廣東省茂名市2020屆高三第一次綜合測試數(shù)學(理)試題(附答案)

1、數(shù)學試卷(理科)第5頁(共6頁)2020年茂名市高三級第一次綜合測試數(shù)學試卷（理科）2020.本試卷分選擇題和非選擇題，共6頁，23小題，全卷滿分150分，考試時間120分鐘.注意事項：1 .答題前，先將自己的姓名、準考證號填寫在試題卷和答題卡上.2 .選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑. 寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3 .填空題和解答題的作答：用簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試題卷、 草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4 .選考題的作答：先把所選題目的題號在答題卡上指定的位置用2B鉛筆涂黑.答案寫在 答題卡上對應(yīng)的答

2、題區(qū)域內(nèi)，寫在試題卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.5 .考試結(jié)束后，請將答題卡上交.第一部分選擇題（共60分）一、選擇題：（本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，有旦 只有一項是符合題目要求的）1 .已知集合4 = xwZ卜2cx4,8 = 工,2-2工一30）的左、右焦點，點夕在雙曲線C上，且線 段PF的中點坐標為（0, b則雙曲線C的離心率為（）.A. 41B.百C. V5D. 28 .前進中學高二學生會體育部共有5人.現(xiàn)需從體育部派遣4人,分別擔任拔河比賽活動中 的裁判、記錄結(jié)果、核查人數(shù)、維持紀律四項工作，每個人只能擔任其中一項工作，其中體 育部的張

3、三不能擔任裁判工作，則共有 種派遣方法.A. 120B. 96C. 48D. 60（0,72）,則F列正確的為（）/（x）在0,-單調(diào)遞減.n/U）的一條對稱軸為* =人國)的周期為1.jr把函數(shù)f(X)的圖像向左平移一個長度單位得到函數(shù)g(X)的解析式為6g(x) = V2 cos(2x+)6A.B.C.D.10.卜列函數(shù)圖象中，函數(shù)=(aWZ)的圖象不平壁的是()11 .已知4-行,。)、3(后,0)及拋物線方程為/=8()-1),點P在拋物線上，則使得AABP為直角三角形的點P個數(shù)為()A. 1個B.2個C3個D.4個12 .已知函數(shù)/(力卜/一產(chǎn)+ L(aER),若函數(shù)/ 有四個零點，

4、則。的取值范ix a in Xyx 1,圍是().A. (-00,0)B. (c,+8)C. (4,+00)D. (4, e2)第二部分 非選擇題(共90分)本卷包括必考題和選考題兩部分.第1321題為必考題，每個試題考生都必須作答.第 22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.二、填空題：(本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡的相應(yīng)位置)x-y513 .已知實數(shù)滿足2x + y-lN0 ,則z = 3x + y的最小值為. x+2y-2一一）圖象上的一個動點，ex為曲線在點尸處的切線的4傾斜角，則當a取最小值時x的值為.16 .如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為0.5,某多面體的

5、正視圖、左視圖、 俯視圖為同一圖形，粗實線畫出如圖所示，則該多面體外接球的體積 等于.三、解答題：共70分.解答過程應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第1721題為必考題， 每個試題考生都必須作答，第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.（一）必考部分：共60分17 .（本小題滿分12分）在MBC中,角A, 5, C所對的邊分別為,已知6sinB + a（sim4sin5） = csinC.（I ）求角C的大??；（II ）求sin/+ sin8的取值范圍.18 .（本小題滿分12分）如圖，在三棱柱中，/小_L平 ABC.。是力的中點，BC=ACt AB2DC= 2/2 , AAi=4.（I

6、 ）求證：5G平面4C。；（II）求平面6CC|BI與平面AD所成銳 二面角的平面角的余弦值.19 .（本小題滿分12分）當前，以“立德樹人”為目標的課程改革正在有序推進.高中聯(lián)招對初三畢業(yè)學生進 行體育測試，是激發(fā)學生、家長和學校積極開展體育活動，保證學生健康成長的有效措施.某 地區(qū)2019年初中畢業(yè)生升學體育考試規(guī)定,考生必須參加立定跳遠、擲實心球、1分鐘跳繩三項測試，三項考試滿分為50分，其中立定跳遠15分，擲實心球15分，1分鐘跳繩20 分.某學校在初三上期開始時要掌握全年級學生每分鐘跳繩的情況，隨機抽取了 100名學 生進行測試.得到如F頻率分布直方圖，且規(guī)定計分規(guī)則如下表：頻率每分

