集合問題中常見易錯點歸類分析答案

1、集合問題中常見易錯點歸類分析有關集合問題，涉及范圍廣，內容多，難度大，題目靈活多變初學時，由于未能真正理解集合的意義， 性質，表示法或考慮問題不全，而造成錯解 本文就常見易錯點歸納如下：1代表元素意義不清致誤例 1設集合 A（ x , y） x 2 y 5，B （ x , y） x 2 y 3，求 A B 錯解：由x2y5得x1從而 AB 1 ，2 x2 y3y2分析 上述解法混淆了點集與數(shù)集的區(qū)別，集合A 、B 中元素為點集，所以 AB(1，2)例 2設集合 A y y x 2 ，x R ，Bxx2，求1y錯解：顯然 y x 所以 A B=B 分析錯因在于對集合中的代表元素不理解，集合 A

2、中的代表元素是y，從而 A 1 ，但集合 B 中的元素為 x , 所以 B x x 0 ，故 A B=A變式：已知集合A y | yx 21 ，集合 B y | xy 2 ，求 AB解： A y | yx21 y | y1 ， B y | x y2 RAB y | y1例 3設集合 A x2x60 , B x | x 2x 60 ，判斷 A 與 B 的關系。錯解：A B2，3分析：某些指定的對象集在一起就成為一個集合，其中每一個對象叫元素。 元素的屬性可以是方程，可以是數(shù)，也可以是點，還可以是集合等等。集合A 中的元素屬性是方程，集合 B 中的元素屬性是數(shù)，故A 與 B 不具包含關系。例 4

3、設 B 1,2 ，A x|x?B，則 A 與 B 的關系是 ()AA? BBB? ACABDBA錯解： B分析： 選 D. B 的子集為 1 ， 2 ， 1,2 ， ?，A x|x ?B 1， 2 ， 1,2 ， ? ，從集合與集合的角度來看待A與B，集合 A的元素屬性是集合，集合B 的元素屬性是數(shù)，兩者不具包含關系，故應從元素與集合的角度來看待 B 與， B A.評注 ：集合中的代表元素， 反映了集合中的元素所具有的本質屬性，解題時應認真領會，以防出錯2 忽視集合中元素的互異性致錯例 5已知集合 A= ， 3， a ， B= ， a 2 a ,且 AB ，求 a 的值錯解 ：經過分析知，若a

4、 2 a13, 則 a2a 20, 即 a1 或 a 2 若a 2a 1a, 則 a22a 10, 即 a1從而 a ，1分析 當 a 時， A 中有兩個相同的元素 1，與元素的互異性矛盾，應舍去，故 a ，例 6設x 2 （），R，求中所有元素之和錯解 ：由 x2 （）得（）（）（）當時，1 x2 ，此時中的元素之和為（）當時， 1 x2 分析上述解法錯在（）上，當時，方程有二重根，集合，故元素之和為，犯錯誤的原因是忽視了集合中元素的“互異性”因此，在列舉法表示集合時，要特別注意元素的“互異性”評注： 集合中的元素具有確定性、無序性、互異性，集合元素的三性中互異性對解題的影響最大， 特別是帶

5、有字母參數(shù)的集合，實際上就隱含著對字母參數(shù)的一些要求。在解題時也可以先確定字母參數(shù)的范圍后，再具體解決問題。忽視空集的特殊性致誤例 7若集合 A x|x2 x 6 0 ， B x|mx 1 0 ，且 BA，求實數(shù)m 的值錯解： A x|x2 x 60 3,2 BA，（）B3mx 10 的解為 3，由 m·( 3) 1 0，得 m 1； 3（） B2mx 10 的解為 2，由 m·2 1 0，得 m 1； 2綜上所述，11m或 m32分析：空集是任何集合的子集，此題忽略了正解： A x|x2 x 60 3,2 B 的情況。BA，（） B，此時方程 mx 10 無解， m 0（

