山東省自學考試線性代數(shù)的(經(jīng)管類)

1、實用標準線性代數(shù)（經(jīng)管類）綜合試題一（課程代碼 4184 ）一、單項選擇題（本大題共10 小題，每小題2 分，共 20 分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1. 設 D=M0，則 D1=(B) A. 2MB.2MC.6MD.6M2. 設 A、B、C為同階方陣，若由 AB= AC 必能推出 B = C，則 A應滿足( D )A.AO B.A= O C.|A|=0 D.|A| 03. 設 A，B 均為 n 階方陣，則(A ) A.| A+AB|=0 ，則 | A|=0 或| E+B|=0B.( A+B) 2=A2+2AB+B

2、2C.當 AB=O時，有 A=O或 B=O D.(AB) -1 =B-1 A-14. 二階矩陣 A，| A|=1 ，則 A-1=(B ) A.B.C.D.，則下列說法正確的是 ( B )A. 若兩向量組等價，則s = t.文檔實用標準B. 若兩向量組等價，則r ()= r ()C.若 s = t ，則兩向量組等價 .D.若 r ()= r () ，則兩向量組等價 .6. 向量組線性相關的充分必要條件是(C)A.中至少有一個零向量B.中至少有兩個向量對應分量成比例C.中至少有一個向量可由其余向量線性表示D.可由線性表示7. 設向量組有兩個極大無關組與，則下列成立的是 ( C )A.r 與 s 未

3、必相等B.r + s = mC. r= sD.r + s > m8. 對方程組 Ax = b 與其導出組 Ax = o，下列命題正確的是 ( D ) A. Ax = o 有解時， Ax = b 必有解 .B. Ax = o 有無窮多解時， Ax = b 有無窮多解 .C. Ax = b 無解時， Ax = o 也無解 .D. Ax = b 有惟一解時， Ax = o 只有零解 .9. 設方程組有非零解，則k = ( D )A.2B.3C.-1D.110. n 階對稱矩陣 A 正定的充分必要條件是 ( D )文檔實用標準A. | A|>0B.存在 n 階方陣 C使 A=CTCC.負慣

4、性指標為零D.各階順序主子式均為正數(shù)二、填空題（本大題共10 小題，每小題 2 分，共 20 分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11. 四階行列式 D 中第 3 列元素依次為 -1 ，2，0，1，它們的余子式的值依次為5，3，-7 ，4，則 D =-1512. 若方陣 A滿足 A2 = A，且 AE，則 | A|=0.13. 若 A為 3 階方陣，且，則|2 A|=414. 設矩陣的秩為 2，則 t = -315. 設向量(6 ，8，0) ，=(4 ，3，5) ，則(,)= 016. 設 n 元齊次線性方程組 Ax = o，r ( A)= r < n，則基礎解系含有解

5、向量的個數(shù)為n- r個.17. 設(1 ，1，0) ，(0 ，1，1) ，=(0 ，0，1) 是 R3 的基，則=(1 ，2，3) 在此基下的坐標為 (1,1,2).18. 設 A 為三階方陣，其特征值為1，-1 ， 2，則 A2的特征值為1,1,4.19.二次型的矩陣 A=220.231011文檔實用標準20. 若矩陣 A與 B=相似，則 A的特征值為1,2,3.三、計算題（本大題共6 小題，每小題 9 分，共 54 分）21. 求行列式1x1111+x解：11 x111=x11y111111 y01x 000x001100110xy01y1xy0y000011001的值 .111x0011

6、 y10yy00 x2 y2 .0122. 解矩陣方程：.1112解：令A211，B= 3.1116111100111100因為 ( AE)211010031210111001002101文檔實用標準10001101133330 1 011 1,所以A1111 .2362360011011012222011332111 1由AX=B得：X A 1B33 .236621012223. 求向量組=(1,1,2,3)，=(1, 1, 1, 1 )，=(1, 3, 3, 5 )，=(4, 2, 5, 6 )的秩和一個極大線性無關組，并將其余向量用該極大無關組線性表示.111411141114a1ra2

