華中師范大學(xué)2014量子力學(xué)-B卷-參考答案

1、華中師范大學(xué) 2014 2015 學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷（B）課程名稱 量子力學(xué) 課程編號(hào) 83810113 任課教師 題型簡(jiǎn)答題名詞解釋題證明題計(jì)算題總分分值12241945100得分 得分評(píng)閱人一、簡(jiǎn)答題（共3題，每題4分，共12分）1. 量子力學(xué)基本假設(shè)是什么？答：（1）量子體系的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)由波函數(shù)完全描述，波函數(shù)具有單值性，有限性和連續(xù)性，歸一化的波函數(shù)是概率幅；（2）波函數(shù)的時(shí)間演化由薛定諤方程描述，式中是體系的哈密頓算符；（3）力學(xué)量用線性厄米算符表示，如果在經(jīng)典力學(xué)中它的表達(dá)式為，則在量子力學(xué)中表示這個(gè)力學(xué)量的算符為。測(cè)量是測(cè)量?jī)x器對(duì)量子體系的一種作用，在測(cè)得體系的力學(xué)量后，體系

2、的狀態(tài)將由態(tài)突變?yōu)榈谋菊鲬B(tài)，稱為量子態(tài)的塌縮。2. 哪些實(shí)驗(yàn)表明電子具有自旋現(xiàn)象？電子自旋角動(dòng)量是電子自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的嗎？答：鈉黃線的精細(xì)結(jié)構(gòu)，復(fù)雜塞曼效應(yīng)，斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn)都表明電子具有自旋。電子自旋角動(dòng)量不是電子自轉(zhuǎn)產(chǎn)生的，因?yàn)榘凑针娮幼赞D(zhuǎn)的圖像，算得電子表面的線速度會(huì)超光速，按照狹義相對(duì)論，這是不可以的。3. 波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋及波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件答：時(shí)刻附近體積元內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率為。描寫粒子的波是概率波，波的強(qiáng)弱反映了在空間某處發(fā)現(xiàn)粒子的概率的大小。波函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)條件是單值、連續(xù)和有限。院（系）： 專業(yè)： 年級(jí)： 學(xué)生姓名： 學(xué)號(hào)： - 密 - 封 - 線 -得分評(píng)閱人二、名詞解釋題（共6題，每

3、題4分，共24分）1. 態(tài)疊加原理答：若是體系的一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加（其中為復(fù)常數(shù)）也是體系的一個(gè)可能狀態(tài)。當(dāng)體系處于態(tài)時(shí)，發(fā)現(xiàn)體系處于態(tài)的概率是。2. 隧道效應(yīng)答：微觀粒子能穿越比它的能量高的勢(shì)壘的現(xiàn)象，稱為隧道效應(yīng)。它是微觀粒子波動(dòng)性的體現(xiàn)。3. 全同性原理和泡利不相容原理答：全同性原理表述為：全同粒子是不可區(qū)分的，全同粒子體系的狀態(tài)不會(huì)因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)全同粒子的交換而改變。由于全同性原理，全同粒子體系的總波函數(shù)具有交換對(duì)稱性或反對(duì)稱性。全同玻色子體系的總波函數(shù)是交換對(duì)稱的，全同費(fèi)米子體系的總波函數(shù)是交換反對(duì)稱的。對(duì)于費(fèi)米子，如果有兩個(gè)或兩個(gè)以上的粒子狀態(tài)相同，則不可能組成反對(duì)

4、稱的波函數(shù)，這表明，在全同費(fèi)米子體系中不能有兩個(gè)或兩個(gè)以上的費(fèi)米子處于同一狀態(tài)，這就是泡利不相容原理。泡利不相容原理是全同性原理的推論。4. 共振躍遷 答：當(dāng)周期性微擾的頻率不等于兩能級(jí)間的玻爾頻率時(shí)，即時(shí)，躍遷概率不大；當(dāng)時(shí)，即吸收過程和輻射過程，其躍遷概率隨時(shí)間而增大，稱為共振躍遷。這類似于經(jīng)典力學(xué)中的受迫振動(dòng)：當(dāng)外力頻率不等于振子固有頻率時(shí)，振幅始終不大；當(dāng)外力頻率等于振子固有頻率時(shí)，振幅會(huì)變得很大。因而通常把躍遷中的這種現(xiàn)象稱為共振躍遷。5. 分波法的基本思想答：對(duì)于中心力場(chǎng)，角動(dòng)量是守恒量。應(yīng)用角動(dòng)量守恒，把受勢(shì)場(chǎng)作用前后的定態(tài)按分波展開，各分波在散射過程中可以分開來一個(gè)一個(gè)處理，勢(shì)

