函數(shù)值域最值求法小結(jié)

1、實(shí)用文案函數(shù)值域求法小結(jié)一、觀察法 （根據(jù)函數(shù)圖象、性質(zhì)能較容易得出值域( 最值 ) 的簡(jiǎn)單函數(shù)）1、求 yx242 的值域。由絕對(duì)值函數(shù)知識(shí)及二次函數(shù)值域的求法易得：g( x)x 2420, 所以 y2,2、求函數(shù)y1的值域。x11分析：首先由x10，得x1 +11，然后在求其倒數(shù)即得答案。解：x 1 0x 1 +1 1，1函數(shù)的值域?yàn)椋ǎ?，x1 1二、配方法（當(dāng)所給函數(shù)是二次函數(shù)或可化為二次函數(shù)的復(fù)合函數(shù)時(shí)，可利用配方法求值域）1、求函數(shù) y2x24x (x0,4 ) 的值域。設(shè)：)2)0)2xxx fxf ( x)( x 2) 4( x 0, 4 )f配方得：利用二次函數(shù)的(4 (相關(guān)

2、知識(shí)得f (x)0,4，從而得出： y2, 2。說(shuō)明： 在求解值域 ( 最值 ) 時(shí)，遇到分式、 根式、對(duì)數(shù)式等類型時(shí)要注意函數(shù)本身定義域的限制，本題為：f ( x)0 。2、求函數(shù) ye x2 4 x 3 的值域。解答：此題可以看作是y eu 和 ux 24x3 兩個(gè)函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)，對(duì) u 配方可得：u( x2) 21，得到函數(shù) u 的最大值 u 1，再根據(jù) y eu 得到 y 為增函數(shù)且 y 0 故函數(shù) ye x24 x 3 的值域?yàn)椋?y(0, e 。3、若 x2 y4, x0, y 0 ，試求 lg xlgy 的最大值。本題可看成一象限動(dòng)點(diǎn)p( x, y) 在直線 x2 y4 上滑

3、動(dòng)時(shí)函數(shù) lg x lg ylg xy 的最大值。利用兩點(diǎn)(4 ， 0) ， (0 ， 2) 確定一條直線，作出圖象易得：x (0,4), y (0,2), 而 lg x lg y lg xy lg y(4 2 y) lg 2( y 1) 22， y=1 時(shí)， lg x lg y 取最大值 lg 2 。三、反函數(shù)法（分子、分母只含有一次項(xiàng)的函數(shù)，也可用于其它易標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案反解出自變量的函數(shù)類型）對(duì)于存在反函數(shù)且易于求得其反函數(shù)的函數(shù)， 可以利用 “原函數(shù)的定義域和值域分別為其反函數(shù)的值域和定義域” 這一性質(zhì)， 先求出其反函數(shù)， 進(jìn)而通過(guò)求其反函數(shù)的定義域的方法求原函數(shù)的值域。1、求函數(shù)2xy的

4、值域。x1由于本題中分子、分母均只含有自變量的一次型，易反解出x，從而便于求出反函數(shù)。y2xxy即 yx反解得22xx 1y故函數(shù)的值域?yàn)椋簓(,2)(2,) 。（反函數(shù)的定義域即是原函數(shù)的值域）2、求函數(shù)yex1ex的值域。1解答：先證明yex1有反函數(shù)，為此，設(shè)x1x2 且 x1 , x2R ，ex1y1y2ex11ex212ex1ex20。ex11ex21(ex11)(ex21)所以 y 為減函數(shù)，存在反函數(shù)?？梢郧蟮闷浞春瘮?shù)為：y 1ln 11xx 。此函數(shù)的定義域?yàn)閤( 1, 1) ，故原函數(shù)的值域?yàn)閥 (1,1)。四、判別式法（分子、分母中含有二次項(xiàng)的函數(shù)類型，此函數(shù)經(jīng)過(guò)變形后可以

