勾股定理練習題目及問題詳解

1、實用標準文案勾股定理課時練（1）1.在直角三角形ABC中，斜邊 AB=1，則 AB2 BC 2AC 2 的值是（）9.如圖，在四邊形 ABCD 中， A=60°， B=D=90°， BC=2， CD=3，求 AB的長 .A.2B.4C.6D.82. 如圖 182 4所示 , 有一個形狀為直角梯形的零件ABCD， AD BC，斜腰 DC的長為10 cm，D=120°，則該零件另一腰 AB的長是 _ cm （結果不取近似值） .3.直角三角形兩直角邊長分別為5 和 12，則它斜邊上的高為 _第9題圖4. 一根旗桿于離地面12 m 處斷裂，猶如裝有鉸鏈那樣倒向地面，旗桿

2、頂落于離旗桿地步16 m ，旗桿在斷裂之前高多少m ？10.如圖，一個牧童在小河的南4km的 A 處牧馬，而他正位于他的小屋B 的西 8km北 7km 處，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家. 他要完成這件事情所走的最短路程是多少？5. 如圖，如下圖，今年的冰雪災害中，一棵大樹在離地面3 米處折斷，樹的頂端落在離樹桿底部4米處，那么這棵樹折斷之前的高度是米 .3m“路”4m11 如圖，某會展中心在會展期間準備將高5m,長 13m，寬 2m的樓道上鋪地毯 , 已知地毯平方米 18第5題圖第2題圖元，請你幫助計算一下，鋪完這個樓道至少需要多少元錢?6. 飛機在空中水平飛行 , 某一時刻剛好飛到

3、一個男孩子頭頂正上方4000 米處 , 過了 20 秒 , 飛機距13m5m離這個男孩頭頂 5000 米 , 求飛機每小時飛行多少千米?第 11題12. 甲、乙兩位探險者到沙漠進行探險，沒有了水，需要尋找水源為了不致于走散，他們用兩7. 如圖所示，無蓋玻璃容器，高18 cm ，底面周長為60 cm ，在外側距下底1 cm 的點 C處有一部對話機聯(lián)系，已知對話機的有效距離為15 千米早晨8：00 甲先出發(fā)，他以 6千米 / 時的速度蜘蛛，與蜘蛛相對的容器的上口外側距開口1 cm 的 F 處有一蒼蠅， 試求急于撲貨蒼蠅充饑的蜘蛛，向東行走， 1 小時后乙出發(fā)， 他以 5 千米 / 時的速度向北行進

4、， 上午 10：00，甲、乙二人相距多遠？所走的最短路線的長度 .還能保持聯(lián)系嗎？第7題圖8. 一個零件的形狀如圖所示，已知AC=3cm ，AB=4cm ， BD=12cm 。求 CD的長 .精彩文檔第 8題圖實用標準文案第一課時答案：在直角三角形 CBD中，根據(jù)勾股定理，得2222CD=BC+BD=25+12 =169，所以 CD=13.1.A ，提示：根據(jù)勾股定理得BC 2AC 21，所以 AB2BC 2AC 2=1+1=2；9. 解：延長 BC、 AD交于點 E. （如圖所示）2.4 ，提示：由勾股定理可得斜邊的長為5 m ，而 3+4-5=2 m ，所以他們少走了4 步. B=90&#

5、176;， A=60°， E=30°又 CD=3， CE=6， BE=8，3. 60 ，提示：設斜邊的高為x ，根據(jù)勾股定理求斜邊為12 252169 13 ，再利設 AB=x ，則 AE=2x ，由勾股定理。 得 ( 2x) 2x 282 , x8313315 12113x, x6010. 如圖，作出A點關于的對稱點，連接交于點，則就是最短路線 .在用面積法得，；2MNAA BMNPA B2mm13Rt ADB中，由勾股定理求得 A B=17km4. 解：依題意，AB=16，A， AC=12在直角三角形 ABC中 , 由勾股定理 ,BC 2AB 2AC 216 212 2

