正項級數(shù)的收斂性

1、 8.2 正項級數(shù)的收斂性課題： 正項級數(shù)的收斂性目的要求： 1了解p-級數(shù)的收斂性。會用正項級數(shù)的比較審斂法，掌握正項級數(shù)的比值審斂法。重點： 判斷正項級數(shù)的收斂性。難點： 正項級數(shù)的比較審斂法。教學方法： 講練結合教學時數(shù)： 2課時教學進程：一、正項級數(shù)的概念判定級數(shù)的斂散性，在很多場合都歸結為正項級數(shù)的斂散性問題定義 若0(=1,2,)，則稱級數(shù)為正項級數(shù)顯然正項級數(shù)的部分和數(shù)列是單調(diào)增數(shù)列，由數(shù)列極限存在準則知，如果有上界，則一定收斂，因此可得如下定理:定理1 正項級數(shù)收斂的充分必要條件是它的部分和數(shù)列有界定理1說明，若正項級數(shù)發(fā)散，則無界（證明略）例1 級數(shù)=1 (1)(其中0)稱為

2、-級數(shù)，討論此級數(shù)的斂散性解 在此只給出簡單說明當1時,因,于是=11,右端是調(diào)和級數(shù)的部分和，它發(fā)散于+,故無界，從而級數(shù)(1)發(fā)散當1時，可以證明=11+,這表明有上界，由定理1知-級數(shù)(1)收斂綜上所述，對于-級數(shù),當1時發(fā)散；當>1時收斂從此例可以看出，具體判定部分和數(shù)列是否有界，往往比較困難，故很少直接用定理1來判定正項級數(shù)的斂散性但我們可以另取一個斂散性已知的正項級數(shù)與它作比較，從而確定它的部分和數(shù)列是否有界按照這個想法，可由定理1進一步推得正項級數(shù)以下的幾個常用審斂法二、 比較審斂法定理2 設和都是正項級數(shù)，且(=1,2),則有如下結論:() 如果級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂；()

3、 如果級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)發(fā)散證 設級數(shù)和的部分和數(shù)列分別為和，由(=1,2),則有.() 當收斂時，由定理1可知有界，從而有界，故級數(shù)收斂() 是()的逆否命題，用反證法可推知()成立注意到級數(shù)的每一項同乘以不為零的常數(shù),以及去掉級數(shù)的有限項或加上有限項，不會影響級數(shù)的斂散性，可得如下推論推論 設和都是正項級數(shù)，且存在自然數(shù)和,使得(=+1, +2,)，則有如下結論:() 如果級數(shù)收斂，則級數(shù)收斂；() 如果級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)發(fā)散例2 判定級數(shù)的斂散性解 因為，而等比級數(shù)收斂，由比較審斂法知所給級數(shù)收斂例3 證明級數(shù)發(fā)散證 因為，而級數(shù)=是去掉首項的調(diào)和級數(shù)，因而是發(fā)散的，根據(jù)比較審斂法知所給級數(shù)

4、發(fā)散比較審斂法在使用時，常常要將所給級數(shù)的一般項放大或縮小，使之成為斂散性已知的級數(shù)的一般項，用起來不方便，在應用上我們經(jīng)常運用更為簡便的比較審斂法的極限形式定理3 設和都是正項級數(shù)，如果存在極限=,() 當0時，則級數(shù)與同時收斂或同時發(fā)散() 當=0時，如果級數(shù)收斂，則級數(shù)必收斂() 當=時，如果級數(shù)發(fā)散，則級數(shù)必發(fā)散(證明略)例4 判定級數(shù)的斂散性解 因為=1,而級數(shù)(=1)收斂，故所給級數(shù)收斂例5 判定級數(shù)的斂散性解 因為=,而級數(shù)收斂，故所給級數(shù)收斂運用比較審斂法，一般先對級數(shù)的斂散性有個估計，再選取一個合適的已知其斂散性的級數(shù)來作比較，實際運用起來并不都很容易有時我們也可利用級數(shù)一般項的結構來審斂，相對來說要容易些，常用的有比值審斂法三、比值審斂法定理4 設是正項級數(shù)，如果= (0),則 () 當1時，級數(shù)收斂() 當1(或)時，級數(shù)發(fā)散() 當=1時，級數(shù)可能收斂，也可能發(fā)散(證明略)例6 判定級數(shù)的斂散性解 因為=,于是有=1,由比值審斂法知，所給級數(shù)收斂例7 判定級數(shù)的斂散性解 因為=3=1,由比值審斂法知，所給級數(shù)發(fā)散例8 判定級數(shù)的斂散性解 由于=,當0<<1時，級數(shù)收斂；當>1時，級數(shù)發(fā)散；當=1時，