6、）B 3mx 10 的解為 3，由 m·( 3) 1 0，得 m 13；（） B2mx 10 的解為 2，由 m·2 1 0，得 m 12；綜上所述， m11或 m或 m 032例 8已知Ax|x240， B x | x22A ，求x2(a 1) x a 1 0 ，若 B的取值范圍。解：Ax|x24x04,02（）B，4( a1) 24( a21)8( a1) 0 ，即 a1（）B4 ，方程 x22(a1)xa 210 有兩等根由0得a18(a1)a21a，所以無解1601或 7（）B 0 ，方程 x22(a1)xa210 有兩等根由0得a1121a，所以 aa01（）B4

7、,0 ，方程 x22( a1)x a 210 有兩不等根，0a1由402(a1) 得 a1，所以 a140a 21a1綜上所述， a1 或 a1例 9已知集合 A x | x1或x4， B x | 2axa3，若BA ，求的取值范圍。解：（） B， 2aa3 得 a3（）B，則 a3a3或a 3得 a4或2a3a32a14綜上所述a4 或 a2例已知集合 A x | x1或x4， B x | 1ax1 a ，若 A B，求的取值范圍。解：（ 1） B，則 a0，符合題意a0（2） B，則 1 a10a21a4綜上所述， a2變式：已知集合A x | x1或x4，B x |1 ax1a ，若 A

8、B，求的取值范圍。解：當 AB時， a2所以當 AB時， a2評注 ：對于任何集合， 皆有，的特殊性不容忽視 尤其是在解含有參數(shù)的集合問題時，更要充分注意當參數(shù)在某個范圍內取值時所給的集合可能是空集這種情況。空集是一個特殊的集合，由于思維定式的原因，考生往往會在解題中遺忘了這個集合，導致解題錯誤或是解題不全面。忽視端點值能否取得致誤例 11 已知集合 A ，或 ， a a ，若，求 a 得取值范圍錯解 ：由得 a ，或a ，解得a ，或 a 分析：上述解法忽視了等號能否成立，事實上，當a 時，不符合題意；當a 3時，符合題意，故正確結果應為a，或 a 評注 ：在求集合中字母取值范圍時，要特別注

9、意該字母在取值范圍的邊界能否取等號，否則會導致解題結果錯誤忽視隱含條件致誤例 12 設全集 ，a 2 a ， a ， ，CU A ，求實數(shù) a 的值錯解 ： CU A ， 且 ，從而， a2 a，解得 a ，或 a 當 a 分析 導致錯誤的原因是沒有考慮到隱含條件，因為是全集，所以時， a ，符合題意；當a 時， a ，不符合題意；故 a 評注 ：在解有關含參數(shù)的集合時，需要進行驗證結果是否滿足題設條件，包括隱含條件6、忽視補集的含義致錯例 13 已知全集 IR ，集合 M x | x2x0 ，集合 N x | 11 ，則下列關x系正確的是（）A.B.C.D.錯解： N x | 11 的補集為

10、 CI N x | 11 ，故選 C。xx剖析：本題錯誤地認為 A x | f (x)0的補集為 C I A x | f ( x)0 。事實上對于全集 IR ，由補集的定義有 ACI AR ，但 x | f ( x)0 x | f ( x) 0 x | 使f ( x)有意義， xR ，即為 f ( x) 的定義域。所以只有當 f (x) 的定義域為 R時才有 A x | f (x)0 的補集為CI A x | f ( x)0 ，否則先求 A，再求 CIA 。正解： N x |11 x | x10 x | x0或 x1 ，所以 CI N x | 0 x 1 ，xx而 M x | 0x1 ，應選

