中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題

1、模式1：平行四邊形分類標(biāo)準(zhǔn)：討論對(duì)角線例如：請(qǐng)?jiān)趻佄锞€上找一點(diǎn)p使得四點(diǎn)構(gòu)成平行四邊形，則可分成以下幾種情況（1）當(dāng)邊是對(duì)角線時(shí)，那么有（2）當(dāng)邊是對(duì)角線時(shí)，那么有（3）當(dāng)邊是對(duì)角線時(shí)，那么有例題1：（山東省陽(yáng)谷縣育才中學(xué)模擬10）本題滿分14分）在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線經(jīng)過(guò)A(-4，0)，B(0，-4)，C(2，0)三點(diǎn).(1)求拋物線的解析式；(2)若點(diǎn)M為第三象限內(nèi)拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m，AMB的面積為S.求S關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，并求出S的最大值； (3)若點(diǎn)P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)Q是直線y=x上的動(dòng)點(diǎn)，判斷有幾個(gè)位置能使以點(diǎn)P、Q、B、0為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，直接

2、寫(xiě)出相應(yīng)的點(diǎn)Q的坐標(biāo).練習(xí)：如圖1，拋物線與x軸相交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為D（1）直接寫(xiě)出A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)和拋物線的對(duì)稱軸；（2）連結(jié)BC，與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)E，點(diǎn)P為線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PF/DE交拋物線于點(diǎn)F，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m用含m的代數(shù)式表示線段PF的長(zhǎng)，并求出當(dāng)m為何值時(shí)，四邊形PEDF為平行四邊形？設(shè)BCF的面積為S，求S與m的函數(shù)關(guān)系模式2：梯形分類標(biāo)準(zhǔn)：討論上下底例如：請(qǐng)?jiān)趻佄锞€上找一點(diǎn)p使得四點(diǎn)構(gòu)成梯形，則可分成以下幾種情況（1）當(dāng)邊是底時(shí)，那么有（2）當(dāng)邊是底時(shí)，那么有（3）當(dāng)邊是底時(shí)，那么有例題2：已知，矩形OABC在

3、平面直角坐標(biāo)系中位置如圖1所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(4,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，直線與邊BC相交于點(diǎn)D(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A、D、O，求此拋物線的表達(dá)式；(3)在這個(gè)拋物線上是否存在點(diǎn)M，使O、D、A、M為頂點(diǎn)的四邊形是梯形？若存在，請(qǐng)求出所有符合條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由練習(xí)：已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A（2，0）、C(0，12) 兩點(diǎn)，且對(duì)稱軸為直線x4，設(shè)頂點(diǎn)為點(diǎn)P，與x軸的另一交點(diǎn)為點(diǎn)B（1）求二次函數(shù)的解析式及頂點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）如圖1，在直線 y2x上是否存在點(diǎn)D，使四邊形OPBD為等腰梯形？若存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）如圖2，點(diǎn)M是線段OP

4、上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（O、P兩點(diǎn)除外），以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn)P向點(diǎn)O 運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)M作直線MN/x軸，交PB于點(diǎn)N 將PMN沿直線MN對(duì)折，得到P1MN 在動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，設(shè)P1MN與梯形OMNB的重疊部分的面積為S，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式 模式3：直角三角形分類標(biāo)準(zhǔn)：討論直角的位置或者斜邊的位置例如：請(qǐng)?jiān)趻佄锞€上找一點(diǎn)p使得三點(diǎn)構(gòu)成直角三角形，則可分成以下幾種情況（1）當(dāng)為直角時(shí)，（2）當(dāng)為直角時(shí)，（3）當(dāng)為直角時(shí)，例題3：如圖1，已知拋物線yx2bxc與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C(0，3)，對(duì)稱軸是直線x1，直線BC與拋物線的對(duì)稱軸交于點(diǎn)D（1）求

5、拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）求直線BC的函數(shù)表達(dá)式；（3）點(diǎn)E為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，CE的垂直平分線交CE于點(diǎn)F，交拋物線于P、Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)P在第三象限當(dāng)線段時(shí)，求tanCED的值；當(dāng)以C、D、E為頂點(diǎn)的三角形是直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)練習(xí)：如圖1，直線和x軸、y軸的交點(diǎn)分別為B、C，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（-2，0）（1）試說(shuō)明ABC是等腰三角形；（2）動(dòng)點(diǎn)M從A出發(fā)沿x軸向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)B出發(fā)沿線段BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)的速度均為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度當(dāng)其中一個(gè)動(dòng)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，他們都停止運(yùn)動(dòng)設(shè)M運(yùn)動(dòng)t秒時(shí)，MON的面積為S 求S與t的函數(shù)關(guān)系式； 設(shè)點(diǎn)M在線段OB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，是否存在S4的情形？若

