0Vb<3時(shí)，S'(b)>0;當(dāng)b>3時(shí),S'(b)<0.故在b=3時(shí)，S(b)取得極大值，也是最大值，一9即a=-1,b=3時(shí)，S取得取大值，且Snax=222.(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)=alnx+b,曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1)處的切x十1x線方程為x+2y3=0.(1)求a,b的值；.Inx(2)求證：當(dāng)x>0,且x4時(shí)，f(x)>一 lnx1【解】由于直線1x+2y 3=0的斜率為一2