《高等數(shù)學(xué)教學(xué)資料》第四節(jié). laplace變換的性質(zhì)

1、編輯ppt第四節(jié)第四節(jié) Laplace 變換的性質(zhì)變換的性質(zhì) Laplace變換的若干基本性質(zhì)變換的若干基本性質(zhì) 線性性質(zhì)線性性質(zhì) 位移性質(zhì)位移性質(zhì) 延遲性質(zhì)延遲性質(zhì) 相似性質(zhì)相似性質(zhì) Laplace變換的微分性質(zhì)與積分性質(zhì)變換的微分性質(zhì)與積分性質(zhì) 微分性質(zhì)微分性質(zhì) 積分性質(zhì)積分性質(zhì) Laplace變換的卷積定理變換的卷積定理編輯ppt1122220 1!(1) ( ), ( )(1)(2) ( )1(3)(4)cos,sin(5) ( )1(6)( )1( )( )1mmktTstsTLaplacemu tu t tssu t tseskskktktsksktf tTf tf t edte

2、常常見見的的基基本本變變換換對對若若是是以以 為為周周期期的的周周期期函函數(shù)數(shù)，則則 LLLLLLLL編輯ppt1、線性性質(zhì)線性性質(zhì)一、一、Laplace變換的若干基本性質(zhì)變換的若干基本性質(zhì)1212 ( )( )( )( )f tftf tftLLL1111212 ( )( )( )( )-F sF sF sF s LLL2、位移性質(zhì)位移性質(zhì) (0( )()Re()atef tF sasa L編輯ppt3、延遲性質(zhì)延遲性質(zhì) (0 ( )( ) () ()( )sf tF su tf teF s 設(shè)設(shè)，則則有有實實數(shù)數(shù)LL證明：證明：0 () ()() ()stu tf tu tf tedt L

3、()stf tedt ()0( )x ts xf x edx 0( )ssxef x edx )(sFes編輯ppt4、相似性質(zhì)相似性質(zhì)01 ( )( ) ()( )f tF sasf atFaa 設(shè)設(shè)，則則有有LL編輯ppt例例1 求下列函數(shù)的求下列函數(shù)的Laplace變換變換(1) ( )cos atf tekt 解：解：22cossktsk L22cos()atsaektsak L23/2(2) ( )tf te t 3 25 23 112 22/( )ts L解解5/234s 23/25/234(2)te ts L編輯ppt23(3) ( )(1) tf tte 解：解：22121()

4、 ttt LLLL23232!211(22)ssssss23231132323()()()()ttesss L231(45)(3)sss 編輯ppt2(4) ( )(1)(1)f ttu t 解：解：232ts L23211()()setu ts L45321( ) ( )sin()()tf tt etu t 4321 ( )sin() ()tf tt etu t LLLL解解52421314!()sesss 編輯ppt(6) ( )35 (35)tf tetut 解：解：3/23/23( )2( )2t u tss L33/22113 3(3 )3 223t utssL533/2553 3(

5、)(3()332stutes L5(1)33/2553 ( )3()(3()332(1)stf tetutes LL編輯ppt例例2 求如圖所示求如圖所示 階梯函數(shù)的階梯函數(shù)的Laplace變換變換解：解：0( ) ( )()() ()kf tA u tu tu tnAu tk 0 ( ) ()kf tAu tk LL 0kskeAs 11sAse 編輯ppt例例3 ( ) ( )( ) ( )tf tetu tf t 設(shè)設(shè) 為為常常數(shù)數(shù)，求求L解：解：1 ( ),t L ( ) ( )u tu ts LL 1 ( )( )tu ts 故故L 1( ( )( )tsetu tss 從從而而L編

6、輯ppt1、線性性質(zhì)線性性質(zhì)一、一、Laplace變換的若干基本性質(zhì)變換的若干基本性質(zhì)1212 ( )( )( )( )f tftf tftLLL1111212 ( )( )( )( )-F sF sF sF s LLL2、位移性質(zhì)位移性質(zhì) (0( )()Re()atef tF sasa L3、延遲性質(zhì)延遲性質(zhì) (0 ( )( ) () ()( )sf tF su tf teF s 設(shè)設(shè)，則則有有實實數(shù)數(shù)LL4、相似性質(zhì)相似性質(zhì)01 ( )( ) ()( )f tF sasf atFaa 設(shè)設(shè)，則則有有LL編輯ppt二、Laplace變換的微分性質(zhì)與變換的微分性質(zhì)與積分性質(zhì)積分性質(zhì)1、微分性質(zhì)

