微分方程課件

1、1/21/2022微分方程1 第二章第二章 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型1/21/2022微分方程2本章的主要內(nèi)容本章的主要內(nèi)容n 控制系統(tǒng)微分方程建立控制系統(tǒng)微分方程建立n 傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)n 控制系統(tǒng)的框圖和傳遞函數(shù)控制系統(tǒng)的框圖和傳遞函數(shù) n 控制系統(tǒng)的信號(hào)流圖控制系統(tǒng)的信號(hào)流圖1/21/2022微分方程3概述 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 ：描述系統(tǒng)中各變量（物理量）之描述系統(tǒng)中各變量（物理量）之間關(guān)系的數(shù)學(xué)形式和方法。間關(guān)系的數(shù)學(xué)形式和方法。叫做系統(tǒng)或元件的叫做系統(tǒng)或元件的數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型 。建模：建模：了解元件及系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，準(zhǔn)確建立了解元件及系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性，準(zhǔn)確建立它們的數(shù)學(xué)模型。它們的數(shù)

2、學(xué)模型。 物理模型：物理模型：任何元件或系統(tǒng)都是很復(fù)雜的，難任何元件或系統(tǒng)都是很復(fù)雜的，難以對(duì)它作出精確、全面的描述，必須進(jìn)行簡(jiǎn)化。以對(duì)它作出精確、全面的描述，必須進(jìn)行簡(jiǎn)化。簡(jiǎn)化后的元件或系統(tǒng)為該元件或系統(tǒng)的物理模簡(jiǎn)化后的元件或系統(tǒng)為該元件或系統(tǒng)的物理模型。簡(jiǎn)化是有條件的，要據(jù)問題的性質(zhì)和求解型。簡(jiǎn)化是有條件的，要據(jù)問題的性質(zhì)和求解的精確要求，來確定出合理的物理模型。的精確要求，來確定出合理的物理模型。1/21/2022微分方程4常用的數(shù)學(xué)模型：微分方程，傳遞函數(shù)，常用的數(shù)學(xué)模型：微分方程，傳遞函數(shù)，結(jié)構(gòu)圖，信號(hào)流圖，頻率特性以及狀態(tài)空結(jié)構(gòu)圖，信號(hào)流圖，頻率特性以及狀態(tài)空間描述等。間描述等。建

3、立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分建立控制系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析的第一步也是最重要的一步。析的第一步也是最重要的一步。1/21/2022微分方程5數(shù)學(xué)模型的幾種表示方式數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型時(shí)域模型時(shí)域模型頻域模型頻域模型方框圖和信號(hào)流圖方框圖和信號(hào)流圖狀態(tài)空間模型狀態(tài)空間模型1/21/2022微分方程6系統(tǒng)中變量的關(guān)系系統(tǒng)中變量的關(guān)系靜態(tài)關(guān)系靜態(tài)關(guān)系動(dòng)態(tài)關(guān)系動(dòng)態(tài)關(guān)系1/21/2022微分方程7 靜態(tài)關(guān)系或靜態(tài)特性靜態(tài)關(guān)系或靜態(tài)特性 ：系統(tǒng)中各變量隨時(shí)間變化緩慢，以至于它系統(tǒng)中各變量隨時(shí)間變化緩慢，以至于它們對(duì)時(shí)間的變化率（導(dǎo)數(shù)）可忽略不計(jì)時(shí)，們對(duì)時(shí)間的變化率（導(dǎo)數(shù)）可忽略不計(jì)時(shí)，這些變量之

4、間的關(guān)系稱為靜態(tài)關(guān)系。稱系這些變量之間的關(guān)系稱為靜態(tài)關(guān)系。稱系統(tǒng)處于靜態(tài)。統(tǒng)處于靜態(tài)。表示靜態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式中沒有變量對(duì)表示靜態(tài)關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式中沒有變量對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。處于靜態(tài)的系統(tǒng)，知道了時(shí)間的導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。處于靜態(tài)的系統(tǒng)，知道了系統(tǒng)的輸入量即可確定系統(tǒng)的輸出量及其系統(tǒng)的輸入量即可確定系統(tǒng)的輸出量及其它變量。它變量。1/21/2022微分方程8 動(dòng)態(tài)關(guān)系或動(dòng)態(tài)特性動(dòng)態(tài)關(guān)系或動(dòng)態(tài)特性 ：系統(tǒng)中的變量對(duì)時(shí)間的變化率不可忽略，系統(tǒng)中的變量對(duì)時(shí)間的變化率不可忽略，這時(shí)各變量之間的關(guān)系稱為動(dòng)態(tài)關(guān)系或動(dòng)這時(shí)各變量之間的關(guān)系稱為動(dòng)態(tài)關(guān)系或動(dòng)態(tài)特性。系統(tǒng)稱為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，相應(yīng)的數(shù)學(xué)態(tài)特性。系統(tǒng)稱為動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，相應(yīng)的