7、ra3r a4r11320026002621350313011331560426002611141007011301000013001.300000000所以， r (a1a2a3a4 )3,極大無關組為 a1a2a3; a4 7a1 3a3 .文檔實用標準24. a 取何值時，方程組有解？并求其通解（要求用它的一個特解和導出組的基礎解系表示）.解：對方程組的增廣矩陣施以初等行變換：211111214212142A=121420537305373.174 11 a0537a 200 00a 5若方程組有解，則 r ( A)r ( A) ，故 a=5.10164555當 a=5 時，繼續(xù)施以初等

8、行變換得： A 01373，原方程55500000x141 x36 x4組的同解方程組為：555, x3, x4為自由未知量 ，令 x3x4 =0 ，337x2x3x4555文檔實用標準45得原方程組的一個特解：3500x1 x6 x535437, x3, x4為自由未知量，令xx3x45516.與導出組同解的方程組為：x3 分別取 1 ，0 ，得到導出組的基x40155礎解系：3， 7，所以，方程組的全部解為：551001416555v33c27c15, 其中, c1, , c2為任意常數(shù) .5501000125. 已知, 求 A 的特征值及特征向量， 并判斷 A能否對角化，若能，求可逆矩陣

9、P，使 P 1AP =（對角形矩陣）解：矩陣 A 的特征多項式為：200E A121(2)2(1) ,101所以， A的特征值為： 122, 31.對于 122 ，求齊次線性方程組(2 E A) x o的基礎解系 ，文檔實用標準000101012EA101000, 得基礎解系 :1, 0, 從10100001而矩陣 A 的對應于特征值 1 22 的全部特征向量為 :01C1C20,C ,C不全為零 .11201對于3 =1，求齊次線性方程組 ( EA) o 的基礎解系 ,1011000EA111011 , 得基礎解系 : 1 , 從而矩陣10000010A 的對應于特征值31的全部特征向量為:

10、 c 1 (c0).1010因為三階矩陣 A 有三個線性無關的特征向量 1，0，1，011010200所以， A相似于對角矩陣，且 P= 101，A= 020 .01100126. 用配方法將下列二次型化為標準形：解： f x x x3x22x2x34x x24x x34x2x31212311=x124x1 (x2x3 ) 4( x2x3 )24 x2 x322x32x324x2 x32x22x12x2 2x324x2 x35x322x22=22 x222x2 x3 x323x3222 x2 x32x1 2x2 2x3= x1 2x2 2x33x32.文檔實用標準y1 x12x22 x3x1y

11、12 y2令y2x2x3 ,即 x2y2y3 ,y3x3x3y3得二次型的標準形為：y122 y223y32.四、證明題（本大題共6 分）27. 設向量，證明向量組是 R3 空間中的一個基 .110110證：因為 110 = 020 =2 0，所以 a1，a2，a3線性無關，111001所以向量組 a1, a2 ,a3是 R3空間中的一個基 .文檔實用標準線性代數(shù)（經(jīng)管類）綜合試題二（課程代碼 4184 ）一、單項選擇題（本大題共 10 小題，每小題 2 分，共 20 分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的， 請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1.若 三階行

12、 列式=0,則 k=(C ).A1B0C-1D-22.設 A、B 為 n 階方陣 , 則成立的充要條件是 ( D ).AA可逆BB可逆C| A|=| B| DAB=BA3.設 A是 n 階可逆矩陣 , A* 是 A的伴隨矩陣 , 則(A ).ABCD4.矩 陣的秩為 2， 則 =(B).A2B1C0D5.設 3×4 矩陣 A 的秩 r ( A)=1，是齊次線性方程組 Ax=o 的三個線性無關的解向量，則方程組的基礎解系為(D).AB文檔實用標準CD6.向 量線性相關, 則(C ).Ak =-4Bk = 4 C k =-3 D k = 37.設 u ,u 是非齊次線性方程組 Ax=b