7、微分性質(zhì) ( )( )f tF s 若若，則則L2 ( )( )() ( )( )( )nnFst f tFs-tf t （ ）LL12110 000( )()( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnftsF sffts F ssfsff （）LL-11( )( )f tFst L編輯ppt證明：證明：0( )( )stftft edt L0)(tdfest00( )( )|ststf t esf t edt Re( )(Re( )( ),stcttssc tf t eMeeMe 由由Re( ) ( )0limsttscf t e 故故當(dāng)當(dāng)時時，0 ( )(0)( )lims

8、tsttf t efsf t edt （1） 0( )( )( )ftsF sf 故故L類似易證得其他各式。類似易證得其他各式。 編輯ppt例例4( )cosLaplacef tkt 利利用用微微分分性性質(zhì)質(zhì)，求求的的變變換換解：解：2( )sin( )cosftkktftkkt ，200( )( )( )( )fts F ssff L2( )s F ss222( )coscos( )ftkktkktk F s 又又LLLcos( )ktF s 設(shè)設(shè)L22 ( )( )s F ssk F s 即即，22 ( )cossF sktsk 故故L編輯ppt例例5：2 121( )ln( )( )sF

9、 sf tF ss ，求求L解：解：222112( )111sF ssssss 1( )( )F sf tt L 1 1 11112 11tsss LLL1( )( )2 ( )ttu t eu t eu tt 2 ( )(1)u tchtt 編輯ppt2、積分性質(zhì)、積分性質(zhì)0ss11(2) ( )( )( )( )( )tfdF ssf tF s dsF s dst （）若若收收斂斂，則則LL ( )( )f tF s 設(shè)設(shè)，L證明：證明：01( )( )ttfd （）令令，( )( )tf t 則則， 0( ) ( )( ) ( )( )( )( )( )stF sf ttssss 令令，

10、按按照照微微分分性性質(zhì)質(zhì)，LLL0 ( )( )( )tF sfdss 則則L編輯ppt 12( )( )( ) ( )ssF s dsts （ ）令令，L( )( )( )sdsF s dsF sds ，1 () ( )( )( )( )( )( )ttsF sF sf tttt LL ( )( )( )sf tsF s dst 即即L證畢證畢編輯ppt例例6：01sh12( )()sin ( )( )f ttttf tf t dt 設(shè)設(shè)，（）求求，（ ）計計算算積積分分L解解:(1)sinsin(sh )sinsin22tttteeetetttt sh2sinsin()sin ttetet

11、tt 故故LL211sin ,ts 已已知知L 1 2sin sin ttetet LL221112 (1)1(1)1ss編輯ppt 1arctan(1)arctan(1)2|sss 22sh11121111()sin ( )()()sttf tdstss LL 1arctan(1)arctan(1)2ss(2)0( )f t dt 00( )tf t edt 0 ( )|sf t L 01arctan(1)arctan(1)2|sss 4 1arctan1arctan( 1)2編輯ppt例例7012sin( ) ( )sintf tf tttdtt 設(shè)設(shè) ，（）求求， （ ）計計算算積積分分

12、L編輯ppt例例8：203costed 求求L解解:23 9cossts L3 costtL29dsds s 22299()ss 23 costett L2222929()()ss （積分性質(zhì)）（積分性質(zhì)）（位移性質(zhì)）（位移性質(zhì)）203costed L23 costetts L2224529()sss s 編輯ppt練習(xí)練習(xí)3303122122cos sinsinttttettedett （）求求，（ ）求求（ ）求求LLL編輯ppt1、線性性質(zhì)線性性質(zhì)一、一、Laplace變換的若干基本性質(zhì)變換的若干基本性質(zhì)1212 ( )( )( )( )f tftf tftLLL1111212 ( )(

13、 )( )( )-F sF sF sF s LLL2、位移性質(zhì)位移性質(zhì) (0( )()Re()atef tF sasa L3、延遲性質(zhì)延遲性質(zhì) (0 ( )( ) () ()( )sf tF su tf teF s 設(shè)設(shè)，則則有有實實數(shù)數(shù)LL4、相似性質(zhì)相似性質(zhì)01 ( )( ) ()( )f tF sasf atFaa 設(shè)設(shè)，則則有有LL編輯ppt二、Laplace變換的微分性質(zhì)與變換的微分性質(zhì)與積分性質(zhì)積分性質(zhì)1、微分性質(zhì)微分性質(zhì) ( )( )f tF s 若若，則則L2 ( )( )() ( )( )( )nnFst f tFs-tf t （ ）LL12110 000( )()( )(