11、A47、考慮問題不周導致錯誤例 14 已知集合Ax|ax2440,x, 只有一個元素，求a 的值和這個元xR aR素。解：（ 1） a0，由4x40得 x1，此時 A1 符合題意a0得 a1，此時 A 2 符合題意（2）1616a0綜上所述， a0 或 a1一、對代表元素理解不清致錯。例 1. 已知集合 A y | yx 22x , xR, B y | yx 26x16, xR，求A B。22xx26x16, 得 x2，所以 y8, AB8 。錯解 1：令 x錯解 2：令 x 22xx 26x16，得 x2，所以 y8, AB2,8 。剖析：用描述法表示的集合 x | xp 中， x 表示元素

12、的形式， x p 表示元素所具有的性質，集合 ( x, y) | y f (x ), xR 表示函數(shù) f ( x ) 的圖象上全體點組成的集合，而本題 y | y f (x ), xR 表示函數(shù) f ( x) 的值域，因此求AB 實際上是求兩個函數(shù)值域的交集。正解：由 A y | yx 22x ,xR y | y( x1) 21 y | y1,B y | y x 26x16, xR y | y( x3) 27 y | y7, 得AB y | y7 。二、遺漏空集致錯。例 2. 已知集合 A x |2x5，B x | m1x2m1，若AB ，求實數(shù) m 的取值范圍。錯解：解不等式2m12m15,

13、得2m3 。剖析：空集是特殊集合，它有很多特殊性質，如A,AA , 空集是任何一個集合的子集， 是任何一個非空集合的真子集。本題錯解是因考虛不周遺漏了空集，故研究 A B 時，首先要考慮 B的情況。正解：若 B時，則 m1 2m1,即 m2 。2m1,若 B時, 則m12m1,即 m2 。由2m15 得 3 m 3 。所以 2 m 3 。5由知m 的取值范圍是(,3 。三、忽視元素的互異性致錯。例 3.已知集合 x, xy ,lg( xy ) 0,| x |,y, 求 x y 的值。錯解：由 xy0 ，根據(jù)集合的相等，只有l(wèi)g( xy )0, xy1 。所以可得 | x | 1或 | y |

14、1。x1或 x1,y1y1所以 xy2或 xy2 。剖析：當 xy1 時，題中的兩個集合均有兩個相等的元素1，這與集合中元素的互異性相悖。其實，當xy1時 ,集合 x ,1,0 0,| x |, y ，這時容易求解了。正解：舍去 xy1 ，故 xy2。四、混淆相關概念致錯。例 4.已知全集 U=R ，集合 A x | x 24ax4a 30, xR, B x | x 2(a 1) xa20,xR, C x | x 22ax2a0,xR ，若 A 、B 、C 中至少有一個不是空集，求實數(shù)a的取值范圍。A ，當( 4a) 24(4a3) 0,得 a3 或a1時， A 不是空錯解：對于集合22集。1

15、a1同理當3時， B 不是空集；當 a2或a0時， C 不是空集。 求得不等式解集的交集是空集，知a 的取值范圍為。剖析：題中“ A、 B、 C 中至少有一個不是空集”的意義是“A 不是空集或 B 不是空集a (3 1,)或 C 不是空集”，故應求不等式解集的并集，得, 2。五、忽視補集的含義致錯。R ，集合 M x | x 2x 0 ，集合 N x |11 ，則下列關系正確的例 5.已知全集 Ix是（）6A. MCI NB.MC I NC. M CIND.CIM N R錯解：N x | 11的補集為CI N x | 11，故選 C。xx剖析：本題錯誤地認為A x | f (x )0 的補集為 C IA x | f ( x)0 。事實上對于全集 IR ，由補集的定義有A CIAR ，但 x | f (x )0 x | f ( x ) 0 x |使 f (x ) 有意義，xR ，即為 f ( x) 的定義域。所以只有當f ( x) 的定義域為 R 時才有 A x | f (x )0 的補集為 CIA x | f ( x )0 ，否則先求 A，再求 CI A 。11 x |x1N x |x0 x | x 0或 x 1 x | 0 x1 ，而正解：x，所以 CI NM x | 0x1 ，應選 A。感悟與提高1.A x | xk1 ,kZ, B y | yk1 ,kZ設集合424，則