13、的兩個解 ,若是其12導出組 Ax=o 的解 ,則有(B ).Ac+c=1 B c = cC c + c = 0 D c = 2 c212121218.設 A 為 n( n 2) 階 方 陣 ， 且 A2 =E ， 則 必 有(B ).AA 的行列式等于1 BA 的秩等于 nCA 的逆矩陣等于 E DA 的特征值均為 19.設三階矩陣A 的特征值為2, 1, 1 ， 則 A-1 的特征值為(D ).A1, 2B2, 1, 1C , 1D ,1,110.二次型是(A ).A正定的B半正定的C負定的D不定的二、填空題（本大題共 10 小題，每小題 2 分，共 20 分）請在每小題的空格中填上正確答

14、案。錯填、不填均無分。文檔實用標準11.=_5_12. 設 A 為三階方陣 , 且| A|=4 ，則 |2 A|=_32_13.設A=, B =,則ATB110=_ 110_041014.設 A =, 則 A-1=_21_5215.向量表示為向量組的線性組合式為_123 _16. 如 果 方 程 組有 非 零 解 ,則k=_-1_17. 設向量與正交，則 a =_2_18. 已知實對稱矩陣 A=, 寫出矩陣 A 對應的二次型_ ( x1 , x2 , x3 ) x122x223x32x1 x2 3x1x3 文檔實用標準19.已知矩陣A 與對角矩陣=相似，則A2=_E_20. 設實二次型的矩陣

15、A 是滿秩矩陣，且二次型的正慣性指數(shù)為 3，則其規(guī)范形為 _ y12y22y32y42 _三、計算題（本大題共6 小題，每小題 9 分，共 54 分）21. 計算行列式的值 .x3 y原式 = x 3 y x 3 yx3 y=( x3y)( xy y y1y y y1yyyx y y1x y y0x y00yx( x3 y)yxy( x 3y)0x y0y10yyx1yyx000x yy)322. 設矩陣 A=，B=，求矩陣 A-1 B .110431431A1211 A531,A11A 5312226406414311129所以， A1B5310231064121413文檔實用標準23. 設

16、矩陣，求 k 的值，使 A 的秩 r ( A) 分別等于 1，2，3.123k123k解：對矩陣 A 施行初等變換： A12k302k23k3k2302k233k2123k123k02k 23k 30k 1k 1.006 3k 3k 200(k2)( k1)123當 k1時， A0 00, 矩陣 A 的秩 r ( A) 1;000126當 k2時，A033 ,矩陣 A的秩 r ( A) 2;000123k當 k1且 k2時,A011, 矩陣 A的秩 r ( A) 3.00124. 求向量組的秩和一個極大線性無關組，并將其余向量用該極大線性無關組線性表示.文檔實用標準解：將所給列向量構成矩陣A，

17、然后實施初等行變換：11121112( a a a a )123401224123137100268141320031218111211121000122012201020024001200，21001200000000所以，向量組的秩，向量組的一個極大無關組為：a1, a2 , a3 , 且有 a42a12a22a3 .25. 求線性方程組的基礎解系，并用基礎解系表示其通解 .解：對方程組的系數(shù)矩陣（或增廣矩陣）作初等行變換：1223122312231045A23120134013401343357013500000000與原方程組同解的方程組為 : x14x35x4 , 其中 x3 , x

18、4為自由未知量 .x23x34x445令 x3分別取 1,0得基礎解系 : v13, v24.x401100145方程組的通解為：c1v1 c2 v3c13c24.(c1c2為任意常數(shù) )1001文檔實用標準26. 已知矩陣，求正交矩陣 P 和對角矩陣 ，使 P-1 AP=.111解：矩陣 A 的特征多項式為：EA1112 (3),111得矩陣 A 的所有特征值為：120, 33.對于 120求方程組 (0 EA)xo 的基礎解系 .11111111因為： 111000，得基礎解系為 a11, a20,11100001將此線性無關的特征向量正交化，得：11112261111 =1，再標準化，得