7、鐘跳繩個數(shù)165, 175)175, 185)185, 195)195, 205)205, 215)165 175 185 195 205 215 hf 分鐘跳繩個數(shù)(I )現(xiàn)從樣本的100名學生中，任意選取2人，求兩人得分之和不大于33分的概率；(II )若該校初三年級所有學生的封蜩個數(shù)X服從正態(tài)分布N(出，。2),用樣本數(shù)據(jù)的平均 值和方差估計總體的期望和方差(結(jié)果四舍五人到整數(shù))，已知樣本方差=77.8 (各組 數(shù)據(jù)用中點值代替).根據(jù)往年經(jīng)驗，該校初三年級學生經(jīng)過一年的訓練，正式測試時 每人每分鐘跳繩個數(shù)都有明顯進步，假設(shè)明年正式測試時每人每分鐘跳繩個數(shù)比初三上 學期開始時個數(shù)增加10

8、個，利用現(xiàn)所得正態(tài)分布模型：(i )預估全年級恰好有1000名學生，正式測試時每分鐘跳193個以上的人數(shù).(結(jié)果四舍五 人到整數(shù))(ii )若在該地區(qū)2020年所有初三畢業(yè)牛中任意詵取3人，記正式測試時每分鐘跳202個以 上的人數(shù)為 ,求隨機變量?的分布列和期望.附：若隨機變量X服從正態(tài)分布M 1, a2),。= 反=9,則 pL-a%0時，若人為整數(shù)，且x + l(Z-x)/(x) + x + l,求左的最大值.21 .(本小題滿分12分)在圓“2+72 =4上任取一點P,過點p作工軸的垂線段PD, D為垂足，當點P在圓上運動時，點M在線段PD上，且俞 =1萬，點M的軌跡為曲線2(1)求曲線

9、G的方程；(H)過拋物線C2：/=的焦點F作直線/交拋物線于A, B兩點，過F且與直線/垂 直的直線交曲線G于另一點C,求面積的最小值，以及取得最小值時直線/ 的方程.(二)選考部分：共10分 請考生在第22、23兩題中任選一題作答，如果多做，則按所做的 第一題計分，做答時，請用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應(yīng)的題號涂黑.22 .(本小題滿分10分)(選修4-4：坐標系與參數(shù)方程)設(shè)“為橢圓G：竽+若=1上任意一點，以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C2的極坐標方程為p210pcos0 + 24 = 0, 8為C2上任意一點：(I )寫出G參數(shù)方程和G普通方程;(II)求M

10、陰最大值和最小值.23 .(本小題滿分10分)(選修4-5：不等式選講)已知函數(shù)/a)=|2x2a|(acR),對VxsR, /(x)滿足/(x) = /(2r).(I )求。的值；(II )若HxwR ,使不等式J/(x)-/(x+2R加?+加,求實數(shù)加的取值范值數(shù)學試卷(理科)第7頁(共6頁)絕密啟用前試卷類型：A2020年茂名市高三級第一次綜合測試數(shù)學試卷(理科)參考答案及評分標準、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分)題號123456789101112答案DDBDCBCBACDC提示：1.【解析】B=xx22x_30 = (1,3) A = 1,0,1,2,3,AnB = 0

11、,1,2 D22ii -1， 2i2 .【解析】z= = _(i _1)=1i ,復數(shù)z=一 在復平面內(nèi)對應(yīng)坐標為1,-1 ,所以復i -1i -1i -1一 2i數(shù)z = 在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限，故選 D. i -13.【解析】由$5= a3+16,得(aa)5 =a3 +16a3= 4a3 - a1= 2d = 3,.d =-2,2a2 +a6 =2 a4= 2 a3+)d =,1 琲以選 B.25.【解析】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q ,所以S3 =a1+a2 + a3=7,即q +q-6= 0 ,所以-26_26q 2或 q = 3，當 q = 2 時，a3a5= a4=q = 64