5、數(shù)學(xué)模型稱為動(dòng)態(tài)模型。模型稱為動(dòng)態(tài)模型。對(duì)于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，為了確定輸出量和其它變對(duì)于動(dòng)態(tài)系統(tǒng)，為了確定輸出量和其它變量，僅僅知道輸入量是不夠的，還必須知量，僅僅知道輸入量是不夠的，還必須知道一組變量的初始值。道一組變量的初始值。1/21/2022微分方程9控制理論研究的是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的控制理論研究的是動(dòng)態(tài)系統(tǒng)。動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是微分方程，又稱為動(dòng)態(tài)方程或數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是微分方程，又稱為動(dòng)態(tài)方程或運(yùn)動(dòng)方程。運(yùn)動(dòng)方程。建立數(shù)學(xué)模型的方法建立數(shù)學(xué)模型的方法分析法分析法實(shí)驗(yàn)法實(shí)驗(yàn)法 對(duì)于一個(gè)微分方程，若已知初值和輸對(duì)于一個(gè)微分方程，若已知初值和輸入值，對(duì)微分方程求解，就可以得出輸出入值，對(duì)微分方程求解，

6、就可以得出輸出量的時(shí)域表達(dá)式。據(jù)此可對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析。量的時(shí)域表達(dá)式。據(jù)此可對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行分析。1/21/2022微分方程10 分析法分析法 ：根據(jù)系統(tǒng)中各元件所遵循的物根據(jù)系統(tǒng)中各元件所遵循的物理、化學(xué)、生物等各種科學(xué)規(guī)律和運(yùn)行理、化學(xué)、生物等各種科學(xué)規(guī)律和運(yùn)行機(jī)理，列出微分方程式。又稱理論建模。機(jī)理，列出微分方程式。又稱理論建模。 實(shí)驗(yàn)法實(shí)驗(yàn)法 ：人為地給系統(tǒng)施加某種測(cè)試信人為地給系統(tǒng)施加某種測(cè)試信號(hào)，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)號(hào)，記錄其輸出響應(yīng)，并用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型去逼近。模型去逼近。1/21/2022微分方程11實(shí)驗(yàn)法基于系統(tǒng)辨識(shí)的建模方法實(shí)驗(yàn)法基于系統(tǒng)辨識(shí)的建模方法黑黑匣匣子子輸輸入入（

7、已已知知）輸輸出出（已已知知）n已知知識(shí)和辨識(shí)目的已知知識(shí)和辨識(shí)目的n實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)-選擇實(shí)驗(yàn)條件選擇實(shí)驗(yàn)條件n模型階次模型階次-適合于應(yīng)用的適當(dāng)?shù)碾A次適合于應(yīng)用的適當(dāng)?shù)碾A次n參數(shù)估計(jì)參數(shù)估計(jì)-最小二乘法最小二乘法n模型驗(yàn)證模型驗(yàn)證將實(shí)際輸出與模型的計(jì)算輸將實(shí)際輸出與模型的計(jì)算輸出進(jìn)行比較，系統(tǒng)模型需保證兩個(gè)輸出出進(jìn)行比較，系統(tǒng)模型需保證兩個(gè)輸出之間在選定意義上的接近之間在選定意義上的接近1/21/2022微分方程12數(shù)學(xué)模型建立后，研究系統(tǒng)主要指研究系數(shù)學(xué)模型建立后，研究系統(tǒng)主要指研究系統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，以數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)，統(tǒng)所對(duì)應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，以數(shù)學(xué)模型為基礎(chǔ)，分析并綜合系統(tǒng)的各項(xiàng)性能，而

