小學奧數(shù)教程之-數(shù)陣圖教師版(67)全國通用(含答案)

1、5-1-3-3.數(shù)陣圖.題庫教師版page 13 of 91.2.3.了解數(shù)陣圖的種類學會一些解決數(shù)陣圖的解題方法 能夠解決和數(shù)論相關的數(shù)陣圖問題目W蚱 知識點撥、數(shù)陣圖定義及分類:1 .定義：把一些數(shù)字按照一定的要求，排成各種各樣的圖形，這類問題叫數(shù)陣圖2 .數(shù)陣是一種由幻方演變而來的數(shù)字圖.數(shù)陣圖的種類繁多，這里只向大家介紹三種數(shù)陣圖：即封閉型數(shù)陣圖、輻射型數(shù)陣圖和復合型數(shù)陣圖 .3 .二、解題方法：解決數(shù)陣類問題可以采取從局部到整體再到局部的方法入手：第一步：區(qū)分數(shù)陣圖中的普通點 （或方格）和關鍵點（或方格）；第二步：在數(shù)陣圖的少數(shù)關鍵點（一般是交叉點）上設置未知數(shù)，計算這些關鍵點與相關

2、點的數(shù)量關系，得到關鍵點上所填數(shù)的范圍；第三步：運用已經(jīng)得到的信息進行嘗試.這個步驟并不是對所有數(shù)陣題都適用，很多數(shù)陣題更需要對數(shù)學方法的綜合運用.且班聽例題精講數(shù)陣圖與數(shù)論【例1】 把09這十個數(shù)字填到右圖的圓圈內(nèi)，使得五條線上的數(shù)字和構成一個等差數(shù)列，而且這個等差數(shù)列的各項之和為55,那么這個等差數(shù)列的公差有種可能的取值.【考點】數(shù)陣圖與數(shù)論【難度】3星【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，三年級，初賽，第8題【解析】設頂點分另1J為 A、B、C、D、E,有 45+A+B+C+D+E=55,所以 A+B+C+D+E=10,所以 A、B、C、D、E分別只能是0-4中的一個數(shù)字.則除之外的另外5個數(shù)（

3、即邊上的）為 45-10=35.設所形成的等差數(shù) 列的首項為a1,公差為d.利用求和公式5（a1 + a1+4d） 2=55,得a1+2d=11,故大于等于0+1+5=6,且為奇數(shù)，只能取 7、9或11,而對應的公差d分別為2、1和0.經(jīng)試驗都能填出來所以共有 3中情 況，公差分別為 2、1、0.【答案】2種可能【例2】 將19填入下圖的使得任意兩個相鄰的數(shù)之和都不是3, 5, 7的倍數(shù).【考點】數(shù)陣圖與數(shù)論【解析】根據(jù)題意可知1的兩邊只能是3與7; 2的兩邊只能是6與9; 3的兩邊只能是1、5或8; 4的兩邊只 能是7與9.可以先將317-寫出來，接下來 7的后面只能是4, 4的后面只能是9

4、, 9的后面只 能是2, 2的后面只能是 6,可得：317 492 6-,還剩下5和8兩個數(shù).由于6 8 14是 7的倍數(shù)，所以接下來應該是 5,這樣可得：317492 658 3.檢驗可知這樣的填法 符合題意.【答案】31749 26583【例3】 在下面8個圓圈中分別填數(shù)字1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8（1已填出）.從1開始順時針走1步進入下 一個圓圈，這個圓圈中若填n（nW8）則從這個圓 圈開始順時針走 n步進入另一個圓圈.依此下去，走7次恰好不重復地進入每個圓圈，最后進入的一個圓圈中寫8.請給出兩種填法.00°o°【考點】數(shù)陣圖與數(shù)論【難度】4星【題型

5、】填空【關鍵詞】走美杯，5年級，決賽,第12題，15分【解析】按順時針方向：1,2, 5,3, 8, 7,4, 6 或 1,5,2,4,8,6,7,3 或 1,6,2,3,8,5,7,4 或1,6,4,2, 8,7, 5, 3 （答對任一種給6分，總得分不超過12）由于無論如何填8都是最后一個填寫，而填之前，已 經(jīng)走過了 28步，因為28刊=3余4,即8永遠只能在最底下的圓圈里。順推：試算，從 1到8順序 填寫發(fā)現(xiàn)可以，此時從1順時針為1、2、5、3、8、7、4、6;逆推：8前面的一個填有2、3、5、6、7共5種可能。假設為2,如上圖，再往前一個數(shù)有3、4、5、7共4種可能，設為3,再前推一個

