中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課 中考壓軸題2418

1、課時39中考壓軸題(2)例1 如圖，已知直線l過點A(0，1)和B(1，0)，P是x軸正半軸上的動點，OP的垂直平分線交l于點Q，交x軸于點M.(1)直接寫出直線l的解析式；(2)設(shè)OP=t，OPQ的面積為S，求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；并求出當(dāng)0t2時，S的最大值；lAOMPBxyl1Q(3)直線l1過點A且與x軸平行，問在l1上是否存在點C， 使得CPQ是以Q為直角頂點的等腰直角三角形？若存在，求出點C的坐標(biāo)，并證明；若不存在，請說明理由.解：(1)y=1-x(2) OP=t， Q點的橫坐標(biāo)為t當(dāng)0t1，即0t2時，QM=1-t， SOPQ=t(1-t)當(dāng)t2時，QM=|1-t|=t-1 SO

2、PQ=t(t-1)當(dāng)0t1，即0t2時， 當(dāng)t=1時，S最大值=lAOPBxyl1QC圖-1(3)由OA=OB=1，所以O(shè)AB是等腰直角三角形，若在l1上存在點C，使得CPQ是以Q為直角頂點的等腰直角三角形，則PQ=QC，所以O(shè)Q=QC，又l1x軸，則C，O兩點關(guān)于直線l對稱，所以AC=OA=1，得C(1，1).以下證PQC=90°：證明：連CB，則四邊形OACB是正方形.當(dāng)點P在線段OB上，Q在線段AB上(Q與B不重合)時，如圖-1.由對稱性，得BCQ=QOP，QPO=QOP QPB+QCB=QPB+QPO=180° PQC=360°-(QPB+QCB+PBC)

3、=90°當(dāng)點P在線段OB的延長線上，如圖-2、圖-3. QPB=QCB，1=2 PQC=PBC=90°當(dāng)點Q與點B重合時，顯然PQC=PBC=90°綜合所述PQC=90° 在l1上存在點C(1，1)，使得CPQ是以Q為直角頂點的等腰直角三角形.ylAOPBxl1圖-3QC21lAOPBxl1圖-2QC21y例2 如圖，在直角坐標(biāo)系中，點A的坐標(biāo)為(-2，0)，線段OA繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)120°后得到線段OB.(1)直接寫出點B的坐標(biāo)；(2)求經(jīng)過A、O、B三點的拋物線的解析式；(3)在(2)中拋物線的對稱軸上是否存在點C，使BOC的周長最小？若

4、存在，求出點C的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.(4)如果點P是(2)中的拋物線上的動點，且在x軸的下方，那么PAB是否有最大面積？若有，求出此時P點的坐標(biāo)及PAB的最大面積；若沒有，請說明理由.BAOyx解：(1)點B的坐標(biāo)(1，)(2)設(shè)拋物線的解析式為y=ax(x+2)把B(1，)代入得=a×1×(1+2)解得a= CBAOyx(3)如圖，拋物線的對稱軸是直線x=-1，當(dāng)點C位于對稱軸與線段AB的交點時，BOC的周長最小.設(shè)直線AB為y=kx+b ，解得 直線AB為DBAOyxP當(dāng)x=-1時， 點C的坐標(biāo)為(-1，)（4）如圖，過P作y軸的平行線交AB于D. 當(dāng)x=-時，

5、PAB的面積的最大值為，此時P(-，).例3 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y=-2x-8分別與x軸，y軸相交于A，B兩點，點P(0，k)是y軸的負(fù)半軸上的一個動點，以P為圓心，3為半徑作P.(1)連接PA，若PA=PB，試判斷P與x軸的位置關(guān)系，并說明理由；(2)當(dāng)k為何值時，以P與直線l的兩個交點和圓心P為頂點的三角形是正三角形？解：(1)P與x軸相切. 直線y=-2x-8與x軸交于A(4，0)，與y軸交于B(0，-8). OA=4，OB=8由題意得，OP=-k PB=PA=8+k在RtAOP中，OA=4，OP=-k，PA=8+k k2+42=(8+k)2解得k=-3 OP等于P的半徑

6、 P與x軸相切(2)設(shè)P1與直線l交于C，D兩點，連接P1C，P1D，當(dāng)圓心P1在線段OB上時，作P1ECD于E. P1CD為正三角形 DE=CD=，P1D=3， P1E= AOB=P1EB=90°， ABO=P1BE AOBP1EB， ，即 P1B= P1O=BO-P1B=8- P1(0，-8) 當(dāng)圓心P2在線段OB延長線上時，同理可得P2(0，-8) k=-8 當(dāng)k=-8或k=-8時，以P與直線l的兩個交點和圓心P為頂點的三角形是正三角形.例4 當(dāng)x=2時，拋物線yax2+bx+c取得最小值-1，并且拋物線與y軸交于點C(0，3)，與x軸交于點A、B.(1)求該拋物線的關(guān)系式；(