8、不再涉及分析并綜合系統(tǒng)的各項(xiàng)性能，而不再涉及實(shí)際系統(tǒng)的物理性質(zhì)和具體特點(diǎn)。實(shí)際系統(tǒng)的物理性質(zhì)和具體特點(diǎn)。1/21/2022微分方程131/21/2022微分方程14n微分方程的階數(shù)一般是指方程中最高微分方程的階數(shù)一般是指方程中最高 導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的階數(shù)，又稱為系統(tǒng)的階數(shù)。導(dǎo)數(shù)項(xiàng)的階數(shù)，又稱為系統(tǒng)的階數(shù)。 trbtrbtrbtrbtrbtcatcatcatcatcannnnnnnnnn122110122110（2 21 11 1）1/21/2022微分方程15n采用解析法建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟：采用解析法建立系統(tǒng)微分方程的一般步驟：根據(jù)研究問題的需要，確定系統(tǒng)的輸入根據(jù)研究問題的需要，確定系統(tǒng)的輸入

9、量和輸出量量和輸出量;根據(jù)系統(tǒng)、輸入和輸出三者之間動(dòng)態(tài)關(guān)系根據(jù)系統(tǒng)、輸入和輸出三者之間動(dòng)態(tài)關(guān)系 的原理或定律，列寫系統(tǒng)的微分方程，的原理或定律，列寫系統(tǒng)的微分方程， 可可 增設(shè)中間變量，對(duì)實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化；增設(shè)中間變量，對(duì)實(shí)際系統(tǒng)進(jìn)行適當(dāng)簡(jiǎn)化；例如：電路中的基爾霍夫電路定理，力學(xué)中例如：電路中的基爾霍夫電路定理，力學(xué)中的牛頓定理，熱力學(xué)中的熱力學(xué)定理等。的牛頓定理，熱力學(xué)中的熱力學(xué)定理等。1/21/2022微分方程16標(biāo)準(zhǔn)化，將方程整理成標(biāo)準(zhǔn)形式，即標(biāo)準(zhǔn)化，將方程整理成標(biāo)準(zhǔn)形式，即將與輸出有關(guān)的項(xiàng)列在等號(hào)左邊，而將與將與輸出有關(guān)的項(xiàng)列在等號(hào)左邊，而將與輸入有關(guān)的項(xiàng)列在等號(hào)右邊，且各階導(dǎo)輸入

10、有關(guān)的項(xiàng)列在等號(hào)右邊，且各階導(dǎo)數(shù)項(xiàng)按階次由高到低的順序排列?？蓪?shù)項(xiàng)按階次由高到低的順序排列?？蓪⒏黜?xiàng)系數(shù)歸化成具有一定物理意義的形各項(xiàng)系數(shù)歸化成具有一定物理意義的形式。式。消去中間變量，整理出只含有輸入量消去中間變量，整理出只含有輸入量和輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)的方程和輸出量及其各階導(dǎo)數(shù)的方程 ；1/21/2022微分方程171.1.電氣系統(tǒng)電氣系統(tǒng) 由電阻、電感、電容、運(yùn)算放大器等元由電阻、電感、電容、運(yùn)算放大器等元件組成的電路，又稱電氣網(wǎng)絡(luò)。件組成的電路，又稱電氣網(wǎng)絡(luò)。無源器件：本身不含有電源的器件。無源器件：本身不含有電源的器件。 電阻、電感、電容電阻、電感、電容有源器件：本身含有電源的器件

11、。有源器件：本身含有電源的器件。 運(yùn)算放大器運(yùn)算放大器1/21/2022微分方程18無源網(wǎng)絡(luò)：僅由無源器件組成的電氣無源網(wǎng)絡(luò)：僅由無源器件組成的電氣 網(wǎng)絡(luò)。網(wǎng)絡(luò)。有源網(wǎng)絡(luò)：包含有源器件或電源的電有源網(wǎng)絡(luò)：包含有源器件或電源的電 氣網(wǎng)絡(luò)。氣網(wǎng)絡(luò)。1/21/2022微分方程19基爾霍夫電流定律和電壓定律基爾霍夫電流定律和電壓定律 0i 0u(2(21 12)2)(2(21 13)3)理想電阻、電感、電容兩端電壓、理想電阻、電感、電容兩端電壓、電流與元件參數(shù)的關(guān)系：電流與元件參數(shù)的關(guān)系：idtcudtdiLuRiu1 , , (2(21 14)4)1/21/2022微分方程202 2 機(jī)械系統(tǒng)機(jī)械系

