第十二章 傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換

1、第十二章 傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換 (一) 教學(xué)目的：1）了解傅里葉級(jí)數(shù)和傅里葉變換；2）掌握傅里葉級(jí)數(shù)收斂性的判別；3）正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)、一般周期函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)；4）掌握并熟練運(yùn)用傅里葉變換的一些性質(zhì)。(二) 教學(xué)重點(diǎn)：1）傅里葉級(jí)數(shù)收斂性的判別；2）正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)、一般周期函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)；3）傅里葉變換的一些性質(zhì)。（三）教學(xué)難點(diǎn)1）傅里葉級(jí)數(shù)收斂性的判別；2）一般周期函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)。§12.1 傅里葉級(jí)數(shù)一 傅里葉（Fourier）級(jí)數(shù)的引進(jìn)定義1：設(shè)是上以為周期的函數(shù)，且在上絕對(duì)可積，稱形如的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)為的 Fourier級(jí)數(shù) (的 Fouri

2、er展開式)，其中， ， 稱為的 Fourier系數(shù)，記為注：1）在未討論收斂性，證明一致收斂到之前，不能將“”改為“=”；此處“”也不包含“等價(jià)”之意，而僅僅表示是的 Fourier級(jí)數(shù)，或者說的 Fourier級(jí)數(shù)是。 2) 要求上的 Fourier級(jí)數(shù)，只須求出Fourier系數(shù)。二 傅里葉級(jí)數(shù)收斂性的判別1. Riemann（黎曼）引理 設(shè)在（有界或無界）區(qū)間上絕對(duì)可積，則， . 推論 在上絕對(duì)可積函數(shù)的Fourier系數(shù) ；2. Fourier級(jí)數(shù)收斂的充要條件定理1 和, 使得當(dāng)時(shí)成立 其中 .3. Fourier級(jí)數(shù)收斂的Dini判別法推論: 設(shè)在上除去有限點(diǎn)外存在有界導(dǎo)數(shù),則的

3、Fourier級(jí)數(shù)點(diǎn)點(diǎn)收斂,且特別地, 是的連續(xù)點(diǎn)時(shí), , 即例1: 設(shè)是以為周期的函數(shù)，其在上可表示為,判定的Fourier級(jí)數(shù)的收斂性.例2：設(shè)是以為周期的函數(shù),其在上等于,判定的 Fourier級(jí)數(shù)的收斂性例3： 4. Jordan判別法設(shè)在上單調(diào)(或有界變差)，則 。例4：設(shè)是以為周期的函數(shù)，其在上可表示為 ,求的 Fourier展開式。 計(jì)算的 Fourier系數(shù)的積分也可以沿別的長度為的區(qū)間來積.如 ， 例5：設(shè)是以為周期的函數(shù),其在上等于,求的 Fourier級(jí)數(shù). 如果僅定義在長為的區(qū)間上,例如定義在上, 此時(shí)不是周期函數(shù), 從而不能按上述方法展開為Fourier級(jí)數(shù).但可對(duì)在

4、外補(bǔ)充定義,使其以為周期, 如定義, 它有下述性質(zhì): a) 時(shí),； b) 以為周期. 例6 : 三 正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù) 定義2：形如的三角級(jí)數(shù)(函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù))稱為正弦級(jí)數(shù);形如的三角級(jí)數(shù)(函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù))稱為余弦級(jí)數(shù).|如果是以為周期的函數(shù),在上絕對(duì)可積, 若是奇函數(shù),則有；若是偶函數(shù),則有.設(shè)僅在上有定義, 如果按奇函數(shù)的要求,補(bǔ)充定義,然后再作周期延拓,必得奇函數(shù), 所得Fourier級(jí)數(shù)必為正弦級(jí)數(shù). 對(duì)應(yīng)地, 補(bǔ)充定義后,再作周期延拓,必得偶函數(shù), 所得Fourier級(jí)數(shù)必為余弦級(jí)數(shù)。例7: ),將展開成余弦函數(shù)。例8：將在上展開為余弦級(jí)數(shù)。四 一般周期函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)設(shè)是周期為的函數(shù),且在上絕對(duì)可積, 則有 ,其中 ，