6、202 ,11. 解：根據(jù)勾股定理求得水平長為1325212m，MPN地毯的總長 為 12+5=17（ m），地毯的面積為17× 2=34（ m2) ，A所以 BC=20m ,20+12=32( m ),故旗桿在斷裂之前有32 m 高.5.86.解 : 如圖 , 由題意得 ,AC=4000 米, C=90° ,AB=5000 米 , 由勾股定理得BC=50002400023000( 米 ),3所以飛機飛行的速度為540( 千米 / 小時 )鋪完這個樓道至少需要花為：34× 18=612（元）12. 解：如圖，甲從上午 8：00 到上午 10：00 一共走了 2 小

7、時，走了 12 千米，即 OA=12乙從上午 9： 00 到上午 10：00 一共走了 1 小時，走了 5 千米，即=5OB在 Rt中，2=122十 52 169，=13，OABABAB因此，上午10： 00 時，甲、乙兩人相距13 千米DB第 10題圖B2036007. 解：將曲線沿 AB展開，如圖所示，過點 C 作 CE AB 于 E.在 RtCEF ,CEF90 ， EF=18-1-1=16 （ cm ），1CE=30(cm) ，2.60CE2EF230216234( )由勾股定理，得CF= 15 13，甲、乙兩人還能保持聯(lián)系OA8.解：在直角三角形ABC中，根據(jù)勾股定理，得BC2AC2

8、AB2324225精彩文檔實用標準文案勾股定理的逆定理（2）1一、 選擇題10.如圖， 、分別是正方形中和邊上的點，且=4，= 4，為的中點，連E FABCD BCCDABCEBC FCD1. 下列各組數(shù)據(jù)中，不能作為直角三角形三邊長的是（）接、，問是什么三角形？請說明理由 .AFAEAEFA.9 ， 12， 15 B.53C.0.2， 0.3 ， 0.4 D.40 ， 41， 9AD4,1,42. 滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（）FA. 三個內角比為 121B.三邊之比為 1 2 5BEC第 10題C.三邊之比為3 25D. 三個內角比為 1233. 已知三角形兩邊長為2 和

9、6，要使這個三角形為直角三角形，則第三邊的長為（）A.2B. 210C.42或 2 10 D. 以上都不對11.如圖， AB為一棵大樹，在樹上距地面10m的 D處有兩只猴子，它們同時發(fā)現(xiàn)地面上的C處有一筐水果，一只猴子從處上爬到樹頂A處，利用拉在A處的滑繩，滑到處，另一只猴子從DACC4.五根小木棒，其長度分別為7， 15， 20， 24， 25，現(xiàn)將他們擺成兩個直角三角形，其中正確的處滑到地面 ，再由B跑到，已知兩猴子所經(jīng)路程都是15m，求樹高.是（）DBCAB725202520242424252024157207157151525(A)(B)(C)(D)AD .ABCD二、填空題5. AB

10、C的三邊分別是7、24、25，則三角形的最大內角的度數(shù)是.6. 三邊為 9、 12、 15 的三角形，其面積為.BC第11題12. 如圖，為修通鐵路鑿通隧道AC，量出 A=40° B 50°， AB 5 公里， BC4 公里，若每天鑿7.已知三角形 ABC的三邊長為 a, b, c 滿足 ab10, ab18， c8，則此三角形為三角形 .隧道 0.3公里，問幾天才能把隧道AB鑿通？8.cmcmcm，則 BC邊上的高為 AD=cm.在三角形 ABC中， AB=12， AC=5， BC=13三、解答題9.如圖，已知四邊形中， =90°，=3，=4，=12， =13，

11、求四邊形的面積 .ABCDBABBCCDADABCD第 9題圖精彩文檔實用標準文案18.2 勾股定理的逆定理答案：一、1.C ；2.C ；3.C ，提示：當已經(jīng)給出的兩邊分別為直角邊時，第三邊為斜邊 =2262210;當 6 為斜邊時，第三邊為直角邊= 622242；4.C ；二、 5.90 °提示：根據(jù)勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，所以最大的內角為90° .6.54，提示：先根基勾股定理逆定理得三角形是直角三角形，面積為191254.7.2直角，提示：(a b) 2100, 得 a 2b 22ab100, a 2b 2100 2 186482c2；8. 60 ，提示

