離散數(shù)學(xué)中圖論部分教學(xué)方法的研究

1、離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)專業(yè)的一門核心課程,為數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、操作系統(tǒng)、算法分析與設(shè)計(jì)、數(shù)據(jù)庫系統(tǒng)、人工智能、編譯原理等后繼課程的學(xué)習(xí)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。離散數(shù)學(xué)課程在講授離散問題建模、數(shù)理邏輯等技術(shù)和知識(shí)的同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維能力和嚴(yán)密的邏輯推理能力。特別是在計(jì)算機(jī)學(xué)科誕生后,這一特點(diǎn)更為顯著,其中圖論的相關(guān)教學(xué)內(nèi)容表現(xiàn)得更為突出。圖論在網(wǎng)絡(luò)理論、信息論、數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)等學(xué)科中有著十分重要的應(yīng)用,而在實(shí)際教學(xué)中,由于教學(xué)內(nèi)容概念多,定理抽象,許多學(xué)生對相關(guān)內(nèi)容的掌握程度并不理想。因此,在計(jì)算機(jī)等相關(guān)專業(yè)的離散數(shù)學(xué)教學(xué)中如何提高圖論部分的教學(xué)質(zhì)量從而促進(jìn)整個(gè)離散數(shù)學(xué)教學(xué)的效果成為教學(xué)研究中的熱點(diǎn)問題

2、12。一般來講,“離散數(shù)學(xué)”主要針對計(jì)算機(jī)專業(yè)的大二學(xué)生開設(shè)的。這些學(xué)生,具備了基本的計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)知識(shí),但是要接受這樣一門抽象性很強(qiáng)的課程還是比較困難的。所以在教學(xué)方面還是應(yīng)選擇正確合理的引導(dǎo)和教學(xué)方式。離散數(shù)學(xué)課程中圖論一般包括圖的基本概念、圖的連通、圖的矩陣表示、樹、生成樹、最短路徑、幾種特殊的圖等這幾個(gè)部分的內(nèi)容3。值得注意的是目前關(guān)于圖的術(shù)語并不完全統(tǒng)一,不同的作者不同的教材可能使用不同的描述,因此相關(guān)的教學(xué)內(nèi)容及教學(xué)組織存在巨大差異。而另一方面,由于基本教學(xué)內(nèi)容基本一致,相關(guān)內(nèi)容的教學(xué)方法存在一定規(guī)律性,所以,本文只以離散數(shù)學(xué)教學(xué)中圖論部分的一些基礎(chǔ)內(nèi)容為研究對象,研究其教學(xué)方法上共性

3、的問題。這主要包括圖的基本概念、圖的連通、圖的矩陣表示、樹、生成樹、最短路徑、幾種特殊的圖等這幾個(gè)部分的概念和一些定理及相關(guān)數(shù)學(xué)模型4。本文主要從以下幾個(gè)方面對圖論部分的教學(xué)進(jìn)行了討論:一、優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容,重視基礎(chǔ)知識(shí),注重知識(shí)滲透,實(shí)施趣味教學(xué)所謂教學(xué)并不是原原本本的把課本上所有的東西都教授給學(xué)生,教師就像一個(gè)知識(shí)加工器,一般書本上的知識(shí)大多只是簡單的知識(shí)羅列,還需要我們老師這個(gè)工具對知識(shí)進(jìn)行進(jìn)一步的加工和打磨之后,才能傳授給學(xué)生,因此優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容和改變教學(xué)內(nèi)容的枯燥性是至關(guān)重要的。對于離散數(shù)學(xué)中的基本概念,利用數(shù)學(xué)中的“形”,講清概念的來龍去脈,把抽象的內(nèi)容具體化,以使學(xué)生扎實(shí)掌握基礎(chǔ)知識(shí)。