19、：1=，2=2 =.26021026對于3 =3解方程組 (3EA) xo .2111011因為121011 ，方程組的基礎解系為a3 1 ,112000113將其單位化，得：13 =.313文檔實用標準111263000111,A 000,令P (1, 2,3)6320032106 3則 P 是正交矩陣，且 P 1AP 1四、證明題（本大題共6 分）27. 設向量組線性無關，證明：向量組也線性無關 .證：令k1a1k2 (a1a2 )k3 (a1a2a3 ).ks (a1a2.a3 )o,整理得：( k1k2.ks) a1(k2k3.ks) a2.( ks 1ks )as 1ksaso因為a

20、1 , a2 ,., as 線性無關，所以k1k2.ks1ks0k10k2 k3.ks0k20. ,解得 :.,ks1ks0ks 10ks0ks0故 a1 , a1a2 ,a1a2a3 ,., a1a2. as線性無關 .文檔實用標準線性代數(shù)（經(jīng)管類）綜合試題三（課程代碼 4184 ）一、單項選擇題（本大題共10 小題，每小題2 分，共 20 分）在每小題列出的四個備選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填寫在題后的括號內。錯選、多選或未選均無分。1. 當( D )成立時，階行列式的值為零 .A. 行列式主對角線上的元素全為零B. 行列式中有個元素等于零C.行列式至少有一個階子式為零D.行

21、列式所有階子式全為零2. 已知均為 n 階矩陣， E 為單位矩陣，且滿足ABC=E，則下列結論必然成立的是( B).A. ACB=EB. BCA=EC. CBA=ED. BAC=E3. 設 A，B 均為 n 階可逆矩陣，則下列等式成立的是( D).A. ( AB) -1 =A-1 B-1B.( A+B) -1 =A-1 +B-1C. ( AB) T=ATBTD.4. 下列矩陣不是初等矩陣的是 ( B).A.B.C.D.文檔實用標準5.設是4維向量組，則( D).A. 線性無關B. 至少有兩個向量成比例C.只有一個向量能由其余向量線性表示D.至少有兩個向量可由其余向量線性表示6. 設 A為 m&

22、#215;n 矩陣，且 m<n，則齊次線性方程組Ax = o 必(C ).A.無解B.只有唯一零解C.有非零解D.不能確定7. 已知 4 元線性方程組 Ax=b 的系數(shù)矩陣 A的秩為 3，又是 Ax=b 的兩個解 , 則 Ax=b 的通解是( D).A.B.C.D.8. 如果矩陣 A與 B滿足( D ) ，則矩陣 A與 B相似.A. 有相同的行列式B. 有相同的特征多項式C.有相同的秩D.有相同的特征值 , 且這些特征值各不相同9. 設 A是 n 階實對稱矩陣，則 A是正定矩陣的充要條件是(D ).A. | A|>0B.A 的每一個元素都大于零文檔實用標準C.D.A 的正慣性指數(shù)為

23、 n10. 設 A，B 為同階方陣，且 r ( A) = r ( B) ，則(C ).A. A與B相似B.A與B合同C. A 與 B 等價D.|A|=| B|二、填空題（本大題共10 小題，每小題 2 分，共 20 分）請在每小題的空格中填上正確答案。錯填、不填均無分。11. 行列式24.12. 設 A 為三階矩陣， | A|=-2 ，將矩陣 A 按列分塊為，其中是 A的第 j列，, 則| B|=6 .13.已知矩陣方程 AX=B，其中 A=，B=，則 X=1112.14.已知向量組的秩為2，則 k = -2.15.向量的長度=15.16.向量在基下的坐標為 (3,-4,3).文檔實用標準17