12、：先根據(jù)勾股定理逆定理判斷三角形是直角三角形，再利用面積法求得113112513AD ；22三、 9. 解：連接，在 Rt中，ACABC2=2 2=3242=25， =5.AC ABBCAC在中，22=25 122=169，ACDAC CD而22AB=13 =169，222=90°=， ACCD ABACD故 S 四邊形 ABCD=S ABCS ACD= 1 AB·BC 1 AC· CD= 1 ×3×4 1 × 5× 12=6 30=36.22222 210. 解：由勾股定理得 AE=25，EF=5，2222AF=20， A

13、E= EF + AF， AEF是直角三角形11. 設 AD=x 米，則 AB為（ 10+x）米， AC為（ 15- x）米， BC為 5 米， ( x+10) 2 +52 =(15- x) 2，解得x=2， 10+x=12（米）12. 解：第七組， a27 115, b2 7( 71) 112,c 112 1 113.第 n 組， a 2n1,b2n(n1),c2n(n1)1精彩文檔實用標準文案勾股定理的逆定理（3）8. 已知：如圖 182 8，在 ABC中， CD是 AB邊上的高，且2CD=AD· BD.一、基礎·鞏固求證： ABC是直角三角形 .1. 滿足下列條件的三角

14、形中，不是直角三角形的是（）A.三內角之比為 123B.三邊長的平方之比為 1 2 3C.三邊長之比為 345D.三內角之比為 3452. 如圖 1824 所示 , 有一個形狀為直角梯形的零件ABCD， AD BC，斜腰 DC的長為10 cm，圖 18 28D=120°，則該零件另一腰 AB的長是 _ cm（結果不取近似值） .9. 如圖 18 29 所示，在平面直角坐標系中，點A、B 的坐標分別為 A（ 3，1），B（ 2，4）， OAB是直角三角形嗎？借助于網(wǎng)格，證明你的結論圖 18圖 18 25圖 18263. 如圖 18 25，以 Rt ABC的三邊為邊向外作正方形，其面積分

15、別為S1、S2、S3，且S1=4，S2=8，則 AB的長為 _.4. 如圖18 26，已知正方形ABCD的邊長為4，E為AB中點， F 為AD上的一點，且AF=1 AD，試判斷 EFC的形狀 .4. 圖 182 9 10. 已知：在ABC中， A、 B、 C 的對邊分別是a、b、 c，滿足a2+b2+c2+338=10a+24b+26c.試判斷ABC的形狀 .5. 一個零件的形狀如圖 182 7，按規(guī)定這個零件中 A 與 BDC都應為直角， 工人師傅量得零件各邊尺寸： AD=4，AB=3,BD=5，DC=12 , BC=13 ，這個零件符合要求嗎？12. 已知：如圖18210，四邊形ABCD，

16、 AD BC， AB=4，BC=6， CD=5，AD=3.求：四邊形ABCD的面積 .圖 18 276. 已知 ABC的三邊分別為 k 2 1， 2k， k2+1（k 1），求證： ABC是直角三角形 .圖 18210參考答案一、基礎·鞏固二、綜合·應用1. 滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是（）7. 已知 a、b、 c 是 Rt ABC的三 邊長， A1 B1 C1 的三邊長分別是2a、2b、2c，那么 A1B1C1 是直角A. 三內角之比為123B.三邊長的平方之比為 1 2 3三角形嗎？為什么？C. 三邊長之比為345D.三內角之比為 345精彩文檔實用標準文