4、例如在講授無向圖、有向圖的時(shí)候,通過畫出下面的圖1、圖2就可以很形象的給學(xué)生展示出來什么樣的圖是無向圖,什么樣的圖是有向圖。在圖1中e5和e6就是一對平行邊,而擁有平行邊的圖就是復(fù)雜圖,通過一個(gè)圖就可以得出關(guān)于無向圖的很多相關(guān)的概念。通過相應(yīng)的圖形來說明圖論中的概念,比單純的只是把一推的概念堆積在PPT里呈現(xiàn)給學(xué)生的效果要好很多。有研究表明,人對圖像的記憶能力是比對文字的記憶能力要好的多。圖1無向圖圖2有向圖發(fā)掘內(nèi)容的共性和相互滲透的知識(shí)點(diǎn),也是優(yōu)化教學(xué)內(nèi)容很重要的一點(diǎn)。如集合論部分是整個(gè)課程的基礎(chǔ),把集合描述概念的思想滲透圖論這一部分。關(guān)系是笛爾積的子集,即R=A×B。圖就是點(diǎn)集和

5、邊集構(gòu)成,各種子圖都是其子集,通過集合理論來理解圖,把抽象內(nèi)容一般化。另外,教師在講課過程中應(yīng)體現(xiàn)所授知識(shí)在后繼課程中的應(yīng)用,圖論部分特別是路與樹和二叉樹部分與數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)、算法設(shè)計(jì)與分析、形式語言與自動(dòng)機(jī)、信息論等課程的聯(lián)系是緊密相關(guān)的,重在講清理由,幫助學(xué)生以案論理,激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力。有了來龍去脈,學(xué)生學(xué)的也有的放矢,枯燥的文字也變得有生命力了。根據(jù)學(xué)生實(shí)際,實(shí)施趣味教學(xué),圖論的誕生源于歷史上有名的數(shù)學(xué)難題“哥尼斯堡七橋問題”,18世紀(jì)中葉在歐洲普魯士的哥尼斯堡城內(nèi)有一條貫穿全市的普雷格爾河,河中有兩哥小島,有七座橋相連接,當(dāng)時(shí)該城市中的人們熱衷于一個(gè)難題:一個(gè)人怎樣不重復(fù)地走完七座橋,最后

6、回到出發(fā)點(diǎn)5?后來發(fā)展成為世界難題,但經(jīng)過數(shù)學(xué)抽象,不需多么高深的數(shù)學(xué)知識(shí)就可解決。通過這種趣味問題的引入,來調(diào)劑難度,增強(qiáng)了教學(xué)感染力。講解圖論中的歐拉圖時(shí),可以先通過PPT顯示下面這幅圖:圖3問學(xué)生是否能一筆畫下來,這時(shí)候?qū)W生會(huì)非常感興趣,一下子就可以把學(xué)生的精神提起來了,學(xué)生思考之后,我們再通過PPT的動(dòng)畫演示把結(jié)果呈現(xiàn)給學(xué)生,借機(jī)引出要講的內(nèi)容,這屬于拋出學(xué)生感興趣的問題引起學(xué)生注意。加深學(xué)生的印象。二、通過類比方法的運(yùn)用,幫助學(xué)生對知識(shí)的理解和記憶類比是掌握概念和知識(shí)的一個(gè)比較快捷的方法。圖論中的概念很多,如平凡圖、n階零圖、完全圖、正則圖、競賽圖等等,如果放在一起去記枯燥的文字定義

7、,無疑效果是事倍功半的。我們通過把這幾種圖的圖形畫出來,通過圖形展示出各種圖的不同和特點(diǎn),對比各個(gè)圖從而幫助學(xué)生掌握這些概念。回路和通路的定義,歐拉圖和哈密頓圖的定義也可以用類比的方法,通過對比之后,學(xué)生對這些概念的理解就會(huì)更深刻,使學(xué)生對所學(xué)知識(shí)能融會(huì)貫通。三、采用多媒體教學(xué),使內(nèi)容由抽象變得具體多媒體教學(xué),在圖論部分的教學(xué)中是尤為重要的。隨著教學(xué)時(shí)數(shù)的壓縮,教學(xué)密度的加大,課時(shí)尤為緊張,而按照離散數(shù)學(xué)的教學(xué)要求,教學(xué)質(zhì)量不僅不能降低,而且還要進(jìn)一步提高。面對這些,除了對教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行精心的篩選外,還要充分利用多媒體課件教學(xué)。多媒體課件并不是簡單的把書本上的概念和定理搬到PPT上,多媒體是用具