14、)( )( )( )( )( )( )nnnnnftsF sffts F ssfsff （）LL-11( )( )f tFst L編輯ppt2、積分性質(zhì)、積分性質(zhì)0ss11(2) ( )( )( )( )( )tfdF ssf tF s dsF s dst （）若若收收斂斂，則則LL ( )( )f tF s 設(shè)設(shè)，L3、拉氏卷積定理拉氏卷積定理1122( )( )( )( )f tF sftFs 設(shè)設(shè)，則則LL1212( )*( )( )( )f tftF sF s L拉氏卷積定理的推廣拉氏卷積定理的推廣：1212( )*( )*( )( )( )( )nnf tftftF sF sFs L

15、編輯ppt三、三、Laplace變換的卷積定理變換的卷積定理1、拉氏卷積的定義拉氏卷積的定義定義定義 121201212 ( )( )( )()( )( )()( )( )tf tftfftdf tftf tft 稱稱為為函函數(shù)數(shù)和和的的拉拉氏氏卷卷積積，有有時時也也記記為為。L2、拉氏卷積和傅氏卷積的關(guān)系拉氏卷積和傅氏卷積的關(guān)系1212 ()( )( )()( ) ( ) ( ) ( )f tftf t u tft u t LF編輯ppt 由于拉氏卷積和傅氏卷積本質(zhì)上的一致性，與傅氏由于拉氏卷積和傅氏卷積本質(zhì)上的一致性，與傅氏卷積一樣，拉氏卷積也具有交換律、結(jié)合律、分配律，卷積一樣，拉氏卷積

16、也具有交換律、結(jié)合律、分配律，即：即：1221( )*( ) ( )*( )f tf tf tf t 123123( )*( )* ( )( )*( )* ( )f tf tf tf tf tf t 1231213( )*( )( )( )*( ) ( )*( )f tf tf tf tf tf tf t 編輯ppt3、拉氏卷積定理拉氏卷積定理1122( )( )( )( )f tF sftFs 設(shè)設(shè)，則則LL12121 ( )( )*( )( )( )f tftF sF s L1212122( )( )( )( )()jjf tftFF sdj L, c Resc 其其中中編輯ppt3、拉氏

17、卷積定理拉氏卷積定理1122( )( )( )( )f tF sftFs 設(shè)設(shè)，則則LL1212( )*( )( )( )f tftF sF s L證明：證明：12120( )( )( )( )stf tftf tft edt L 1200( )()tstfftd edt 120( )()stfftedt d （交換積分次序）（交換積分次序）120()( )( )s uffu edu d 120( )( )sefF s d 210( )( )sF sefd 12( )( )F sF sut （令令）編輯ppt拉氏卷積定理的推廣拉氏卷積定理的推廣：1212( )*( )*( )( )( )( )

18、nnf tftftF sF sFs L編輯ppt例例9： (1) 1 (2) sinttt 求求下下列列拉拉氏氏卷卷積積解解: 02( )sin() sinttttd sintt 22 01 11 ()=22( )tttttdt t 2()( )()()sinsintttt 方方法法LLL2211=+1ss2211=+1ss 2211 sin =()()+1ttssLL所所以以= ( 0)sintt t 編輯ppt22 12 Laplace45( )()( )( )sF sssf tF s ，求求其其逆逆變變換換L例例10：解解:222( )(2)1sF ss ，211 ( )( )( )tf

19、 tef tf t ，因因此此只只要要求求出出 1111221( )( )( )()sF sf tF ss 現(xiàn)現(xiàn)記記，L編輯ppt122111( )sF sss 1122111( )sf tss L 1 122111sss LLcossintt tdt 0)sin(cos 0122sinsin()ttt d ttsin21221 2( )( )sintttf tef tet 故故11 ( )( )F sf t由由計計算算的的過過程程，還還可可以以利利用用留留數(shù)數(shù)定定理理，作作為為練練習(xí)習(xí)。注注:編輯ppt解法二解法二:222( )(2)1sF ss ， 1111221( )( )( )()sF sf tF ss 現(xiàn)現(xiàn)記記 ，L211 ( )( )( )tf tef tf t ，因因此此只只要要求求出出122211121( )()sdF ssdss 1