12、，當 q = -3 時，a3,a5= a4=q= 729 ,故選C6.【解析】圓內(nèi)接正二十四邊形的邊所對圓心角是誓 = 15、因此，單位圓內(nèi)接正二十四邊形的1一 一一一 一 一一一圓面積為 S24= 24M(/1父1 Msin15)上 12M0.2588=3.1056 女 3.11二1 2=冗，依題意S圓內(nèi)24,所以冗=3.11故選B7 .【解析】 設(shè)(0, b)為點A(0, b),連接PF2,依題意AO為PF1F2的中位線，PF2/AO,即 PF2，x 軸且 |PF2|二2| AO|=2 b,所以點P的坐標為(c, 2b), P在雙曲線C上c2a2-等=1 ,即梟=5 , .,.離心率為5

13、a43138 .【解析】若張三不被選中，則派遣方法有 4=24種；若張三被選中，則派遣方法C4c3 A3 =72種，則共派遣方法有 24+72=96 種.故選B .一二2 二9 .【解析】f （x） =sin（ox +中）+cos（cex + 中）=V2sin（8x +中+）由 T=冗，所以伯=240f（0）=72sin弓）=應(yīng)眄5,則中二:，所以 f（x）=V2sin（2x+：）=A2cos2c. f（x） = &cos2xk ,k 所以k=0- 江的單調(diào)減區(qū)間滿足2k二三2x 0 時，f(x)=e2, f(x)= (2 芯/，f(x)圖象形如 B；當理正奇數(shù)白時候，f(x)是奇函數(shù)圖象關(guān)于

14、原點軸對稱且過原點，當?shù)钠鏀?shù)時在第一象限f(x)= x0exx號由備函數(shù)的圖象知 f(x)=x%| x |(ae Z)的圖象不可能是 C11 .以AB為直徑的圓與拋物線有兩個交點，另外以A,B為直角為與拋物線分別有兩個點，共4個，故選D.12 .【解析】當aw。時，f(x)=x- alnx在區(qū)間(1, + )上是單調(diào)遞增函數(shù)，且，f(x)f(1)=1. 即x1時，f(x)沒有零點，而x1時，f(x)=ax2- ax+1最多有兩個零點，因此， a0 時，令 f(x)=0( x1),則 x- alnx=0 ,即 a=,設(shè) g(x)= (x 1),則g (x)=, 二在區(qū)間(1, e)上g(x)v0

15、, g(x)單調(diào)遞減，在區(qū)間(e, +川上g(x)0, g(x)單調(diào)遞增，即g(x)在x=e處取得極小值也是最小值g(e)=e ,，y=a與y= g(x)最多有兩個交點，即x- alnx=0最多有兩個零點，且當 ae時，x-alnx=0( x 1)有兩個零點， 又f(x)有四個零點，xwi時，f(x)= ax2- ax+1必有兩個零點，所以 a滿足= a2-4a0, 且對稱軸x= -善4.綜上a4時，f(x)有四個零點.故選C第II部分非選擇題(共90分)二.填空題：本大題共 4小題，每小題 5分，共20分.13 .【解析】畫出可行域，由圖可知，可行域三個頂點分別為，A(2,-3), B(4,

16、1),C(0,1),當直線y = -3 x平移到點C( 0,1)時，z取到最小值為z = 30+1=12x+y-1 =14 .【解析】 依題意4ABC是等邊三角形，C為BM白中點1,AB= AC=BC=CM=2 /ACM=120 0,在 AACM 易得 AM= 2而，所以 AMLBC= AM BCcos300=64115.【解析】y =4x+(x ),設(shè)P(x,y)為曲線上任一點，由導數(shù)的幾何意義知曲線在4x 14P點處的切線的斜率為444k=tanc(=y =4x+= (4x+1) +-1 至 2j(4x+1)+1 = 3 (等號成立的條件為4x 14x 1.4x 14 rr 1當且僅當4x

17、+1=,即x=),結(jié)合正切函數(shù)的圖象可知，當k取3時傾斜角最小，此時 x的4x 14值為1.416【解析】解析：該多面體為棱長為 2的正方體沿著各棱的中點截去8個角余下的部分，如圖，其外接球的球心為正方體的中心O ,半徑為點O到正方體棱中點A的距離，即R=OA= J2,所以該多面體外接球的體積為 VnfjrR3：82兀. 33.解答（本大題共5小題，每題12分共60分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟17 .（本小題滿分12分）【答案】（I）. a解：（i）由正弦je理得：sinA = ，sinB2R2R,sinC 二2R又 bsinB a sinA -sinB =csinC.2,.2所

