常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程課件

1、 5.7 常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程1二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程定義二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程定義二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程解法二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程解法小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)n階常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程解法階常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程解法5.7 常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程程齊次齊次常系數(shù)常系數(shù)常系數(shù)齊次常系數(shù)齊次常系數(shù)齊次常系數(shù)齊次常系數(shù)齊次常系數(shù)齊次第第5 5章章 微分方程微分方程 5.7 常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程20 qyypy方程方程)(xfqyypy 二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性方程二階常系數(shù)非齊次線(xiàn)性方程二階二階常系數(shù)常系數(shù)齊次齊次線(xiàn)性線(xiàn)性一、定義一、

2、定義 5.7 常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程3- - 特征方程法特征方程法rxye 將其代入方程將其代入方程, 0e )(2 rxqprr, 0e rx故有故有02 qprr2422, 1qppr 特征根特征根0 qyypy二階二階設(shè)設(shè)解解 得得特征方程特征方程常系數(shù)常系數(shù)齊次齊次線(xiàn)性方程線(xiàn)性方程(characteristic equation)(characteristic root)二、二階二、二階常系數(shù)齊次常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程解法線(xiàn)性方程解法其中其中r為待定常數(shù)為待定常數(shù). 5.7 常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程4,2421qppr ,2422qppr ,e11

3、xry ,e22xry 兩個(gè)兩個(gè) 特解特解 y)0( 0 qyypy的通解的不同形式的通解的不同形式.有兩個(gè)不相等的實(shí)根有兩個(gè)不相等的實(shí)根特征根特征根r的不同情況決定了方程的不同情況決定了方程02 qprr特征方程特征方程xr1e2C.e2xr 1C21yy常數(shù)常數(shù)線(xiàn)性無(wú)關(guān)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的的 得得齊次齊次方程的通解為方程的通解為rxye 設(shè)設(shè)解解其中其中r為待定常數(shù)為待定常數(shù). 5.7 常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程5有兩個(gè)相等的實(shí)根有兩個(gè)相等的實(shí)根,e11xry ,221prr )0( 一特解為一特解為.e )(121xrxCC 代入到代入到將將222,yyy , 0)()2(121

4、1 uqprrupru, 0 u,)(xxu ,e12xrxy 2y常常數(shù)數(shù) 12yy. 0 qyypy化簡(jiǎn)得化簡(jiǎn)得0 0 設(shè)設(shè))(xu,e1xr取取則則知知 yxr1exrx1e 1C2C得得齊次齊次方程的通解為方程的通解為rxye 其中其中r為待定常數(shù)為待定常數(shù). 設(shè)設(shè)解解其中其中u(x)為待定函數(shù)為待定函數(shù). 5.7 常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程6有一對(duì)共軛復(fù)根有一對(duì)共軛復(fù)根,1 ir ,2 ir xi )(e xry2e2 )0( )(21211yyy xx cose )(21212yyiy xx sine ).sincos(e21xCxCyx 0,21 qyypyyy

5、為為方方程程為了得到實(shí)數(shù)形式的解為了得到實(shí)數(shù)形式的解,重新組合重新組合的兩個(gè)的兩個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的解的解.rxye 其中其中r為待定常數(shù)為待定常數(shù). xry1e1 xi )(e 用歐拉用歐拉(Euler)公式公式:xixixsincose 設(shè)設(shè)解解)sin(cosexixx )sin(cosexixx 21yy常數(shù)常數(shù)得得齊次齊次方程的通解為方程的通解為 5.7 常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程7稱(chēng)為稱(chēng)為.044的通解的通解求方程求方程 yyy解解 特征方程特征方程0442 rr221 rr故所求通解為故所求通解為 y例例由常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程的特征方程的根由常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程的特

6、征方程的根確定其通解的方法確定其通解的方法特征方程法特征方程法. .特征根特征根.e )(221xxCC 5.7 常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程8.052的的通通解解求求方方程程 yyy解解 特征方程特征方程0522 rr故所求通解為故所求通解為 y例例特征根特征根).2sin2cos(e21xCxCx ,1 ir ,2 ir )sincos(e21xCxCyx 得齊次方程的通解為得齊次方程的通解為ir2121 ， 5.7 常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程9 y例例 解初值問(wèn)題解初值問(wèn)題 . 2, 4, 09241600 xxyyyyy解解 特征方程特征方程09241