8、體形象的媒體展示給同學(xué),使其能從中體驗(yàn)形象與抽象的關(guān)系。在講解圖的相關(guān)概念時(shí),對于每一種圖可以用具體的圖形來演示說明,把抽象的文字變成圖形既刺激學(xué)生的感覺器官,又能提高學(xué)生的興趣,幫助學(xué)生更快的掌握圖的相關(guān)概念。關(guān)于哈密頓圖的知識(shí)時(shí),可以先用PPT展示一個(gè)實(shí)心的正十二面體,20個(gè)頂點(diǎn)標(biāo)上世界著名大城市的名字,要求學(xué)生從某一城市出發(fā),遍歷各城市一次,最后回到原地。給學(xué)生一段時(shí)間尋找路徑后,用動(dòng)畫顯示出尋找路徑的過程,然后給出哈密頓圖的定義以及哈密頓圖的實(shí)例,從中讓學(xué)生歸納哈密頓圖的性質(zhì)以及如何來判斷給出的圖形是否是哈密頓圖。這些知識(shí)都掌握以后,可以向?qū)W生介紹一下哈密頓圖在計(jì)算機(jī)網(wǎng)絡(luò)布局中的應(yīng)用,

9、學(xué)生在對哈密頓圖的認(rèn)識(shí)從具體抽象具體的過程中達(dá)到了對哈密頓圖的深刻理解。四、通過師生互動(dòng)調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性講授過程中必須有學(xué)生參與,概念建立后,讓學(xué)生盡可能多地結(jié)合實(shí)際舉出此概念的實(shí)例,加深對概念的理解。多用一些實(shí)際有趣的問題去引導(dǎo)學(xué)生先去思考,然后再給出數(shù)學(xué)的求解方法,例如,在講著色問題時(shí),可以先提問我們國家地圖共有幾種顏色?平面圖部分可以結(jié)合實(shí)際中的布線問題;帶權(quán)圖的最小生成樹部分可以舉郵遞員最短路徑和最少交通費(fèi)用的例子,而在講最短路問題時(shí),也可以結(jié)合數(shù)學(xué)建模中的實(shí)際問題,建立模型求解,學(xué)生往往對現(xiàn)實(shí)的問題更感興趣。如哈夫曼編碼在計(jì)算機(jī)密碼中的應(yīng)用,讓學(xué)生自己嘗試探索的過程,如教師可以讓

10、學(xué)生通過編程驗(yàn)證哈弗曼算法,還有一筆畫的智力游戲。通過這種多樣化的思維過程和認(rèn)知方式,多種觀點(diǎn)的論爭和比較,學(xué)生理解起來會(huì)得心應(yīng)手。課上提問可以使學(xué)生“提心吊膽”從而達(dá)到專心離散數(shù)學(xué)中圖論部分教學(xué)方法的研究中國計(jì)量學(xué)院理學(xué)院信息與計(jì)算科學(xué)系尚緒鳳摘要離散數(shù)學(xué)是計(jì)算機(jī)專業(yè)一門非常重要的學(xué)科,它的思想和方法滲透到計(jì)算機(jī)應(yīng)用的各個(gè)領(lǐng)域,離散數(shù)學(xué)課程概念多,定理多,抽象度高,教師難教,學(xué)生難學(xué)的現(xiàn)象普遍存在,教學(xué)質(zhì)量很難保證,所以如何提高離散數(shù)學(xué)教學(xué)水平和質(zhì)量,成為教師在教學(xué)實(shí)踐中不斷探索的課題。而圖論又是離散數(shù)學(xué)的一個(gè)重要分支,所以圖論教學(xué)效果的提高對離散數(shù)學(xué)是至關(guān)重要的。本文我們對離散數(shù)學(xué)中圖論的

11、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法、手段進(jìn)行了探討。關(guān)鍵詞離散數(shù)學(xué)圖論教學(xué)質(zhì)量 教學(xué)效果(下轉(zhuǎn)第112頁111致志聽課的目的。這些趣味問題調(diào)動(dòng)了學(xué)生的積極性,既讓學(xué)生克服了離散數(shù)學(xué)枯燥抽象的感覺,又調(diào)動(dòng)了學(xué)生積極性,積極的思考和積極的參與。一個(gè)人在一定的時(shí)間內(nèi)所能接受的信息是有限的,因此我們不能指望一節(jié)課解決所有問題,而應(yīng)該延伸課堂教學(xué)的空間,由學(xué)生自己操作信息終端計(jì)算機(jī),相對自主地安排學(xué)習(xí)進(jìn)程,使其在好奇心的支配下體驗(yàn)學(xué)習(xí)的快樂,利用計(jì)算機(jī)強(qiáng)大的處理能力和交流能力,為學(xué)生進(jìn)一步的學(xué)習(xí)提供可能。使學(xué)生可以自主地在問題空間里探索。另外充分利用網(wǎng)絡(luò)資源,建設(shè)網(wǎng)絡(luò)課堂,也是教師和學(xué)生互動(dòng)的一個(gè)平臺(tái),學(xué)生既可以在平臺(tái)

