經(jīng)濟數(shù)學基礎（第六版）（上冊）課件 第21講5.2微積分基本定理

經(jīng)濟數(shù)學基礎輔導第21講顧靜相5.2微積分基本定理教學要求

熟練掌握運用牛頓—萊布尼茨公式計算定積分．變上限定積分設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，對于任意的

x

[a,b]，

f(x)在區(qū)間[a,x]上也連續(xù)，所以函數(shù)

f(x)在

[a,x]上也可積．定積分

的值依賴上限

x，因此它是定義在

[a,b]上的

x

的函數(shù)．記

，則

(x)稱為變上限定積分．

變上限定積分

定理5.1如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則

是以

x為積分上限的定積分，

(x)的導數(shù)等于被積函數(shù)在積分上限

x處的值．即

．

變上限定積分

定理5.1如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則

是以

x為積分上限的定積分，

(x)的導數(shù)等于被積函數(shù)在積分上限

x處的值．即

．

由定理5.1可知：如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，則函數(shù)就是f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個原函數(shù)．

變上限定積分例1求．變上限定積分例1求．解當

x0時，此極限為“

”型不定式，利用洛必達法則，有===．變上限定積分例2計算．變上限定積分例2計算．解設

u=x2，則

．即

是

x的復合函數(shù)，利用復合函數(shù)求導公式得，==

．變上限定積分

一般地，如果

g(x)可導，則.在計算有關導數(shù)時，可把上述結(jié)果作為公式使用．微積分基本定理

定理5.2設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)在[a,b]上的一個原函數(shù)，則

．

微積分基本定理定理5.2設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)，F(xiàn)(x)是f(x)在[a,b]上的一個原函數(shù)，則

．上式稱為牛頓－萊布尼茨公式，定理5.2通常稱為微積分基本公式．

它揭示了定積分與不定積分之間的聯(lián)系．牛頓－萊布尼茲公式則為定積分的計算提供了有效的計算方法．微積分基本定理求函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，只需求出f(x)在區(qū)間[a,b]上的一個原函數(shù)F(x)，然后計算F(b)-F(a)就可以了，在求函數(shù)f(x)的原函數(shù)F(x)時，可直接利用基本積分表．定積分計算例3計算定積分．定積分計算例3計算定積分．解因為

是e2x的一個原函數(shù)，由牛頓－萊布尼茨公式得

．定積分計算例4計算定積分，其中

．定積分計算例4計算定積分，其中

．解因為f(x)在[]上不連續(xù)，但是分別在區(qū)間[]和[0,1]上連續(xù)，利用定積分對區(qū)間的可加性，有定積分計算解因為f(x)在[]上不連續(xù)，但是分別在區(qū)間[]和[0,1]上連續(xù)，利用定積分對區(qū)間的可加性，有定積分計算例5計算定積分．定積分計算例5