17、案思路分析： 判斷一個三角形是否是直角三角形有以下方法：有一個角是直角或兩銳角互余；4. 如圖 18 2 6，已知正方形ABCD的邊長為4，E 為 AB中點， F 為 AD上的一點，且AF=1 AD，兩邊的平方和等于第三邊的平方；一邊的中線等于這條邊的一半.4由 A 得有一個角是直角； B、 C 滿足勾股定理的逆定理，所以應選 D.試判斷 EFC的形狀 .答案： D思路分析： 分別計算 EF、CE、CF的長度，再利用勾股定理的逆定理判斷即可.2. 如圖 1824 所示 , 有一個形狀為直角梯形的零件ABCD， AD BC，斜腰 DC的長為10 cm，解： E 為 AB中點， BE=2.D=12

18、0°，則該零件另一腰 AB的長是 _ cm（結果不取近似值） .22222 CE=BE+BC=2 +4 =20.2222222222同理可求得 ,EF =AE+AF=2 +1 =5,CF =DF+CD=3 +4 =25.222 CE+EF=CF, EFC是以 CEF為直角的直角三角形.圖 1824解：過 D點作 DEAB交 BC于 E,則 DEC是直角三角形 . 四邊形 ABED是矩形， AB=DE. D=120°， CDE=30° .又在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半，CE=5 cm.根據(jù)勾股定理的逆定理得，DE= 102525 3 c

19、m. AB= 1025253 cm.3. 如圖 18 25，以 Rt ABC的三邊為邊向外作正方形，其面積分別為S1、S2 、S3，且 S1=4，S2=8，則 AB的長為 _.圖 1825圖 18 26思路分析： 因為 ABC是 Rt，所以222=S3，所以 S3=12，因為2BC+AC=AB, 即 S1+S2S3=AB, 所以AB= S312 23.答案： 23精彩文檔5. 一個零件的形狀如圖 182 7，按規(guī)定這個零件中 A 與 BDC都應為直角， 工人師傅量得零件各邊尺寸： AD=4， AB=3,BD=5， DC=12 , BC=13 ，這個零件符合要求嗎？圖 182 7思路分析： 要檢

20、驗這個零件是否符合要求，只要判斷 ADB和 DBC是否為直角三角形即可，這樣勾股定理的逆定理就可派上用場了 .22222解：在 ABD中， AB+AD=3 +4 =9+16=25=BD，所以 ABD為直角三角形， A =90° .在 BDC中,222222BD+DC=5 +12 =25+144=169=13 =BC.所以 BDC是直角三角形，CDB =90°.因此這個零件符合要求.6. 已知 ABC的三邊分別為 k 2 1， 2k， k2+1（k 1），求證： ABC是直角三角形 .思路分析： 根據(jù)題意，只要判斷三邊之間的關系符合勾股定理的逆定理即可.證明： k 2+1&g

21、t;k2 1,k 2 +1 2k=(k 1) 2>0, 即 k 2+1>2k， k2+1 是最長邊 . (k 2 1) 2+(2k ) 2=k4 2k2 +1+4k2 =k4 +2k 2+1=(k 2 +1) 2 , ABC是直角三角形 .二、綜合·應用7. 已知 a、b、 c 是 Rt ABC的三 邊長， A1 B1C1 的三邊長分別是 2a、2b、2c，那么 A1B1 C1 是直角三角形嗎？為什么？思路分析： 如果將直角三角形的三條邊長同時擴大一個相同的倍數(shù)，得到的三角形還是直角三角形（例 2 已證） .解：略實用標準文案8. 已知：如圖 182 8，在 ABC中，

22、CD是 AB邊上的高，且2錯誤的原因是 _；本題的正確結論是 _.CD=AD·BD.求證： ABC是直角三角形 .思路分析： 做這種類型的題目，首先要認真審題，特別是題目中隱含的條件，本題錯在忽視了 a 有可能等于 b 這一條件，從而得出的結論不全面 .答案： (B)沒有考慮 a=b 這種可能，當 a=b 時 ABC是等腰三角形；ABC是等腰三角形或直角三角形 .11. 已知：在 ABC中， A、 B、 C 的對邊分別是 a、b、 c，滿足 a2 +b2 +c2 +338=10a+24b+26c.圖 182 8試判斷 ABC的形狀 .思路分析： 根據(jù)題意，只要判斷三邊符合勾股定理的逆