12、上瀏覽上課的課件,也可以在線提問,還可以做相關(guān)的練習(xí)。將離散數(shù)學(xué)資料:教學(xué)大綱、考試大綱、教學(xué)計(jì)劃、課件、電子教案、習(xí)題、重要算法的演示等上傳到網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)上,并設(shè)置學(xué)生交流平臺(tái),開通公共信箱,以最大限度地滿足學(xué)生課外學(xué)習(xí)需求。網(wǎng)絡(luò)平臺(tái)使得教師和學(xué)生的交流不再只是上課的45分鐘里,有更多自由的時(shí)間。五、結(jié)束語離散數(shù)學(xué)中既有從特殊到一般的抽象,又有從一般到特殊的特化。在圖論中,先講一般圖的概念與性質(zhì),后講特殊圖:歐拉圖、哈密爾頓圖、二部圖、平面圖,再講樹的概念與性質(zhì)。授課時(shí),要注意特殊與一般相結(jié)合,既要教學(xué)生學(xué)會(huì)把一般的屬性應(yīng)用到特殊實(shí)例中去,又要教學(xué)生學(xué)會(huì)從特殊的事物中抽象出一般規(guī)律?？傊?要把離

13、散數(shù)學(xué)這一門課教好,教師就要不斷研究新的教學(xué)方法,認(rèn)真掌握教學(xué)規(guī)律,借助于現(xiàn)代化的教學(xué)手段,摒棄“填鴨式”教學(xué),提倡“啟發(fā)”式教學(xué),把抽象問題具體化,如果教師具有扎實(shí)的理論功底,并具有對學(xué)生高度負(fù)責(zé)的精神,那么就一定能夠找到較好的方法調(diào)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性,達(dá)到良好的教學(xué)效果。參考文獻(xiàn)1楊淑群,李小英,黃高昂.計(jì)算機(jī)本科專業(yè)離散數(shù)學(xué)的教學(xué)改革與實(shí)踐J .東華理工學(xué)院學(xué)報(bào)(社會(huì)科學(xué)版,2007,26(2:194-197.2何中勝.離散數(shù)學(xué)教學(xué)中的問題分析與對策研究J .高等理科教育,2007(5:107-109.3譚維奇.關(guān)于離散數(shù)學(xué)教材內(nèi)容的對比分析與思考J .安慶師范學(xué)院學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版,20

14、07,13(4:99-101.(上接第111頁一、機(jī)械加工精度機(jī)械加工精度是指零件加工后的實(shí)際幾何參數(shù)(尺寸、形狀和位置與理想幾何參數(shù)相符合的程度。零件實(shí)際幾何參數(shù)與理想幾何參數(shù)的偏離數(shù)值稱為加工誤差。加工精度與加工誤差都是評(píng)價(jià)加工表面幾何參數(shù)的術(shù)語。加工精度用公差等級(jí)衡量,等級(jí)值越小,其精度越高;加工誤差用數(shù)值表示,數(shù)值越大,其誤差越大。加工精度高,就是加工誤差小,反之亦然。任何加工方法所得到的實(shí)際參數(shù)都不會(huì)絕對準(zhǔn)確,從零件的功能看,只要加工誤差在零件圖要求的公差范圍內(nèi),就認(rèn)為保證了加工精度。加工精度包括三個(gè)方面內(nèi)容:尺寸精度指加工后零件的實(shí)際尺寸與零件尺寸公差帶中心的相符合程度。形狀精度指