6、存在，求出對(duì)應(yīng)的t值；若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由；在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)MON為直角三角形時(shí)，求t的值模式4：等腰三角形分類標(biāo)準(zhǔn)：討論頂角的位置或者底邊的位置例如：請(qǐng)?jiān)趻佄锞€上找一點(diǎn)p使得三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形，則可分成以下幾種情況（1）當(dāng)為頂角時(shí)，（2）當(dāng)為頂角時(shí)，（3）當(dāng)為頂角時(shí)，例題4：已知：如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形OABC的邊OA在y軸的正半軸上，OC在x軸的正半軸上，OA2，OC3，過(guò)原點(diǎn)O作AOC的平分線交AB于點(diǎn)D，連接DC，過(guò)點(diǎn)D作DEDC，交OA于點(diǎn)E（1）求過(guò)點(diǎn)E、D、C的拋物線的解析式；（2）將EDC繞點(diǎn)D按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后，角的一邊與y軸的正半軸交于點(diǎn)F，另一邊與線段OC交

7、于點(diǎn)G如果DF與（1）中的拋物線交于另一點(diǎn)M，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，那么EF2GO是否成立？若成立，請(qǐng)給予證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）對(duì)于（2）中的點(diǎn)G，在位于第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得直線GQ與AB的交點(diǎn)P與點(diǎn)C、G構(gòu)成的PCG是等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在成立，請(qǐng)說(shuō)明理由練習(xí)：（2012江漢市中考模擬）已知拋物線yax2bxc(a0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(12，0)和C(0，6)，對(duì)稱軸為x2(1)求該拋物線的解析式(2)點(diǎn)D在線段AB上且ADAC，若動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q以某一速度從C出發(fā)沿線段CB勻速運(yùn)動(dòng)，問(wèn)是否存

8、在某一時(shí)刻，使線段PQ被直線CD垂直平分？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)的時(shí)間t(秒)和點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；若存在，請(qǐng)說(shuō)明理由ABCOPQDyx(3)在(2)的結(jié)論下，直線x1上是否存在點(diǎn)M，使MPQ為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由模式5：相似三角形突破口：尋找比例關(guān)系以及特殊角例題5：（據(jù)荊州資料第58頁(yè)第2題改編）在梯形ABCD中，ADBC，BAAC，B = 450，AD = 2，BC = 6，以BC所在直線為x軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，點(diǎn)A在y軸上。（1） 求過(guò)A、D、C三點(diǎn)的拋物線的解析式。（2） 求ADC的外接圓的圓心M的坐標(biāo)，并求M的半徑。（3） E為拋物線

9、對(duì)稱軸上一點(diǎn)，F(xiàn)為y軸上一點(diǎn)，求當(dāng)EDECFDFC最小時(shí)，EF的長(zhǎng)。（4） 設(shè)Q為射線CB上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P為對(duì)稱軸左側(cè)拋物線上任意一點(diǎn)，問(wèn)是否存在這樣的點(diǎn)P、Q，使得以P、Q、C為頂點(diǎn)的與ADC相似？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P、Q的坐標(biāo)，若不存在，則說(shuō)明理由。模擬題匯編之動(dòng)點(diǎn)折疊問(wèn)題1.（2012深圳模擬）（本題12分）已知二次函數(shù)與軸交于A（1，0）、B（1，0）兩點(diǎn).（1）求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系式；（2）若有一半徑為r的P，且圓心P在拋物線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P與兩坐標(biāo)軸都相切時(shí)，求半徑r的值.（3）半徑為1的P在拋物線上，當(dāng)點(diǎn)P的縱坐標(biāo)在什么范圍內(nèi)取值時(shí)，P與y軸相離、相交？ 2.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中

10、，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A、B兩點(diǎn)， A點(diǎn)在原點(diǎn)的左側(cè)，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（3，0），與y軸交于C（0，-3）點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BC下方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn).（1）分別求出圖中直線和拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）連結(jié)PO、PC，并把POC沿C O翻折，得到四邊形POPC， 那么是否存在點(diǎn)P，使四邊形POPC為菱形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代y=kx+b, 0=3k-3, k=1,y=x-31分將B、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入得：，解得： 所以二次函數(shù)的表達(dá)式為： .3分（2）存在點(diǎn)P，使四邊形POPC為菱形.設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為（x，），PP交CO于E.若四邊形POPC是菱形，

11、則有PCPO.5分連結(jié)PP 則PECO于E，OE=EC=.= .6分解得=，=（不合題意，舍去）P點(diǎn)的坐標(biāo)為（，）.9分3.（2012江西模擬）已知拋物線交y軸于點(diǎn)A，交x軸于點(diǎn)B,C（點(diǎn)B在點(diǎn)C的右側(cè)）.過(guò)點(diǎn)A作垂直于y軸的直線l. 在位于直線l下方的拋物線上任取一點(diǎn)P，過(guò)點(diǎn)P作直線PQ平行于y軸交直線l于點(diǎn)Q.連接AP.（1）寫(xiě)出A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)P位于拋物線的對(duì)稱軸的右側(cè)：如果以A，P，Q三點(diǎn)構(gòu)成的三角形與AOC相似，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若將APQ沿AP對(duì)折，點(diǎn)Q的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M.是否存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)M落在x軸上.若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由. ABMPCDN4.