23、定理即可.思路分析：（1）移項，配成三個完全平方；(2) 三個非負數(shù)的和為0，則都為 0；(3) 已知 a、b、222222c，利用勾股定理的逆定理判斷三角形的形狀為直角三角形.證明： AC=AD+CD， BC=CD+BD，22222222 AC+BC=AD+2CD+BD解：由已知可得 a 10a+25+b 24b+144+c 26c+169=0,22配方并化簡得 ,(a 5)22 13)2=0.=AD+2AD·BD+BD+(b 12) +(c22 (a 5)2 0,(b 12)220.=（AD+BD）=AB. 0,(c 13) ABC是直角三角形 . a 5=0,b 12=0,c

24、13=0.9. 如圖 18 29 所示，在平面直角坐標系中，點A、B 的坐標分別為 A（ 3，1），B（ 2，4）， OAB解得 a=5,b=12,c=13.是直角三角形嗎？借助于網(wǎng)格，證明你的結論.又 a2+b2=169=c2 , ABC是直角三角形 .12. 已知：如圖18210，四邊形 ABCD， AD BC， AB=4，BC=6， CD=5， AD=3.求：四邊形ABCD的面積 .圖 182 9思路分析： 借助于網(wǎng)格，利用勾股定理分別計算OA、 AB、OB的長度，再利用勾股定理的逆定理判斷 OAB是否是直角三角形即可 .圖 182 10解：22222思路分析：（ 1）作 DE AB，連

25、結 BD，則可以證明 ABD EDB（ASA）；OA =OA1 +A1A =3 +1 =10,22222(2)DE=AB=4，BE=AD=3， EC=EB=3； (3) 在 DEC中， 3、 4、 5 為勾股數(shù)， DEC為直角三角形，OB=OB1 +B1B =2 +4 =20,22222=10,DEBC；(4)利用梯形面積公式，或利用三角形的面積可解.AB=AC+BC=1 +3222解：作 DE AB，連結 BD，則可以證明 ABD EDB（ ASA）, OA+AB=OB . OAB是以 OB為斜邊的等腰直角三角形 . DE=AB=4，BE=AD=3.10. 閱讀下列解題過程：已知a、 b、c

26、 為 ABC的三邊，且滿足 a2 c2 b2c2 =a4 b4 ，試判斷 ABC的 BC=6, EC=EB=3.形狀 .22222 DE+CE=3 +4 =25=CD,解： a2 c 2b2 c2 =a4 b4，(A) c2(a 2 b2)=(a 2 +b2)(a 2 b2) ，(B) c 2=a2+b2，（ C) ABC是直角 DEC為直角三角形 .三角形 .又 EC=EB=3,問：上述解題過程是從哪一步開始出現(xiàn)錯誤的？請寫出該步的代號_ ； DBC為等腰三角形， DB=DC=5.精彩文檔實用標準文案22222在 BDA中 AD+AB=3+4 =25=BD, BDA是直角三角形 .它們的面積

27、分別為S BDA= 1×3× 4=6;S DBC= 1× 6× 4=12.22S 四邊形 ABCD=SBDA+S DBC=6+12=18.精彩文檔實用標準文案勾股定理的應用（4）（3）結合勾股定理有關知識，說明你的結論的正確性。1. 三個半圓的面積分別為 S1=4.5 ， S2 =8， S3=12.5 ，把三個半圓拼成如圖所示的圖形，則 ABC一定是直角三角形嗎？說明理由。6. 如圖，在 Rt ABC中， ACB=90°， CD AB， BC=6， AC=8， 求 AB、CD的長A2. 求知中學有一塊四邊形的空地 ABCD，如下圖所示，學校計劃