12、統(tǒng)機(jī)械系統(tǒng)：存在機(jī)械運(yùn)動(dòng)的裝置，它們機(jī)械系統(tǒng)：存在機(jī)械運(yùn)動(dòng)的裝置，它們 遵循物理學(xué)的力學(xué)定律。遵循物理學(xué)的力學(xué)定律。機(jī)械運(yùn)動(dòng)機(jī)械運(yùn)動(dòng)直線運(yùn)動(dòng)直線運(yùn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)動(dòng)1/21/2022微分方程21其中，其中，F(xiàn)為物體所受到的力為物體所受到的力,m為物體質(zhì)量為物體質(zhì)量,x是線位移是線位移,t是時(shí)間。是時(shí)間。做直線運(yùn)動(dòng)的物體遵循的基本力學(xué)定律做直線運(yùn)動(dòng)的物體遵循的基本力學(xué)定律 是牛頓第二定律：是牛頓第二定律：22dtxdmF(2(21 15)5)1/21/2022微分方程22fF表示恒值摩擦力，又庫(kù)侖摩擦力。表示恒值摩擦力，又庫(kù)侖摩擦力。其中，其中，x為位移為位移,f為黏性阻尼系數(shù)，為黏性阻尼系數(shù)，dtdx

13、fFB為黏性摩擦力，與運(yùn)動(dòng)為黏性摩擦力，與運(yùn)動(dòng)速度成正比速度成正比,考慮摩擦力的作用：考慮摩擦力的作用：ffBcFdtdxfFFF(2-1-6)(2-1-6)1/21/2022微分方程23其中，其中， M為物體所受到的力矩為物體所受到的力矩,J為物體的為物體的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量轉(zhuǎn)動(dòng)慣量,為角位移。為角位移。轉(zhuǎn)動(dòng)的物體遵循牛頓轉(zhuǎn)動(dòng)定律：轉(zhuǎn)動(dòng)的物體遵循牛頓轉(zhuǎn)動(dòng)定律：22dMJdt(2(21 17)7)1/21/2022微分方程24對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)的物體，摩擦力的作用體現(xiàn)對(duì)于轉(zhuǎn)動(dòng)的物體，摩擦力的作用體現(xiàn) 為摩擦力矩：為摩擦力矩：cBfcfdMMMKMdt(2-1-8)(2-1-8)fM為恒值摩擦力矩。為恒值摩擦力矩。

14、cK為黏性阻尼系數(shù)，為黏性阻尼系數(shù)，其中，其中，BcdMKdt為黏性摩擦力矩，為黏性摩擦力矩，1/21/2022微分方程25 例例2-12-1：試列寫出圖中無源網(wǎng)絡(luò)的微分：試列寫出圖中無源網(wǎng)絡(luò)的微分 方程。方程。 tui tuo1R2RC1i2ii 無源網(wǎng)絡(luò)無源網(wǎng)絡(luò)1/21/2022微分方程26根據(jù)電壓平衡方程，可得：根據(jù)電壓平衡方程，可得：(4) (3) (2) (1) 111221211oiouiRuiRuiiidticiR由（由（1 1）式得：）式得：dtdiCRi112（5 5） 將（將（5 5）代入（）代入（2 2）可得：）可得：dtdiCRii111（6 6） 1/21/2022微

15、分方程27又由（又由（4 4）得：）得：11Ruuioi將將代入（代入（6 6）, ,再代入（再代入（3 3）可得：）可得：1idtuudRCRRuuRuoioio11121整理可得所求無源網(wǎng)絡(luò)的微分方程：整理可得所求無源網(wǎng)絡(luò)的微分方程：iioouRdtduCRRuRRdtduCRR22121211/21/2022微分方程28例例2-2： 由由RC組成的四組成的四端無源網(wǎng)絡(luò)。試端無源網(wǎng)絡(luò)。試列寫以列寫以U1(t)為輸為輸入量，入量，U2(t)為輸為輸出量的網(wǎng)絡(luò)微分出量的網(wǎng)絡(luò)微分方程。方程。1/21/2022微分方程29 1111cUiRU dtiiCUc)(12111 2221ccUiRU d

16、tiCUc2221 22cUU 由、得解：解： 設(shè)回路電流分別為設(shè)回路電流分別為i1、i2，根據(jù)克希霍夫定律，根據(jù)克希霍夫定律，列寫方程如下：列寫方程如下：1/21/2022微分方程30dtdUCdtdUCic22222由由導(dǎo)出導(dǎo)出 dtdUCdtdUCidtdUCicc22112111將將i1、i2代入代入、，則得，則得 22211cUiRRU222222111)(UdtdUCRdtdUCdtdUCRc1/21/2022微分方程3122222222211)(UdtdUCRdtdUCUiRdtdCR22222212112222211UdtdUCRdtdUCRdtdUCRdtUdCRCR2221