15、加工后的零件表面實(shí)際幾何形狀與理想幾何形狀相符合程度。位置精度指加工后零件有關(guān)表面之間的實(shí)際位置與理想位置的符合程度。二、影響機(jī)械加工精度的因素工藝系統(tǒng)中的各組成部分,包括機(jī)床、刀具、夾具的制造誤差、安裝誤差、使用中的磨損都直接影響工件的加工精度。這些誤差與工藝系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)狀態(tài)和切削過程有關(guān),產(chǎn)生加工誤差的主要因素有:(1機(jī)床誤差,在工藝系統(tǒng)中,機(jī)床是為切削加工提供運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力的,機(jī)床原有誤差對加工精度的影響最為顯著,也最為復(fù)雜。(2工藝系統(tǒng)的受力變形,在力的作用下,工藝系統(tǒng)不可避免地要產(chǎn)生變形,從而使刀具相對于工件的正確位置受到破壞,影響機(jī)械加工精度。(3工藝系統(tǒng)的受熱變形,在熱的作用下,工

16、藝系統(tǒng)同樣不可避免地要產(chǎn)生變形,同樣會(huì)使刀具相對于工件的正確位置受到破壞,造成加工誤差。特別是對于精密加工和大件加工,由于工藝系統(tǒng)熱變形所引起的加工誤差常常占到加工總誤差的40%70%。(4主軸回轉(zhuǎn)誤差,機(jī)床主軸是裝夾工件或刀具的基準(zhǔn),并將運(yùn)動(dòng)和動(dòng)力傳給工件或刀具,主軸回轉(zhuǎn)誤差將直接影響被加工工件的精度。(5傳動(dòng)鏈誤差,傳動(dòng)鏈誤差是指傳動(dòng)鏈?zhǔn)寄﹥啥藗鲃?dòng)元件間相對運(yùn)動(dòng)的誤差。一般用傳動(dòng)鏈末端元件的轉(zhuǎn)角誤差來衡量。三、獲得加工精度的方法加工精度可以分為尺寸精度、形狀精度和位置精度。因此,加工精度的高低是以尺寸公差、形狀公差和位置公差來衡量的。1.獲得零件尺寸精度的方法(1試切法就是通過試切、測量、

17、調(diào)整、再試切,反復(fù)進(jìn)行直到被加工尺寸達(dá)到要求為止。這種方法能達(dá)到較高的加工精度,但它的效率低,對操作者的技術(shù)水平要求高,主要適用于單件小批生產(chǎn)。(2調(diào)整法就是先調(diào)整好刀具和工件在機(jī)床上的相對位置,并在一批零件的加工過程中保持這個(gè)位置不變,以此保證被加工尺寸的精度。這種方法廣泛用于各類半白動(dòng)、自動(dòng)機(jī)床和自動(dòng)線卜,適用于成批、大量生產(chǎn)。(3定尺寸刀具法就是用刀具的相應(yīng)尺寸和形狀來保證被加工部位的尺寸和形狀。例如,鉆孔、鉸孔、拉孔、鏜孔、攻螺紋和銑槽等。這種方法的加工精度主要由刀具本身的精度來保證。由于可以提高刀具制造精度,因此用尺寸刀具加工能達(dá)到相當(dāng)高的加工精度,同時(shí)又避免了試切過程,生產(chǎn)率較高。

18、其主要缺點(diǎn)是刀具的制造復(fù)雜和耗費(fèi)較大,使用的尺寸范圍受到一定的限制。此法適用于各種生產(chǎn)規(guī)模中的孔、螺紋和成形表面的加工。(4自動(dòng)控制法就是用度量裝置、進(jìn)給機(jī)構(gòu)和控制系統(tǒng)構(gòu)成加工過程的自動(dòng)循環(huán),即自動(dòng)完成加工巾的切削、度量、補(bǔ)償調(diào)整等一系列工作,當(dāng)工件達(dá)到要求的尺寸時(shí),機(jī)床自動(dòng)退刀停止加工。此法適用于成批和大量生產(chǎn)。2.獲得形狀精度的方法(1軌跡法利用刀尖運(yùn)動(dòng)軌跡來形成被加工表面的形狀的。普通的車削、銑削、刨削和磨削等均屬于刀尖軌跡法。用這種方法得到的形狀精度主要取決于成形運(yùn)動(dòng)的精度。(2成形法利用成形刀具的幾何形狀來代替機(jī)床的某些成形運(yùn)動(dòng)而獲得加工表面形狀的。如成形車削、銑削、磨削等。成形法所獲得的形狀精度主要取決于刀刃的