7、62 rr特征根特征根43 r所以方程的通解為所以方程的通解為41 CxxCy432e )4( xxCCy4322e433 4(二重根二重根)00 12 C特解特解.e )4(43xxy 002xxCC4321e )( 5.7 常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程10考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)(二二)選擇選擇, 4分分函數(shù)函數(shù)xxxxCCyeee221 滿(mǎn)足的一個(gè)微分滿(mǎn)足的一個(gè)微分方程是方程是.e32)A(xxyyy .e32)B(xyyy .e32)C(xxyyy .e32)D(xyyy 定理定理5.35.3是是的一個(gè)特解的一個(gè)特解 YxfyxQyxPy,)2()()()( 方程方程是二階非齊

8、次線(xiàn)性微分是二階非齊次線(xiàn)性微分設(shè)設(shè) y yYy那么那么與與(2)對(duì)應(yīng)的齊次方程對(duì)應(yīng)的齊次方程(2)的的通解通解.的通解的通解,)1(0)()( yxQyxPy 是二階非齊次線(xiàn)性微分方程是二階非齊次線(xiàn)性微分方程 5.7 常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程11考研數(shù)學(xué)考研數(shù)學(xué)(一一)填空填空, 3分分)cossin(e21xCxCyx 設(shè)設(shè)(C1, C2為任意常數(shù)為任意常數(shù))為某二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程的通解為某二階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程的通解, 則微分則微分. 022 yyy方程為方程為解解 由所給通解的表達(dá)式知由所給通解的表達(dá)式知,ir 12, 1是所求是所求由微分方程的特征方程的

9、根由微分方程的特征方程的根,于是特征方程為于是特征方程為, 0222 rr故所求微分方程為故所求微分方程為 5.7 常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程12特征方程特征方程0111 nnnnPrPrPr特征方程的根特征方程的根通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)通解中的對(duì)應(yīng)項(xiàng)rxkkxCxCCe )(121 sin)(cos)(e121121xxDxDDxxCxCCkkkkx 三、三、n階階常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程解法常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程解法若是若是k重根重根r若是若是k重共軛重共軛復(fù)根復(fù)根 i n階階)(1)1(1)(xfyPyPyPynnnn 線(xiàn)性微分方程線(xiàn)性微分方程常系數(shù)常系數(shù)形如形如 5.7 常系數(shù)齊次線(xiàn)性

10、微分方程常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程13注意注意一個(gè)根都對(duì)應(yīng)著通解中的一項(xiàng)一個(gè)根都對(duì)應(yīng)著通解中的一項(xiàng), .2211nnyCyCyCy n次代數(shù)方程有次代數(shù)方程有n個(gè)根個(gè)根, 而特征方程的每而特征方程的每且每一項(xiàng)各且每一項(xiàng)各一個(gè)任意常數(shù)一個(gè)任意常數(shù). 5.7 常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程14例例 求方程求方程解解052)4( yyy的通解的通解.特征方程特征方程052234 rrr021 rr故所求通解為故所求通解為特征根特征根xCCy21 0)52(22 rrr即即和和ir214,3 ).2sin2cos(e43xCxCx 5.7 常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程15特征

11、根特征根11 r故所求故所求通解通解 xCye1解解01222345 rrrrr特征方程特征方程0)12)(1(24 rrr.022)4()5(的的通通解解求求方方程程 yyyyyy例例ir 3,2對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的特解特解,e1xy ,cos2xy ,sin3xy ,cos4xxy xxysin5 xxCCcos)(32.sin)(54xxCC () ()()0)1()1(2)1(24 rrrrr0)1)(1(22 rr(單根單根)(二重二重)共軛復(fù)根共軛復(fù)根 5.7 常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程16(1) 寫(xiě)出相應(yīng)的特征方程寫(xiě)出相應(yīng)的特征方程(2) 求出特征根求出特征根四、小結(jié)四

12、、小結(jié)二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性方程02 qprr0 qyypy特征根的情況特征根的情況通解的表達(dá)式通解的表達(dá)式實(shí)根實(shí)根21rr xrxrCCy21ee21 實(shí)根實(shí)根21rr xrxCCy2e )(21 復(fù)根復(fù)根)sincos(e21xCxCyx 求通解的步驟求通解的步驟:(3) 根據(jù)特征根的不同情況根據(jù)特征根的不同情況, 得到相應(yīng)的通解得到相應(yīng)的通解 ir 2, 1 5.7 常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程17思考題思考題求微分方程求微分方程 的通解的通解.yyyyyln)(22 5.7 常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程常系數(shù)齊次線(xiàn)性微分方程18思考題解答思考題解答, 0 y,ln)(22yyyyy ,)(lnyyyx 令令yzln 則則0 zz特征根特征根1 r,ee21xxCCz 求微分方程求微分方程 的通解的通解.yyyyyl