7、2)若點M(x，y1)，N(x+1，y2)都在該拋物線上，試比較y1與y2的大??；(3)D是線段AC的中點，E為線段AC上一動點(A、C兩端點除外)，過點E作y軸的平行線EF與拋物線交于點F問：是否存在DEF與AOC相似？若存在，求出點E的坐標(biāo)；若不存在，則說明理由ABCDOxyEF3解：(1)由題意可設(shè)拋物線的關(guān)系式為y=a(x-2)2-1 點C(0，3)在拋物線上 3= a(0-2)2-1，解得a=1 拋物線的關(guān)系式為y=(x-2)2-1=x2-4x+3(2) 點M(x，y1)，N(x+1，y2)都在該拋物線上 y1-y2=(x2-4x+3)-(x+1)2-4(x+1)+3=3-2 x當(dāng)3

8、-2 x0，即時，y1y2當(dāng)3-2 x=0，即時，y1=y2當(dāng)3-2 x0，即時，y1y2(3)令y=0，即x2-4x+3=0，解得x1=3，x2=1 A(3，0)，B(1，0) D(，) 直線AC的函數(shù)關(guān)系式為y=-x+3因為AOC是等腰直角三角形，所以，要使DEF與AOC相似，DEF也必須是等腰直角三角形由于EFOC，因此DEF=45°，所以，在DEF中只可能以點D、F為直角頂點.當(dāng)F為直角頂點時，DFEF，此時DEFACO，DF所在直線為y=由x2-4x+3=，解得x1=，x2=3 (舍去)將x=代入y=-x+3，解得y= E(，)當(dāng)D為直角頂點時，DFAC，此時DEFOAC，

9、由于點D為線段AC的中點，因此，DF所在直線過原點O，其關(guān)系式為y=x.由x2-4x+3=x，解得x1=，x2=3 (舍去)將x=代入y=-x+3，解得y= E(，)ABCDOxyEF3圖ABCDOxyEF3圖例5 如圖，已知拋物線與x軸交于A(-1，0)、E(3，0)兩點，與y軸交于點B(0，3).(1)求拋物線的解析式；(2)設(shè)拋物線頂點為D，求四邊形ABDE的面積；(3)AOB與DBE是否相似？如果相似，請給以證明；如果不相似，請說明理由。解：(1) 拋物線與y軸交于點(0，3) 設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+3(a0)根據(jù)題意，得，解得 拋物線的解析式為y=-x2+2x+3(2)設(shè)

10、對稱軸與x軸的交點為F由y=-x2+2x+3得頂點D的坐標(biāo)為(1，4) S四邊形ABDE=SABO+S梯形BOFD+SDFE =AO·BO+(BO+DF)·OF+EF·DF=×1×3+(3+4)×1+×2×4=9(3)AOBDBE證明：連接BE，作BGDF，則BG=DG=1= BD=，BE=3DE=2 BD2+BE2=20，DE2=20 BD2+BE2=DE2 BDE是直角三形 AOB=DBE=90°，且= AOBDBE例6 如圖，已知拋物線經(jīng)過坐標(biāo)原點O和x軸上另一點E，頂點M的坐標(biāo)為(2，4)，矩形A

11、BCD的頂點A與點O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3.(1)求該拋物線所對應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；(2)將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從圖所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動，同時一動點P也以相同的速度從點A出發(fā)向B勻速移動，設(shè)它們運(yùn)動的時間為t秒(0t3)，直線AB與該拋物線的交點為N(如圖所示).當(dāng)t=時，判斷點P是否在直線ME上，并說明理由；設(shè)以P、N、C、D為頂點的多邊形面積為S，試問S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由解：(1)由題意，可設(shè)拋物線關(guān)系式為y=a(x-2)2+4 拋物線經(jīng)過O(0，0) 有a(0-2)2+4=0，解得a=

12、-1 該拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=-(x-2)2+4，即y=-x2+4x(2) 點P不在直線ME上.理由如下：根據(jù)拋物線的對稱性可知E點的坐標(biāo)為(4，0)又M的坐標(biāo)為(2，4)，設(shè)直線ME的關(guān)系式為y=kx+b. ，解得 直線ME的關(guān)系式為y=-2x+8由已知條件易得，當(dāng)t=時，OA=AP= P(，) P點的坐標(biāo)不滿足直線ME的關(guān)系式y(tǒng)=-2x+8 當(dāng)t=時，點P不在直線ME上. S存在最大值. 理由如下： 點A在x軸的非負(fù)半軸上，且N在拋物線上 OA=AP=t 點P、N的坐標(biāo)分別為(t，t)、(t，-t 2+4t) AN=-t 2+4t (0t3) AN-AP=(-t 2+4 t)- t=-t 2+3t=t(3-t)0 PN=-t 2+3t當(dāng)PN=0，即t=0或t=3時，以點P，N，C，D為頂點的多邊形是三角形，此三角