6、數(shù)可能是4或6,設為4,依次類并排除錯誤的選擇，可得 1、5、2、 4、 8、6、7、3?！敬鸢浮?、5、2、4、8、6、7、3。【例4】 在圓的5條直徑的兩端分別寫著 110（如圖）?，F(xiàn)在請你調(diào)整一部分數(shù)的位置，但保留1、10、5、6不動，使任何兩個相鄰的數(shù)之和都等于直徑另一端的相鄰兩數(shù)之和（畫在另一個圓上）?！究键c】數(shù)陣圖與數(shù)論【難度】5星【題型】填空【關鍵詞】走美杯，五年級，初賽，第 4題【解析】共6種【例5】 圖中是一個邊長為1的正六邊形，它被分成六個小三角形.將4、6、8、10、12、14、16各一個填入7個圓圈之中. 填在菱形的中心F依次分別能被相鄰的兩個小正三角形可以組成6個菱形

7、,A、B、C、D、E、F位置上（例如： a b2、3、4、5、6、7 整除，那么 a g d 把每個菱形的四個頂點上的數(shù)相加，g f A）.已知 A、B、C、D、E、【考點】數(shù)陣圖與數(shù)論【關鍵詞】迎春杯，六年級,【難度】5星【題型】填空初賽，第 12題【解析】 先考慮菱形頂點的和為 3、6的倍數(shù)，7個數(shù)被3除的余數(shù)分別為1、0、2、1、中間數(shù)g 8或14,同樣分析5的倍數(shù)，評注：采用余數(shù)分析法，找到關鍵數(shù)的填法。7的倍數(shù)，得到具體的填法（如圖），0、2、1,可以得到a g d 4 8 10 320【答案】320【例6】 在如圖所示的圓圈中各填入一個自然數(shù)，使每條線段兩端的兩個數(shù)的差都不能被樣的

8、填法存在嗎？如存在，請給出一種填法；如不存在，請說明理由。3整除。請問這【難度】4星【關鍵詞】希望杯，六年級，二試，第【題型】填空18題，10分【解析】圖中共有4個不同的數(shù)，每個數(shù)除以 3的余數(shù)只可能有 0、1、2三種，根據(jù)抽屜原理可知，這3的倍數(shù)，故不存在這樣的填法。數(shù)中必然至少存在一對同余的數(shù)，那么這兩個數(shù)的差必然為 【答案】不存在這樣的填法【例7】 如圖 ABC被分成四個小三角形，請在每個小三角形里各填入一個數(shù)，滿足下面兩個要求：（1）任何兩個有公共邊的三角形里的數(shù)都互為倒數(shù)（如：2和9是互為倒數(shù)）；（2）四個小三角形里的數(shù)字的32乘積等于225。則中問小三角形里的數(shù)是A【考點】數(shù)陣圖與

9、數(shù)論【難度】3星 【題型】填空【關鍵詞】希望杯，六年級，初賽，第3題，6分【解析】四個小三角形共三對相鄰三角形，這三對的積都是1,所以將這三對數(shù)乘起來，得到的積還是 1,但其中中間的數(shù)被乘了 3次，如果只乘1次那么積為225,所以中間的數(shù)是 工 15154 18 6,只能是61 2 III 1112 3。剩下通過整數(shù)分拆即可得到如圖81956210743116111472985310|7110452118639【例8】（2010年第8屆走美杯3年級初賽第8題）2010年是虎年，請把111這11個數(shù)不重復的填入虎額上的 生”字中，使三行，一列的和都等于18【考點】復合型數(shù)陣圖【難度】5星【關鍵詞

10、】走美杯，3年級，初賽【解析】三個答案均可三個交叉點數(shù)的和是：的三種實質(zhì)不同的答案【答案】9個圓圈內(nèi)，使得每條線段兩端上的兩個數(shù)字之和各不相同（即可【題型】填空【例9】 將19這9個數(shù)字填入下圖的 得到12個不同的和）。【考點】數(shù)陣圖與數(shù)論【難度】5星 【關鍵詞】走美杯，3年級，決賽，第4題，8分【解析】答案不唯一。例如:【答案】【例10】在棋盤中，如果兩個方格有公共點，就稱為相鄰的。右圖中 A有3個相鄰的方格，而 B有8個相鄰的方格。圖中每一個奇數(shù)表示與它相鄰的方格中，偶數(shù)的個數(shù)（如3表示相鄰的方格中有 3個偶數(shù)），每個偶數(shù)表示與它相鄰的方格中，奇數(shù)的個數(shù)（如 4表示相鄰的方格中有 4個奇數(shù)