5、化為A( y) x2B( y)xC( y)0的形式，再利用判別式加以判斷）1、求函數(shù)y2x24x7x22x的值域。3由于本題的分子、分母均為關(guān)于x 的二次形式， 因此可以考慮使用判別式法，將原函數(shù)變形為： x2 y2xy3y2x24 x 7整理得： ( y2)x 22( y2) x3 y70 當(dāng) y2時(shí)，上式可以看成關(guān)于x 的二次方程，該方程的x 范圍應(yīng)該滿足f ( x)x22x3 0即xR 此時(shí)方程有實(shí)根即0 ，2( y2) 24( y2)(3y 7)0y 9 ,2.92注意：判別式法解出值域后一定要將端點(diǎn)值（本題是y2, y）代回方程檢驗(yàn)。2將 y2, y9分別代入檢驗(yàn)得y2 不符合方程，

6、所以y9,2) 。222、求函數(shù)yx 1的值域。x22 x2解答：先將此函數(shù)化成隱函數(shù)的形式得：yx2(2 y1)x2y10， (1)標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案這是一個(gè)關(guān)于x 的一元二次方程，原函數(shù)有定義，等價(jià)于此方程有解，即方程(1) 的判別式(2 y1) 24y(2y1)0 ，解得：1y1。22故原函數(shù)的值域?yàn)椋簓21 ,12。五、換元法 （通過(guò)簡(jiǎn)單的換元把一個(gè)函數(shù)變?yōu)楹?jiǎn)單函數(shù)，其題型特征是無(wú)理函數(shù)、三角函數(shù)（用三角代換）等）1、求函數(shù) y2x3134 x 的值域。由于題中含有13 4x 不 便 于 計(jì) 算 ， 但 如 果 令 ： t134x 注 意 t0從而得：x13t 2y13t 23 t (t0)

7、 變形得2 y(t 1) 28(t0) 即： y(,442注意：在使用換元法換元時(shí)一定要注意新變量的范圍，否則將會(huì)發(fā)生錯(cuò)誤。2、已知 p( x, y) 是圓 x 2y24 上的點(diǎn)，試求 tx 2y23xy 的值域。在三角函數(shù)章節(jié)中我們學(xué)過(guò)：sin 2cos21注意到 x2y 24 可變形為：( x )2( y ) 21令 xcos, ysin ,0,2) 則2222t43 2 cos2 sin4 6 sin 2又20,4) 即 sin 21,1 故 t2,103、試求函數(shù) ysin xcos xsin xcos x 的值域。題中出現(xiàn) cos xsin x ，而 sin 2 xcos2x1, (

8、sin xcosx) 212sin x cosx 由此聯(lián)想到將 cos xsin x 視為一整體，令 tsin xcos x2,2 由上面的關(guān)系式易得t 212sin x cos xsin x cos xt 21故原函數(shù)可變形為：2ytt 21(t 2, 2)即2 y(t 1)22, y1 (t 1)21 t 2, 222y 12 1,2六、數(shù)形結(jié)合法 （對(duì)于一些能夠準(zhǔn)確畫(huà)出函數(shù)圖像的函數(shù)來(lái)說(shuō)，可以先畫(huà)出其函數(shù)圖像，然后利用函數(shù)圖像求其值域）1、求函數(shù) y3sin x2的值域。cos x分析與解：看到該函數(shù)的形式，我們可聯(lián)想到直線中已知兩點(diǎn)求直線的斜率的公式標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案ky2y1 ，將原函數(shù)視

9、為定點(diǎn) (2 ， 3) 到動(dòng)點(diǎn) (cos x, sin x) 的x2x1斜率，又知?jiǎng)狱c(diǎn)(cos x, sin x) 滿足單位圓的方程，從而問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)（ 2，3）到單位圓連線的斜率問(wèn)題，作出圖形觀察易得的最值在直線和圓上點(diǎn)的連線和圓相切時(shí)取得，從而解得：623623y 3,32、求函數(shù) yx1x 3 的值域。Y分析：此題首先是如何去掉絕對(duì)值，將其做成一個(gè)分段函數(shù)。y=-2x+42x4,x(,1,y2,x (1,3),y=2x-442x4,x3,),在對(duì)應(yīng)的區(qū)間內(nèi)，畫(huà)出此函數(shù)的圖像，如圖 1 所示，易得出函數(shù)的值域?yàn)?2,) 。七、不等式法（能利用幾個(gè)重要不等式及推論來(lái)求得最值。（如：213