24、. 設是 4 元齊次線性方程組 Ax=o 的基礎解系，則矩陣 A的秩 r ( A)=1.18. 設是三階矩陣 A的特征值，則 a = 1 .19.若是正定二次型，則滿足5.20.設三階矩陣A 的特征值為1,2,3 ，矩陣B=A2+2A, 則 | B|=360 .三、計算題（本大題共6 小題，每小題 9 分，共 54 分）21.設三階矩陣 A=，E 為三階單位矩陣 .求： (1) 矩陣 A-2 E 及| A-2 E| ；(2).300200100解：（1）A 2E 110020110123002121A2E1（2）因為100100100100100100110010010110010110121

25、001021101001121100( A2E) 111012122. 已知向量組文檔實用標準求： (1) 向量組的秩；(2) 向量組的一個極大線性無關組，并將其余向量用該極大線性無關組線性表示 .解： (1)將所給向量按列構成矩陣A，然后實施初等行變換：121012101202240400240012 .243200120000所以，向量組的秩r ( a1 , a2 , a3, a4 ,)2（2）向量組的一個極大無關組為：a1, a3 ，且有 a22a1 ,a42a12a3 .23. 討論 a 為何值時，線性方程組有解？當方程組有解時，求出方程組的通解.解：對方程組的增廣矩陣實施初等行變換：

26、122221222212222011110111101111A13a0111a 2000 0a 11 111151033330000010040011110000a100000若方程組有解，則r ( A)r ( A)2 ，從而 a1文檔實用標準當 a1 時，原方程組的通解方程組為：x14x4, x3 x4為自由未知量 .x2 1x3 x4令 x3 x4 0,得原方程組的一個特解： (0,1,0 ,0)T .導出組的同解方程組為：x14x4x2, x3 , x4為自由未知量 .x3 x4令 x3 分別取 1 0 得導出組的基礎解系： (0,1,1,0)T ,( 4,1,0,1)T .x401所以

27、，方程組的通解為：TTT（0，1，0，0）+c1 (0,1,1,0)c2 ( 4,1,0,1) , 其中， c1，c2為任意常數(shù) .24. 已知向量組，討論該向量組的線性相關性 .121121解：因為 1a1= 0a 22(a 2)( a 6)24a08a2當 a 2或 a 6時，向量組相性相關；當 a 2且 a 6時，向量組線性無關 .25. 已知矩陣 A=，(1) 求矩陣 A 的特征值與特征向量；文檔實用標準(2) 判斷 A 可否與對角矩陣相似， 若可以，求一可逆矩陣 P及相應的對角形矩陣 .解：矩陣 A 的特征多項式為：110E A430( 2)( 1)2 ,102所以， A的特征值為：

28、1 = 2 =1， 3 =2對于1 = 2 =1， 求齊次線性方程組(EA) xo的基礎解系，2101011E A420012,得基礎解系：2,10100011從而矩陣 A 的對應于特征值 1 21c=2 ,( c 0)的全部特征向量為：1對于3 =2 ，求齊次線性方程組(2 EA)xo的基礎解系，31010002EA410010,得基礎解系 : 0(c 0).1000001因為三階矩陣 A 只有兩個線性無關的特征向量，所以，A不能相似于對角矩陣 .26. 設二次型(1) 將二次型化為標準形；(2) 求二次型的秩和正慣性指數(shù) .文檔實用標準解： (1) 利用配方法，將二次型化為標準形：f ( xxx)x122 x1 x2x122x1( x2x3 )(x1x2x3 )2x22(x1x2x3 )2(x22(x1x2x3 )2(x22x1x32x224x2 x3 3x32(x2x3 )2( x2 x3 )22x224 x2 x3 3x322x2 x3 4x32222x2 x3x3 )5x3y1 x1x2x3x1y1y2令y2x2x3,即 x2y2y3 ,y3x3x3y3得二次型的標準形為： y2y 25 y2 .123（ 2）由上述標準形知：二次型的秩為 3，正慣性指數(shù)為 2.四、證明題（本大題共6 分）27. 已知 A是 n 階方陣，且，證