11、）。請【考點】數(shù)陣圖與數(shù)論【難度】5星【題型】填空【關鍵詞】走美杯，4年級，決賽，第12題，12分【解析】如右圖23323443344323322342433333342432【答案】答案不唯一23323443344323322342433333342432【例11】在右圖所示的5 5方格表的空白處填入適當?shù)淖匀粩?shù)，使得每行、每列、每條對角線上的數(shù)的和 都是30。要求：填入的數(shù)只有兩種不同的大小，且一種是另一種的2倍?！究键c】復合型數(shù)陣圖【關鍵詞】走美杯，【難度】5星【題型】填空3年級，決賽，第12題，12分【解析】 提示：設填入的較小的數(shù)為 a,則較大的數(shù)為2a。第一行要填的兩數(shù)之和為 16

12、,最后一列要填的兩數(shù)之和為8,由此知第一行填入了兩個較大的數(shù)，第一列填入了兩個較小的數(shù)。較大的數(shù)為16+2=8,較小的數(shù)為8 + 2 4。得到下圖。868175164145134其余數(shù)容易填入。8681751888188644444414544134【答案】8681758881886444444145441344個數(shù)的【例12】 請在右圖所示4X4的正方形的每個格子中填入 l或2或3,使得每個2X2的正方形中所填 和各不相同?！究键c】數(shù)陣圖與數(shù)論【難度】4星 【題型】填空【關鍵詞】走美杯，4年級，決賽，第10題，12分【解析】11111122233312331112112123322333【答

13、案】答案不唯一11111122233312331112112123322333【例13】請在8X8表格的每個格子中填人 1或2或3,使得每行、每列所填數(shù)的和各不相同【考點】數(shù)陣圖與數(shù)論【難度】4星【題型】填空【關鍵詞】走美杯，決賽， 5年級，決賽，第12題，10分【解析】答案不唯一11111111111111131111113311111333111233331123333312333333233333331111111111111113111111331111133311123333112333331233333323333333【例14】在8X8表格的每格中各填入一個數(shù)，使得任何一個 個8

14、X8表格中64個數(shù)的平均數(shù)都/5X5正方形中25個數(shù)的平均數(shù)都大于 3,而整【考點】【難度】星【題型】填空【關鍵詞】走美杯，5年級，決賽，第12題，15分【解析】如圖所示，根據(jù)題意，在任何一個任何一個5X5正方形中的總和應該大于 75,而整個的數(shù)之和要小于128,其中粗線格部分的在所有的5溝的正方形里都存在，我們要讓它盡可能的大，同時讓外邊的盡可能的小，則外面的60個方格最小和為 60,中間四個方格，應該小于68。在每一個5X5的正方形內(nèi)除去這 4個，所有之和為21,則中間四個數(shù)之和應該大于54,即只要中間四個數(shù)的和在54到68之間即可。如14+14+14+14.其他方格里均填寫 1.【答案】

15、答案不唯一可以在粗線格里添【例15】 將最小的10個合數(shù)填到圖中所示表格的 10個空格中，要求滿足以下條件:(1)填入的數(shù)能被它所在列的第一個數(shù)整除5個數(shù)的和最小是(2)最后一行中每個數(shù)都比它上面那一格中的數(shù)大。那么，最后一行中【考點】數(shù)陣圖與數(shù)論【難度】4星【題型】填空23456【解析】最小的10個合數(shù)分別是4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18.這10個合數(shù)當中10和15 一定 是在5的下面，其中15在最后一行；4、8、14、16 一定是在2和4下面，其中14 一定在2的下面； 剩下的6、9、12、18在3或6下面，其中9 一定在3的下面，對2和4所在的列和3

16、和6所在的歹U 分別討論.4、8、14、16,這四個數(shù)中最大的數(shù) 16一定在最后一行，最小的數(shù) 4 一定在第二行， 所以2和4所在的列中最后一行的數(shù)的和最小是16 8 24,當14、16在2下面，4和8在4下面時成立；6、9、12、18,這四個數(shù)中最大的數(shù) 18一定在最后一行，最小的數(shù) 6 一定在第二行，所以 3和6所在的列中最后一行的數(shù)的和最小是18 9 27,當12和18在6下面，6和9在3下面時成立.所以最后一行的 5個數(shù)的和最小是24 15 27 66?！敬鸢浮?4 15 27 66【例16】 老師給前來參加 迎春晚會”的31位同學發(fā)放編號: 積是他們編號和的倍數(shù)，則稱這兩位同學是 人，才能保證在選出的人中一定可以找到兩位同學是1, 2,31.如果有兩位同學的編號的乘好朋友”.從這好朋友” .31位同學中至少需要選出【難度】6星【題型】填空【關鍵詞】迎春杯，高年級，決賽，15題【解析】如果a,b a b兩個編號的同學是好朋友”，那么ab ka kb,則k2 k b k2時滿足條件的3,63時滿足條件的4,124時滿足條件的5,206,12 ；5時滿足條件的6,306時滿足條件的8,24、5,20、5,20 ；8時滿足條件的12,24 ；10時滿足條件的12時滿足條件的a,b 有 15,30