18、以b a(a-b) =c ,所以222a b -c = ab21分cosC 二222a b -c12ab4 ,分又因為0 C(kxlf (x)+x + 1得,x 1 . (k -x)(ex -1)故當x 0時，等價于, x 1k :二xex -1(x0)5 ,分令 g(x)=ex -1 +x，_xx x, xe _1 e (e - x - 2)貝u g (x)二廠一幣 1 二一戶一772 (e -1)(e -1)令 h(x) =ex -x -2 ,Q x 0,二 h (x) = ex 1 a 0 ,所以函數(shù)h(x) =exx-2在(0,)單調(diào)遞增.7.分而h(1)0,所以h(x)在(0,)存在

19、唯一的零點,8分故g ( x)在(0, +8)存在唯一的零點，設(shè)此零點為 ，則aW(1,2).當 xW(0,)時，g(x)0, g(x)增函數(shù)；所以g(x)在(0,收)的最小值為g(),10分又由 g (a) =0，可得 e=3 +2 ,所以 g(a) =口 +1 w (2,3)11分故等價于kg(3),故整數(shù)k的最大值為2.12分【解析】(I )由f (x) =exm ,.3分1.x = x0, y =a y.即 x = x ,2分21.(本小題滿分12分)1解：(1)設(shè) M (x,y) , P(x, y),則由于 DM =3 DP,依題知:y。=2y而點 P(x, y)在圓 x2 +y2

20、=9上，故 x2 十(2y)2 =4x 2x 2得1 + y2=1 故曲線C的方程為 + y2=1法一:拋物線C2： y2 =8x的焦點為F (2,0), .份1.5分當直線l的斜率不存在時，|AB| = 2P=8,|CF |=4,Sbc =父4父8=16, 當直線l的斜率存在時，則 k =0,設(shè)A(x1,y1), B(x2,y2),2直線l的方程設(shè)為y = k(x2),代入C2 : y =8x,消去y得222 222k (x-2) =8x,即k x -(4k +8)x+4k =0則 x1 + x2 = 2一, x1x2 =4 6分k一 2 一，8k 8八，| AB |=x1 +x2 + p

21、=2- 7分k2入一t、，1,、x2CF的直線方程為：y =(x-2),代入人+ y2 =1消去y得k4,(k2 +4)x2 -16x +16-4k2 =0-： =256 -4(k2 4)(16 -4k2) =16k4 0_2xc 2 =16- 16 -4k-2, xc 2 =2k 4k 4|CF| =J(1+2)(xc+2)2-4xc 2.吩ABC面積:c1八 1Sabc =2|AB| |CF| = 28k2 8 1 k2 4k2. k2 122 -2=16 -2k2, k2 k2 4k2 4.9分.1陰f (4t2 -3)22 9 _-3_ 3.3令f二。，則t2=4,即t=2,當tu1,

22、2時，f。為減函數(shù)，當t=c2時，f(t)為增函3數(shù)，所以t=一時，AABC面積最小. .1分2,29. 5由1+m =得m=2時，MBC面積的最小值為 916, 425 B 5八此時直線l的方程為：x=-y + 2,gpx-y-2 = 0 . .1盼222 法二：拋物線C2：y =8x的焦點為F(2,0) , .4分過點F的直線l的方程設(shè)為：x = my+2,設(shè)A(x1, y1), B(x2, y2),x = my 22聯(lián)立 2 2 得 y -8my _16 = 0.則 y1 + y2 = 8m, y1y2 = 16 , ：5分y =8x.| AB |= J1 +m95.八 由1+m =一得

23、m= 時，MBC面積的最小值為 9, yj(Yi+Y2)2-4y1y2 =8(1+m2)6分過F且與直線l垂直的直線設(shè)為：y = -m(x-2)y = -m(x - 2) 2222聯(lián)立x22 得，(1 十4m )x 16m x + 16m -4 = 0,Xc 2 =16m21 4m27 y ”_2.7.分.2(4m -1)1 4m2.| CF |= 1 m2 | xC -xF |= -4-： 1m2 .8分1 4m22MBC 面積 SAbc =-| AB| -|CF |= mP M + m2 . .9分21 4m2,/、16t3.16(4t2 -9t2).10 分令 t=m(t 9，則 S&Bc=f f(t)=()22 9 _3. _ 3,_3、 一令f (t)=0,則t2 =1即t=2,當t = 1q時，f(t)為減函數(shù)，當tj)時，f(t)為增函數(shù),3 所以t =一時，MBC面積最小 .11分25、,5.