中考數(shù)學復習指導動態(tài)幾何問題的坐標解法

1、動態(tài)幾何問題的坐標解法 在近幾年各地的中考試題中，動態(tài)幾何問題一直是考試的熱點和難點.從題型上分，動態(tài)幾何主要有動點、動線和動圖這三類，從運動的形式上看，有平移、翻折、旋轉等. 動態(tài)幾何問題是學生學習中的難點，一方面，它主要以幾何圖形為載體，運動變化為主線，靈活運用數(shù)形結合，對多個知識點以及多種解題思想進行考查.另一方面，這類題綜合性強，能力要求高，要求學生能靈活運用已有知識對題目進行分析、探索、轉換，其思想方法大多是建立在對幾何圖形分析的基礎上.其中有些題目學生用幾何方法解決起來比較麻煩，或者很難想到怎樣解決，本文介紹另一種解決動態(tài)幾何問題的方法通過構建平面直角坐標系來解決動態(tài)幾何問題，這種

2、方法對解決下列幾種問題有一定的優(yōu)越性.當然，用這個方法有個很重要的前提:建立直角坐標系后，圖中各個點的坐標都能比較方便地表示出來. 一、最值與軌跡長度問題 例1 如圖1，已知正方形的邊長為4，點是邊上的一個動點，連結，過點作的垂線交于點，以為邊作正方形，頂點在線段上，對角線、相交于點.(1) 在點從點到點運動的過程中，的外接圓的圓心也隨之運動，求該圓心到邊的距離的最大值;(2) 當點點從點運動到點時，點也隨之運動，求點經(jīng)過的路徑長. 分析 本題可以用幾何的方法解決，但第(1)問中有些同學不會利用中位線將中點到的距離轉化為，導致問題難以解決;第(2)問學生對探究點軌跡究竟是什么也很困難.本題圖形

3、中看似有很多個動點，但主動點只有，其它點都是隨著的變化而變化，所以只要將的運動方式(的長度隨著的變化而變化)利用坐標表示出來，其它點的坐標也隨之能夠表示，這樣第(1)問就轉化為求的外接圓的圓心的縱坐標的最大值.第(2)問探索點軌跡就轉化為探索點橫縱坐標之間的關系，求路徑長也就是求點在起始位置和終點位置時兩個點的距離. 解 (1)以為原點，以為軸正半軸，為軸正半軸，建立直角坐標系如圖. 設，則，由得即于是線段的中點點到的距離為故時，點到的距離取最大值 (2)過點作于點，可得于是有，的中點點在直線上運動，即點的運動軌跡是線段.當時，;當時，.點的運動的路徑長為. 二、動直線過定點問題 例2 如圖2

4、，正方形的邊長為8cm，、分別是、上的動點，且.(1) 求證:四邊形是正方形;(2) 判斷直線是否經(jīng)過一個定點，并說明理由. 分析 第(2)問的困難在于學生不知道經(jīng)過的是哪個定點.圖中看似有4個動點，但其實只有一個主動點(不妨令其為點)，其它三個點都隨著這個主動點的變化而變化.只要設出點的坐標，就可以方便地得到直線的解析式，由此可判斷這條直線是否經(jīng)過一個定點，并且經(jīng)過哪個定點了. 解(1)略. (2)以為原點，以為軸正半軸，為軸正半軸，建立直角坐標系如圖2.設，則.易知故，得，設的方程為，代入、的坐標，得解得的方程為當時，直線經(jīng)過(2,2). 三、點線位置關系與線段數(shù)量關系及位置關系問題 例3

5、如圖3，在中，cm，cm，動點在線段上以5cm/s的速度從點運動到點，過點作于點，將繞的中點旋轉180°得到，設點的運動時間為(S).(1) 當點落在邊上時，求的值;(2) 在動點從點運動到點過程中，當為何值時，是以為腰的等腰三角形?(3) 如圖3，另有一動點與點同時出發(fā)，在線段上以5cm/s的速度從點運動到點，過點作于點，將繞的中點旋轉180°得到，連結，當直線與一邊垂直時，求的值. 分析本題第(1)(2)兩問可以通過畫出圖形，利用相似形找到相應的等量關系，從而解決問題.但這個關系的發(fā)現(xiàn)恰恰就是解決這個問題的難點，尤其第(3)問很多學生更是無法找到其中的關系得到方程.如果通過建立平面直角坐標系，就可以將位置關系轉化為通過直線斜率之間的關系和點的坐標之間的關系，從而解決相關問題.解 (1)以為原點，以為軸正半軸，建立如圖3所示平面直角坐標系.則，可得直線的方程為又，代入的方程，得當時，點落在