10、XO圖1a 2b22ab, a b2 ab ），利用此法求函數(shù)的值域，要合理地添項(xiàng)和拆項(xiàng)，添項(xiàng)和拆項(xiàng)的原則是要使最終的乘積結(jié)果中不含自變量，同時(shí)，利用此法時(shí)應(yīng)注意取" " 成立的條件。）1、當(dāng) x0 時(shí)，求函數(shù)f ( x)8x4的最值，并指出f (x) 取最值時(shí)x 的值。x2因 為f ( x)44x4x4可 利 用 不 等 式 abc 33 abc即 ：8x2x 2xf ( x)3 3 4x4所以 f ( x)12 當(dāng)且僅當(dāng) 4x4即 x1 時(shí)取“ =”當(dāng) x1 時(shí)4x2x2xf ( x) 取得最小值12。2、雙曲線 x2y21的離心率為 e1 ，雙曲線 y2xa2b2b2

11、a221的離心率為 e2 ，則 e1e2 的最小值是（）。A22 B4C2D2a 2b2a 2b2根據(jù)雙曲線的離心率公式易得：e1 e2，我們知道 x y 2 xyab標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案所以 e1e22a2b2（當(dāng)且僅當(dāng)a 2b 2a 2b2時(shí)取“ =”）而 a 2b22ababab故 e1 e22 2（當(dāng)且僅當(dāng) ab 時(shí)取“ =”） 所以 (e1e2 )nmi2 2 。說(shuō)明：利用均值不等式解題時(shí)一定要注意“一正，二定，三等”三個(gè)條件缺一不可。3、求函數(shù) yx2x 1 的值域。解 答 ： yx 2x112 ， 當(dāng) 且 僅 當(dāng) x1 時(shí) "" 成立。 故函數(shù)的值域?yàn)閤 1x 1y

12、2,) 。此法可以靈活運(yùn)用， 對(duì)于分母為一次多項(xiàng)式的二次分式， 當(dāng)然可以運(yùn)用判別式法求得其值域，但是若能變通地運(yùn)用此法，可以省去判別式法中介二次不等式的過(guò)程。4、求函數(shù)yx22 x2的值域。x 1解答： 此題可以利用判別式法求解，這里考慮運(yùn)用基本不等式法求解此題，此時(shí)關(guān)鍵是在分子中分解出" ( x1)" 項(xiàng)來(lái)，可以一般的運(yùn)用待定系數(shù)法完成這一工作，辦法是設(shè)：( x 1)( x b) c x22x 2，將上面等式的左邊展開(kāi)，有：2(1) () ，xbxbc故而 b1 2 ， bc2 。解得 b1， c1 。從而原函數(shù) y( x 1)( x 1)1( x1)x11 ；x 1)

13、當(dāng) x1時(shí)， x10， x110，此時(shí) y2 ，等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng) x 0。) 當(dāng) x1 時(shí)，( x1)0，10 ，此時(shí)有x1(x1)( x1)1( x1)1( x1)1yx1x12 ，x1等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)x2。綜上，原函數(shù)的值域?yàn)椋簓(,22,) 。八、部分分式法（分離常數(shù)法）（分式且分子、分母中有相似的項(xiàng)，通過(guò)該方法可將原函數(shù)轉(zhuǎn)化為為 y kf( x) ( k為 常數(shù) ) 的形式）1、求函數(shù) yx 2x2的值域。xx 1觀察分子、分母中均含有x 2x項(xiàng)，可利用部分分式法；則有標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案x2xx 2x 1111不妨令：yx 1x2x 113x 2( x2)42f ( x) ( x1 )2

14、3 , g( x)1( f (x)0) 從而 f ( x)3,24f ( x)4注意：在本題中應(yīng)排除f (x)0，因?yàn)?f ( x) 作為分母。所以g( x)0,3故 y1,1431 (3x2)1112、如對(duì)于函數(shù) yx1，利用恒等變形，得到：y33，3 x23x233(3x2)容易觀察得出此函數(shù)的值域?yàn)閥(,31)(31 , )。注意到分時(shí)的分子、 分母的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)， 分離出一個(gè)常數(shù)后，再通過(guò)觀察或配方等其他方法易得函數(shù)值域。九、單調(diào)性法 （利用函數(shù)在給定的區(qū)間上的單調(diào)遞增或單調(diào)遞減求值域）1、求函數(shù) ylog 1 ( 4xx2 ) 的值域。2由于函數(shù)本身是由一個(gè)對(duì)數(shù)函數(shù)（外層函數(shù)）和二次函數(shù)