28、在空地上種植草皮， 經(jīng)測量 A=90°，AB=3m，BC=12m，CD=13m，DA=4m，若每平方米草皮需要200 天，問學校需要投入多少資金買草皮？DBCCD7. 在數(shù)軸上畫出表示17 的點（不寫作法，但要保留畫圖痕跡）AB3. （12 分）如圖所示，折疊矩形的一邊AD，使點 D 落在 BC邊上的點F 處，已知 AB=8cm，BC=10cm，求 EC的長。8. 已知如圖，四邊形ABCD中， B=90°， AB=4， BC=3， CD=12，AD=13，求這個四邊形的面積AD4. 如圖，一個牧童在小河的南4km 的 A 處牧馬，而他正位于他的小屋B的西 8km北 7km處

29、，他想把他的馬牽到小河邊去飲水，然后回家. 他要完成這件事情所走的最短路程是多少？BC小北牧A東B小5. （ 8 分）觀察下列各式，你有什么發(fā)現(xiàn)？9. 如圖，每個小方格的邊長都為1求圖中格點四邊形ABCD的面積。DAC32 =4+5，52=12+13，72 =24+259 2=40+41 這到底是巧合，還是有什么規(guī)律蘊涵其中呢？（ 1）填空： 132 =+B（ 2）請寫出你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。精彩文檔實用標準文案勾股定理復習題（5）A. 兩直線平行 , 同旁內角互補B.若兩個數(shù)的絕對值相等, 則這兩個數(shù)相等一、填空、選擇題題：C.對頂角相等D.如果 a=b 或 a+b=0, 那么 a2b23. 有一個

30、邊長為5 米的正方形洞口，想用一個圓蓋去蓋住這個洞口，圓的直徑至少為（）米。4、一旗桿離地面6 米處折斷，旗桿頂部落在離旗桿底部8 米處，則旗桿折斷之前的高度是二、解答題：（）米。19、有一個水池， 水面是一個邊長為10 尺的正方形， 在水池正中央有一根蘆葦， 它高出水面1 尺。6、 在 ABC中， C=90° ,AB=10。 (1)若 A=30° , 則 BC=， AC=。 (2) 若 A=45° ,如果把這根蘆葦拉向水池一邊的中點，它的頂端恰好到達池邊的水面。水的深度與這根蘆葦?shù)拈L則 BC=，AC=。度分別是多少？8、在 ABC中， C=90°， A

31、C=0.9cm,BC=1.2cm.則斜邊上的高 CD=m11、三角形的三邊a b c ，滿足 ( a b) 2c22ab ，則此三角形是三角形。12、小明向東走80 米后，沿另一方向又走了 60米，再沿第三個方向走100 米回到原地。小明向20、一根竹子高 1 丈，折斷后竹子頂端落在離竹子底端3 尺處 . 折斷處離地面的高度是多少? ( 其東走 80 米后又向方向走的。中丈、尺是長度單位 ,1丈 =10 尺)13、ABC 中， AB=13cm ,BC=10cm ，BC邊上的中線 AD=12cm則 AC 的長為cm14、兩人從同一地點同時出發(fā)，一人以3 米/ 秒的速度向北直行，一人以4 米 /

32、秒的速度向東直行，5 秒鐘后他們相距米.15、寫出下列命題的逆命題，這些命題的逆命題成立嗎？21、某港口位于東西方向的海岸線上?！斑h航”號、 “海天”號輪船同時離開港口，各自沿一固定兩直線平行，內錯角相等。（）方向航行，“遠航”號每小時航行 16海里，“海天”號每小時航行12 海里。它們離開港口一個半如果兩個實數(shù)相等，那么它們的平方相等。小時后相距 30 海里。如果知道 “遠航號” 沿東北方向航行， 能知道 “海天號” 沿哪個方向航行嗎？（）若 a2b2，則 a=b（）全等三角形的對應角相等。（）角的內部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上。23、一根 70cm的木棒 , 要放在長、 寬、高分別是 50cm,40cm,30cm 的長方體木箱中 , 能放進去嗎 ?( 提（）示: 長方體的高垂直于底面的任何一條直線.)1