17、212111222212()d UdUR R C CRCRCR CUUdtdt這就是這就是RC組成的四端網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型，是組成的四端網(wǎng)絡(luò)的數(shù)學(xué)模型，是一個(gè)二階線性微分方程。一個(gè)二階線性微分方程。1/21/2022微分方程32 例例2-32-3：一個(gè)由彈簧質(zhì)量阻尼器組成的：一個(gè)由彈簧質(zhì)量阻尼器組成的機(jī)械平移系統(tǒng)如圖所示。機(jī)械平移系統(tǒng)如圖所示。m為物體質(zhì)量，為物體質(zhì)量，k為彈簧彈性系數(shù)，為彈簧彈性系數(shù)，f為粘性阻尼系數(shù)，為粘性阻尼系數(shù)， 外力外力列寫系列寫系 tF為輸入量，為輸入量， 位移位移 y t為輸出量。為輸出量。統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式。統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程式。MF(t)kfy(t)1/21/2022微分方

18、程330iF 解：解：分析質(zhì)量塊分析質(zhì)量塊m受力，有受力，有外力外力F,彈簧恢復(fù)力彈簧恢復(fù)力 Ky（t）阻尼力阻尼力慣性力慣性力由于由于m受力平衡，所以受力平衡，所以:( )/fdy tdt22/md y dt式中：式中：Fi是作用于質(zhì)量塊上的主動(dòng)是作用于質(zhì)量塊上的主動(dòng)力，約束力以及慣性力。力，約束力以及慣性力。將各力代入上等式，則得將各力代入上等式，則得MF(t)kfy(t)1/21/2022微分方程3422( )( )( )( )d y tdy tmfKy tF tdtdt式中：式中：ym的位移（的位移（m）；）； f阻尼系數(shù)（阻尼系數(shù)（Ns/m); K 彈簧剛度（彈簧剛度（N/m)。將上

19、式的微分方程標(biāo)準(zhǔn)化將上式的微分方程標(biāo)準(zhǔn)化22( )( )1( )( )m d y tf dy ty tF tKdtKdtK是二階線性定常系統(tǒng)。是二階線性定常系統(tǒng)。1/21/2022微分方程35 試證明圖試證明圖 (a)、(b)所示的機(jī)、電系統(tǒng)是相似所示的機(jī)、電系統(tǒng)是相似系統(tǒng)系統(tǒng)(即兩系統(tǒng)具有相同的數(shù)學(xué)模型即兩系統(tǒng)具有相同的數(shù)學(xué)模型)。 例例2-4：1/21/2022微分方程36n對(duì)電氣網(wǎng)絡(luò)對(duì)電氣網(wǎng)絡(luò)(b)，列寫，列寫電路方程如下：電路方程如下：c2c2cr1cr1XBXK)X-X(B)X-(XKc121211()X()XrcrBBKKXBK XrUidtCiRidtCiR112211 c22c

20、11UCUCc11ci URU rc2c121UUU)i(R R 解：解： 對(duì)機(jī)械網(wǎng)絡(luò)：輸入為對(duì)機(jī)械網(wǎng)絡(luò)：輸入為Xr，輸出為輸出為Xc，根據(jù)力平衡，根據(jù)力平衡，可列出其運(yùn)動(dòng)方程式可列出其運(yùn)動(dòng)方程式 1/21/2022微分方程37利用利用、求出求出 代入將代入將兩邊微分得兩邊微分得網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)(b)方程方程:121121111()()ccrrRR UUR UUCCC1211212(1)(1)rcCUUCiCRRRC與機(jī)械網(wǎng)絡(luò)與機(jī)械網(wǎng)絡(luò)(a)方程比較：方程比較：c121211()X()XrcrBBKKXBK X1/21/2022微分方程38力-電壓相似n機(jī)系統(tǒng)（機(jī)系統(tǒng)（a）和電系統(tǒng)（）和電系統(tǒng)（b）具

