《高等數(shù)學(xué)》9-3三重積分

1、 高等數(shù)學(xué)（下）高等數(shù)學(xué)（下） 河海大學(xué)理學(xué)院河海大學(xué)理學(xué)院整理課件第三節(jié) 三重積分的計(jì)算 高等數(shù)學(xué)（高等數(shù)學(xué)（ 下）下）整理課件一、三重積分的定義4步步:劃分劃分,取點(diǎn)取點(diǎn)作乘積作乘積,求和求和,取極限取極限. 高等數(shù)學(xué)（高等數(shù)學(xué)（ 下）下）整理課件即即 dvzyxf),(iiiniivf ),(lim10 .叫做體積元素叫做體積元素其中其中dv, 的的平平面面來(lái)來(lái)劃劃分分用用平平行行于于坐坐標(biāo)標(biāo)面面在在直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中，如如果果.lkjizyxv 則則.積積元元素素叫叫做做直直角角坐坐標(biāo)標(biāo)系系中中的的體體其其中中dxdydzdxdydz 高等數(shù)學(xué)（高等數(shù)學(xué)（ 下）下）整理課件.,)

2、,(.,:則則三三重重積積分分存存在在連連續(xù)續(xù)積積分分中中值值定定理理估估值值定定理理單單調(diào)調(diào)性性區(qū)區(qū)域域可可加加性性線線性性即即zyxf 高等數(shù)學(xué)（高等數(shù)學(xué)（ 下）下）整理課件直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次累次積分直角坐標(biāo)系中將三重積分化為三次累次積分二、三重積分的計(jì)算xyzo D1z2z2S1S),(1yxzz ),(2yxzz ab)(1xyy )(2xyy ),(yx如圖，如圖，,Dxoy面面上上的的投投影影為為閉閉區(qū)區(qū)域域在在閉閉區(qū)區(qū)域域 ),(:),(:2211yxzzSyxzzS ,),(作作直直線線過(guò)過(guò)點(diǎn)點(diǎn)Dyx 穿出穿出穿入，從穿入，從從從21zz方法一：穿線法或稱先一后二方

3、法一：穿線法或稱先一后二 高等數(shù)學(xué)（高等數(shù)學(xué)（ 下）下）整理課件 dvzyxf),(注意注意于兩點(diǎn)情形于兩點(diǎn)情形相交不多相交不多的邊界曲面的邊界曲面直線與閉區(qū)域直線與閉區(qū)域內(nèi)部的內(nèi)部的軸且穿過(guò)閉區(qū)域軸且穿過(guò)閉區(qū)域這是平行于這是平行于Sz .),(),(),(21xyDyxzyxzdzzyxfdxdy1 高等數(shù)學(xué)（高等數(shù)學(xué)（ 下）下）整理課件解解由由 22222xzyxz, 得得交交線線投投影影區(qū)區(qū)域域, 122 yx.),(11221122222 xyxxxdzzyxfdydxI 高等數(shù)學(xué)（高等數(shù)學(xué)（ 下）下）整理課件例例2 2 化化三三重重積積分分 dxdydzzyxfI),(為為三三 次次

4、積積分分，其其中中 積積分分區(qū)區(qū)域域 為為由由曲曲面面22yxz , 2xy ,1 y, 0 z所所圍圍 成成的的空空間間閉閉區(qū)區(qū)域域. 1101222),(yxxdzzyxfdydxI.解解. 11, 1,0:222 xyxyxz如圖，如圖， 高等數(shù)學(xué)（高等數(shù)學(xué)（ 下）下）整理課件fdxdydzzy,0| ),(22zyxhzzyx222yzyzhyhhfdxdzdyI 高等數(shù)學(xué)（高等數(shù)學(xué)（ 下）下）整理課件方法二：切片法方法二：切片法(截面法截面法)或稱先二后一或稱先二后一zdvzyxf),(（3）.),(21 ccDzdxdyzyxfdz 高等數(shù)學(xué)（高等數(shù)學(xué)（ 下）下）整理課件例例 4

5、4 計(jì)計(jì)算算三三重重積積分分 zdxdydz，其其中中 為為三三個(gè)個(gè)坐坐標(biāo)標(biāo)面面及及平平面面1 zyx所所圍圍成成的的閉閉區(qū)區(qū)域域.解解（一）（一）xozy111yxDzdzdxdyxy10原式dyyxdxx10102)1 (21241 . 高等數(shù)學(xué)（高等數(shù)學(xué)（ 下）下）整理課件解解（二）（二）xozy111 zdxdydz,10 zDdxdyzdz1| ),(zyxyxDz )1)(1(21zzdxdyzD 原原式式 102)1(21dzzz241 .zD 高等數(shù)學(xué)（高等數(shù)學(xué)（ 下）下）整理課件例例 5 5 計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分dxdydzz 2，其中，其中 是由是由 橢球面橢球面122

6、2222 czbyax所成的空間閉區(qū)域所成的空間閉區(qū)域.: ,| ),(czczyx 1222222czbyax 原原式式,2 zDccdxdydzzxyzozD解解 高等數(shù)學(xué)（高等數(shù)學(xué)（ 下）下）整理課件)1()1(222222czbczadxdyzD ),1(22czab ccdzzczab222)1(.1543abc | ),(yxDz 1222222czbyax 原式原式 高等數(shù)學(xué)（高等數(shù)學(xué)（ 下）下）整理課件dVyxzI22) 0(, 0,2, 02bbzzyyxx b0yy2x0:D22zdzdxdyyxI2 b020sin202zdzdrrd 高等數(shù)學(xué)（高等數(shù)學(xué)（ 下）下）整理課

7、件三重積分的定義和計(jì)算三重積分的定義和計(jì)算在直角坐標(biāo)系下的體積元素在直角坐標(biāo)系下的體積元素dxdydzdv （計(jì)算時(shí)將三重積分化為三次積分）（計(jì)算時(shí)將三重積分化為三次積分）三、小結(jié) 高等數(shù)學(xué)（高等數(shù)學(xué)（ 下）下）整理課件思考題思考題 為六個(gè)平面為六個(gè)平面0 x，2 x，1 y，42 yx，xz ，2 z圍成的區(qū)域，圍成的區(qū)域，),(zyxf在在 上連續(xù)，上連續(xù)，則累次積分則累次積分_ dvzyxf),(.(選擇題選擇題) 高等數(shù)學(xué)（高等數(shù)學(xué)（ 下）下）整理課件;),()(201222 xxdzzyxfdydxA;),()(202212 xxdzzyxfdydxB;),()(201222 xxdzzyxfdydxC.),()(202212 xxdzzyxfdydxD 高等數(shù)學(xué)（高等數(shù)學(xué)（ 下）下）整理課件例例 6 6 計(jì)算三重積分計(jì)算三重積分dxdydzxy 21，其中，其中 由曲面由曲面221zxy ，122 zx，1 y所所圍成圍成.解解如圖如圖, ,將將 投影到投影到zox平面得平面得:xzD 122 zx, 高等數(shù)學(xué)（高等數(shù)學(xué)（ 下）下）整理課件dzzxxd