12、（2012安慶模擬）在直角梯形ABCD中，B90°，AD1，AB3，BC4，M、N分別是底邊BC和腰CD上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M在BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，始終保持AMMN、NPBC(1)證明：CNP為等腰直角三角形；(2)設(shè)NPx，當(dāng)ABMMPN時(shí)，求x的值；(3)設(shè)四邊形ABPN的面積為y，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并指出x取何值時(shí)，四邊形ABPN的面積最大，最大面積是多少解：（1）過(guò)D作DQBC于Q，則四邊形ABQD為平行四邊形 DQ=AB=3，BQ=AD=1QC=DQ DQC 中C=QDC=45°RtNPC為等腰Rt (4分)（2） MP=AB=3, BM=NPNPC為等腰RtPC

13、=NP= x BM=BCMPPC=1x 1- x= x x=當(dāng)時(shí)，x = (8分)（3） =(AB+NP) BP=(3+ x)(4x)=+ x+ 6=( x-)+6.125(11分)當(dāng)x取時(shí)，四邊形ABPN面積最大，最大面積為6.125. (14分)5.（2012寶應(yīng)模擬）在直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，2），點(diǎn)C是線段OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不運(yùn)動(dòng)至O，A兩點(diǎn)），過(guò)點(diǎn)C作CDx軸，垂足為D，以CD為邊在右側(cè)作正方形CDEF. 連接AF并延長(zhǎng)交x軸的正半軸于點(diǎn)B，連接OF,設(shè)ODt. 求tanFOB的值；用含t的代數(shù)式表示OAB的面積S；是否存在點(diǎn)C, 使以B，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與

14、OFE相似，若存在，請(qǐng)求出所有滿足要求的B點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由 (1)作AHx軸于H，交CF于PA(2,2) AH=OH=2 AOB=45°CD=OD=DE=EF= 3分(2)CFOB ACFAOB 即 6分(3)要使BEF與OFE相似,FEO=FEB=90°只要或即:或 當(dāng)時(shí), , (舍去)或 B(6,0) 8分 當(dāng)時(shí),() 當(dāng)B在E的右側(cè)時(shí), (舍去)或 B(3,0) 10分() 當(dāng)B在E的左側(cè)時(shí),如圖，, (舍去)或 B(1,0) 12分6.（2012廣東預(yù)測(cè)）（本小題滿分12分）如圖，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).(1)求該拋物線的解析式；(2)設(shè)該拋物線

15、與軸相交于點(diǎn)，與軸相交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），試求點(diǎn)、的坐標(biāo)；(3)設(shè)點(diǎn)是軸上的任意一點(diǎn)，分別連結(jié)、試判斷：與的大小關(guān)系，并說(shuō)明理由.DAOxyCB(第24題圖) CxyABDEOP解：（1）（4分）設(shè)拋物線的解析式為1分 拋物線經(jīng)過(guò)，解得： 2分 （或） 1分 （2）（4分）令得，1分 令得，解得、2分 、 1分（3）（4分）結(jié)論： 1分理由是：當(dāng)點(diǎn)重合時(shí)，有 1分當(dāng)，直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、，直線的解析式為 3分設(shè)直線與軸相交于點(diǎn)，令，得，則關(guān)于軸對(duì)稱，連結(jié)，則，在中，有1分綜上所得1分7.如圖，已知二次函數(shù)yx2bxc的圖象經(jīng)過(guò)A(2，1)，B(0,7)兩點(diǎn)(1)求該拋物線的解析式及對(duì)稱軸；(2)

16、當(dāng)x為何值時(shí)，y0?(3)在x軸上方作平行于x軸的直線l，與拋物線交于C、D兩點(diǎn)(點(diǎn)C在對(duì)稱軸的左側(cè))，過(guò)點(diǎn)C、D作x軸的垂線，垂足分別為F、E.當(dāng)矩形CDEF為正方形時(shí)，求C點(diǎn)的坐標(biāo)解：解：(1)把A(2，1)，B(0,7)兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入yx2bxc，得，解得.所以，該拋物線的解析式為yx22x7，又因?yàn)閥x22x7(x1)28，所以對(duì)稱軸為直線x1.(2)當(dāng)函數(shù)值y0時(shí)，x22x70的解為x1±2 ，結(jié)合圖象，容易知道12 <x<12 時(shí)，y>0.(3)當(dāng)矩形CDEF為正方形時(shí)，設(shè)C點(diǎn)的坐標(biāo)為(m，n)，則nm22m7，即CFm22m7.因?yàn)镃、D兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)相