15、（內(nèi)層函數(shù)）復(fù)合而成，故可令：2配方得： fxx2所以 fx（由復(fù)合函數(shù)的f ( x)x4x( f ( x)0)()(2)4( )0,4)單調(diào)性（同增異減）知：y 2,) 。當(dāng)函數(shù) f在 (a,b) 上單調(diào)，譬如f在 ( a, b) 上遞增時(shí)，自然有函數(shù)f在 (a, b) 上的值域?yàn)? f (a0), f (b0) ( 其 中 f ( a0)limf ( x), f (b0)limf ( x) ，當(dāng) xa 時(shí) ，xax bf ( x)也稱其存在，記為f ( a0);若 f在 (a,b) 上遞減，函數(shù)f在 ( a, b) 上的值域?yàn)?( f (b0),f (a0) 。在閉區(qū)間 a, b 上也有相

16、應(yīng)的結(jié)論。2、求函數(shù) y3x68x 的值域。此題可以看作yuv和 u3x6， v8 x 的復(fù)合函數(shù)，顯然函數(shù)u3x6為單調(diào)遞增函數(shù)，易驗(yàn)證v8x 亦是單調(diào)遞增函數(shù)，故函數(shù)y3x68x 也是單調(diào)遞增函數(shù)。而此函數(shù)的定義域?yàn)?,8 。當(dāng) x2 時(shí)， y 取得最小值10。當(dāng) x8時(shí)， y 取得最大值30。標(biāo)準(zhǔn)實(shí)用文案故而原函數(shù)的值域?yàn)?0,30 。十、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的值域（若函數(shù) f 在（ a、b）內(nèi)可導(dǎo)，可以利用導(dǎo)數(shù)求得f 在（ a、 b）內(nèi)的極值，然后再計(jì)算f在 a，b 點(diǎn)的極限值。從而求得f 的值域）求函數(shù) f ( x) x33x 在 (5,1) 內(nèi)的值域。分 析 ： 顯 然 f 在 (5,3

17、)可導(dǎo)，且f()323。 由f ( x)0得f的極值點(diǎn)為xxx1, x1。f (1) 2,f (10)2 。 f ( 50)140 。所以，函數(shù)f 的值域?yàn)?(2,140) 。十一、最值法 （對(duì)于閉區(qū)間 a ， b 上的連續(xù)函數(shù) y=f(x)，可求出 y=f(x)在區(qū)間 a ， b 內(nèi)的極值，并與邊界值f(a) 、 f(b)作比較，求出函數(shù)的最值，可得到函數(shù)y 的值域）已知 (2x2-x-3)/(3x2+x+1)0，且滿足 x+y=1 ，求函數(shù) z=xy+3x 的值域。點(diǎn)撥：根據(jù)已知條件求出自變量x 的取值范圍， 將目標(biāo)函數(shù)消元、 配方，可求出函數(shù)的值域。解： 3x2+x+1 0，上述分式不等

18、式與不等式2x2-x-3 0 同解，解之得1 x 3/2 ，又x+y=1，將 y=1-x 代入 z=xy+3x中，得 z=-x2+4x(-1 x 3/2) ， z=-(x-2)2+4 且 x -1 ，3/2 ，函數(shù) z 在區(qū)間 -1 ，3/2 上連續(xù)， 故只需比較邊界的大小。當(dāng) x=-1 時(shí)， z= 5；當(dāng) x=3/2 時(shí)， z=15/4 。函數(shù) z 的值域?yàn)?z 5z 15/4 。點(diǎn)評(píng)： 本題是將函數(shù)的值域問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值。對(duì)開(kāi)區(qū)間，若存在最值，也可通過(guò)求出最值而獲得函數(shù)的值域。十二、構(gòu)造法（根據(jù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征，賦予幾何圖形，數(shù)形結(jié)合）求函數(shù) y= x2+4x+5+ x2-4x+8 的值域。點(diǎn)撥：將原函數(shù)變形，構(gòu)造平面圖形，由幾何知識(shí)，確定出函數(shù)的值域。解：原函數(shù)變形為f(x)= (x+2)