21、有相同的數(shù)學(xué)模型，故這）具有相同的數(shù)學(xué)模型，故這些物理系統(tǒng)為相似系統(tǒng)。（即電系統(tǒng)為即系統(tǒng)的等效網(wǎng)些物理系統(tǒng)為相似系統(tǒng)。（即電系統(tǒng)為即系統(tǒng)的等效網(wǎng)絡(luò)）絡(luò)）n相似系統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象之間的相似關(guān)系。相似系統(tǒng)揭示了不同物理現(xiàn)象之間的相似關(guān)系。n為我們利用簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)（如電的系統(tǒng)）去研究機(jī)為我們利用簡(jiǎn)單易實(shí)現(xiàn)的系統(tǒng)（如電的系統(tǒng)）去研究機(jī)械系統(tǒng)械系統(tǒng).n因?yàn)橐话銇碚f，電的或電子的系統(tǒng)更容易，通過試驗(yàn)進(jìn)因?yàn)橐话銇碚f，電的或電子的系統(tǒng)更容易，通過試驗(yàn)進(jìn)行研究。行研究。機(jī)械機(jī)械電阻電阻R1電阻電阻R2彈性系數(shù)彈性系數(shù)K1彈性系數(shù)彈性系數(shù)K2電氣電氣阻尼阻尼B1阻尼阻尼B21/C11/C21/21/202

22、2微分方程39 圖所示為電樞控制直流圖所示為電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的微分方程，要電動(dòng)機(jī)的微分方程，要求取電樞電壓求取電樞電壓Ua(t)（v）為輸入量，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速為輸入量，電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)速m（t）（）（rad/s）為輸）為輸出量，列寫微分方程。出量，列寫微分方程。圖中圖中Ra()、La(H)分別分別是電樞電路的電阻和電是電樞電路的電阻和電感，感，Mc(NM)是折合到是折合到電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)電動(dòng)機(jī)軸上的總負(fù)載轉(zhuǎn)距。激磁磁通為常值。距。激磁磁通為常值。例例2-4：1/21/2022微分方程40解： 電樞控制直流電動(dòng)機(jī)的工作實(shí)質(zhì)是將輸入的 電能轉(zhuǎn)換為機(jī)械能，也就是由輸入的電樞電壓Ua(t)在電樞回路中產(chǎn)生電

23、樞電流ia(t)，再由電流ia（t）與激磁磁通相互作用產(chǎn)生電磁轉(zhuǎn)距Mm(t)，從而拖動(dòng)負(fù)載運(yùn)動(dòng)。因此，直流電動(dòng)機(jī)的運(yùn)動(dòng)方程可由以下三部分組成。 n電樞回路電壓平衡方程n電磁轉(zhuǎn)距方程n電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)距平衡方程 1/21/2022微分方程41電樞回路電壓平衡方程：電樞回路電壓平衡方程：Ea是電樞反電勢(shì)，它是當(dāng)電樞旋轉(zhuǎn)時(shí)產(chǎn)生的反電勢(shì)，其大小與激磁磁通及轉(zhuǎn)速成正比，方向與電樞電壓Ua(t)相反，即 Ea=Cem（t） Ce反電勢(shì)系數(shù)（v/rad/s）aaaaaaEtiRdttdiLtU)()()(1/21/2022微分方程42電磁轉(zhuǎn)距方程：電磁轉(zhuǎn)距方程： -電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)距系數(shù) （Nm/A）是電動(dòng)機(jī)轉(zhuǎn)距系數(shù)

24、 -是由電樞電流產(chǎn)生的電磁轉(zhuǎn)距（Nm）n電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)距平衡方程：電動(dòng)機(jī)軸上的轉(zhuǎn)距平衡方程： Jm轉(zhuǎn)動(dòng)慣量（電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的） kgm fm-電動(dòng)機(jī)和負(fù)載折合到電動(dòng)機(jī)軸上的粘性摩擦系數(shù)（Nm/rad/s）)()(tiCtMammmC)(tMm)()()()(tMtMtfdttdJcmmmmm 1/21/2022微分方程43 、求出ia(t)，代入同時(shí)亦代入得： )()()()()()()()(2tMRdttdMLtUCtCCfRdttdJRfLdttdJLcacaammemmammamamma在工程應(yīng)用中，由于電樞電路電感在工程應(yīng)用中，由于電樞電路電感La較小，通常忽略不計(jì)，較小，通常忽略不計(jì)，因而因而可簡(jiǎn)化為可簡(jiǎn)化為)()()()(21tMKtUKtdttdTcammmemmamamCCfRJRTemmaCCRafRK2 emmamCCfRCK1電動(dòng)機(jī)機(jī)電時(shí)間常數(shù)電動(dòng)機(jī)機(jī)電時(shí)間常數(shù)（s） 1/21/2022微分方程44如果電樞電阻Ra和電動(dòng)機(jī)的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量Jm都很小而忽略不