17、等，所以C、D兩點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸x1對(duì)稱，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為p，則1mp1，所以p2m，所以CD(2m)m22m.因?yàn)镃DCF，所以22mm22m7，整理，得m24m50，解得m1或5.因?yàn)辄c(diǎn)C在對(duì)稱軸的左側(cè)，所以m只能取1.當(dāng)m1時(shí)，nm22m7(1)22×(1)74.于是，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(1,4)8.如圖，在ABC中，已知ABBCCA4cm，ADBC于D，點(diǎn)P、Q分別從B、C兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，其中點(diǎn)P沿BC向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s；點(diǎn)Q沿CA、AB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，設(shè)它們運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為x(s)。 求x為何值時(shí)，PQAC； 設(shè)PQD的面積為y(cm2)，當(dāng)0x2時(shí)，求y與x的

18、函數(shù)關(guān)系式； 當(dāng)0x2時(shí)，求證：AD平分PQD的面積； 探索以PQ為直徑的圓與AC的位置關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出相應(yīng)位置關(guān)系的x的取值范圍(不要求寫(xiě)出過(guò)程)。解：當(dāng)Q在AB上時(shí)，顯然PQ不垂直于AC。當(dāng)Q在AC上時(shí)，由題意得：BPx，CQ2x，PC4x，ABBCCA4，C600，若PQAC，則有QPC300，PC2CQ4x2×2x，x，當(dāng)x(Q在AC上)時(shí)，PQAC； 當(dāng)0x2時(shí)，P在BD上，Q在AC上，過(guò)點(diǎn)Q作QHBC于H，C600，QC2x，QHQC×sin600xABAC，ADBC，BDCDBC2DP2x，yPD·QH(2x)·x 當(dāng)0x2時(shí)，在RtQHC中，

19、QC2x，C600，HCx，BPHCBDCD，DPDH，ADBC，QHBC，ADQH，OPOQSPDOSDQO，AD平分PQD的面積； 顯然，不存在x的值，使得以PQ為直徑的圓與AC相離當(dāng)x或時(shí)，以PQ為直徑的圓與AC相切。當(dāng)0x或x或x4時(shí)，以PQ為直徑的圓與AC相交。9.已知拋物線與軸交于A、B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)B在軸的正半軸上（1）求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（2）設(shè)OA、OB的長(zhǎng)分別為a、b，且ab15，求拋物線的解析式；（3）在（2）的條件下，以AB為直徑的D與軸的正半軸交于P點(diǎn)，過(guò)P點(diǎn)作D的切線交軸于E點(diǎn)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)。解：（1）設(shè)點(diǎn)A（，0），B（，0）且滿足0由題意可知，即

20、（2）15，設(shè)，即，則，即，即，即，解得，（舍去） 拋物線的解析式為（3）由（2）可知，當(dāng)時(shí)，可得，即A（1，0），B（5，0） AB6，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，0）當(dāng)PE是D的切線時(shí)，PEPD由RtDPORtDEP可得即 ，故點(diǎn)E的坐標(biāo)為（，0）10.如圖，拋物線yax2c（a0）經(jīng)過(guò)梯形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)，梯形的底AD在x軸上，其中A（2,0），B（1, 3） （1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)M為y軸上任意一點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)M到A、B兩點(diǎn)的距離之和為最小時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）在第（2）問(wèn)的結(jié)論下，拋物線上的點(diǎn)P使SPAD4SABM成立，求點(diǎn)P的坐標(biāo) xyCB_D_AO解：（1）、因?yàn)辄c(diǎn)A、B均在拋物線上，故點(diǎn)A、B的坐標(biāo)適合拋物線方程 解之得：；故為所求 4分 （2）如圖2，連接BD，交y軸于點(diǎn)M，則點(diǎn)M就是所求作的點(diǎn)設(shè)BD的解析式為，則有， ，故BD的解析式為；令則，故8分 (3)、如圖3，連接AM，BC交y軸于點(diǎn)N，由（2）知，OM=OA=OD=2，圖3易知BN=MN=1，易求；設(shè)，依題意有：，即：解之得：，故 符合條件的P點(diǎn)有三個(gè)： 12分 11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，0），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（0，b）（b0）P是直線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作PCx軸，垂