5、場(chǎng)對(duì)各分波的效應(yīng)在于改變分波的相位。 第 1 頁(共 4 頁)6. 電子云答：從量子力學(xué)的觀點(diǎn)看，氫原子中核外電子的運(yùn)動(dòng)不再是圓軌道上的運(yùn)動(dòng)，而是以不同的概率出現(xiàn)在空間各處，這種電子電荷在核外的概率分布稱為電子云。 得分評(píng)閱人三、證明題（共3題，共19分）1. 證明對(duì)易關(guān)系。（8分）證明：因?yàn)?，且，利用?duì)易關(guān)系的運(yùn)算法則，得 2. 證明：厄米算符的本征值必為實(shí)數(shù)。（5分）證明：設(shè)的本征值譜為離散譜，其本征值方程為 根據(jù)厄米算符的定義，在這個(gè)定義式中，令，便有 將的本征值方程帶入，得 由于，故有，證畢。 - 密 - 封 - 線 - 3. 設(shè)電子1、2的自旋分別為：，體系處于對(duì)稱波函數(shù)的狀態(tài)，證明

6、總自旋角動(dòng)量z分量的取值為。（6分）證明：總自旋角動(dòng)量z分量算符為，把它作用在體系狀態(tài)上，利用粒子1的角動(dòng)量只對(duì)粒子1的波函數(shù)有作用，對(duì)粒子2的波函數(shù)沒有作用，可得 可見，是的本征態(tài)，本征值為。證畢。得分評(píng)閱人四、計(jì)算題（共4題，共45分）1. 設(shè)氫原子處于歸一化狀態(tài)，求其能量、角動(dòng)量平方及角動(dòng)量z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量的平均值。（12分） （提示：氫原子能級(jí)公式） 解：題示的狀態(tài)是用本征態(tài)展開的形式，只包含兩個(gè)本征態(tài)，根據(jù)態(tài)疊加原理，體系處于這兩個(gè)本征態(tài)的概率分別為：1/4，3/4。從量子數(shù)可以看出，這兩個(gè)本征態(tài)都是n=2的本征態(tài)，對(duì)應(yīng)于同一能量，根據(jù)氫原子的能級(jí)公式

7、，該狀態(tài)下，體系能量的可能值是，概率為1；其它取值的概率為0；能量平均值為； 兩個(gè)本征態(tài)都是l=1的本征態(tài)，角動(dòng)量平方的本征值公式，故其可能值為，概率為1：其它取值的概率為0；平均值為； 兩個(gè)本征態(tài)對(duì)應(yīng)于m=0和m=-1，角動(dòng)量z分量的本征值公式，故其可能值：0，概率為1/4；，概率為3/4；平均值為。 第 2 頁(共 4 頁)2. 在某一選定的一組正交基矢下哈密頓算符由下列矩陣給出（1）設(shè)，應(yīng)用微擾論求哈密頓算符的本征值到二級(jí)近似；（2）求哈密頓算符的本征值的精確解；（3）在怎樣條件下，上面二結(jié)果一致。（15分）解：（1）當(dāng)，可把哈密頓分解為 是對(duì)角矩陣，是在自身表象的形式。所以，零級(jí)近似的能量和態(tài)矢為由無簡(jiǎn)并微擾公式， ，得能量的一級(jí)修正為能量的二級(jí)修正為 得二級(jí)近似下。（2）設(shè)H的本征值為E，久期方程為，得。（3）將精確解按c展開得。微擾論二級(jí)近似解與精確解展開式不計(jì)c4及更高階的結(jié)果相同。 - 密 - 封 - 線 -3. 設(shè)算符在A表象的矩陣表示為，為實(shí)常數(shù)，求（1）的本征值及正交歸一的本征矢在A表象的矩陣表示；（2）使矩陣F對(duì)角化的么正變換矩陣U。（12分）解： 第 3 頁