03導(dǎo)數(shù)的幾何意義

1、§ 1.1.3導(dǎo)數(shù)的幾何意義教學(xué)目標(biāo)：1了解平均變化率與割線斜率之間的矢系；2 .理解曲線的切線的概念；3通過函數(shù)的圖像直觀地理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義 > 并會用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題：教學(xué)重點：曲線的切線的概 念、切線的斜率、導(dǎo)數(shù)的幾何意義： 教學(xué)難點：導(dǎo)數(shù)的幾何意義.教學(xué)過程： 一創(chuàng)設(shè)情景(一) 平均變化率、割線的斜率(-)瞬時速度、導(dǎo)數(shù)y=f(x)在 x=xo 附我們知道，導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)y=f(x)在x=x。處的瞬時變化率，反映了函數(shù) 近的變化情況，導(dǎo)數(shù)f (滄)的幾何意義是什么呢？ 二新課講授(一)曲線的切線及切線的斜率：如圖3.1-2，當(dāng)Pn(Xn, f(Xn)( n 1,2,3

2、,4)沿著曲線f(X)趨近于點 P(Xo,f(Xo )時，割線PPn的變化趨勢是什么？y=sKxiT圖 3.1-2我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)點Pn沿著曲線無限接近點P即厶XT 0時，割線PPn趨近于確定的位置，這個確定位置的直 線PT稱為曲線在點P處的切線問題：割線PPn的斜率kn與切線PT的斜率k有什么矢系？切線PT的斜率k為多少？容易知道，割線PPn的斜率是kn難議必當(dāng)點Pn沿著曲線無限接近點P時，略無XnXo限趨近于切線PT的斜率k，即k limx)_f (xo)x°X說明：d)設(shè)切線的傾斜角為a那么當(dāng) XTO時，割線PQ的斜率，稱為曲線在點P處的切線的斜率 這個概念：提供了求曲線上某點切線

3、的斜率的一種方法； 切線斜率的本質(zhì)一函數(shù)在X X。處的導(dǎo)數(shù)(2)曲線在某點處的切線：1)與該點的位置有矢；2)要根據(jù)割線是否有極限位置來判斷與求解如有極 限，則在此點有切線，且切線是唯一的；如不存在，則在此點處無切線；3)曲線的切線，并不一定與曲線只有 一個交點，可以有多個，甚至可以無窮多個(二) 導(dǎo)數(shù)的幾何意義： 函數(shù)y=f(x)在x=x。處的導(dǎo)數(shù)等于在該點(X。，f (X。)處的切線的斜率，即f(X。)佃竺§空kx°說明：求曲線在某點處的切線方程的基本步驟 求出P點的坐標(biāo)； 求出函數(shù)在點X0處的變化率f(冷)limx°対，得到曲線在點X(X。，f(X。)的切線

4、的斜率： 利用點斜式求切線方程(二) 導(dǎo)函數(shù)：由函數(shù)f(x)在x=Xo處求導(dǎo)數(shù)的過程可以看到，當(dāng)時,f(X。)是一個確定的數(shù)，那么，當(dāng)X變化時便是X 的一個函數(shù)，我們叫它為f(x)的導(dǎo)函數(shù)記作：f(X)或y ,X0 f (Xx)f 0 即:f(x)ylim注：在不致發(fā)生混淆時，導(dǎo)函數(shù)也簡稱導(dǎo)數(shù).(三) 函數(shù)f(x)在點X。處的導(dǎo)數(shù)f(X。)、導(dǎo)函數(shù)f(X)、導(dǎo)數(shù)之間的區(qū)別與聯(lián)系。1) 函數(shù)在一點處的導(dǎo)數(shù)f (Xo)，就是在該點的函數(shù)的改變s與自變量的改變量之比的極函數(shù)的導(dǎo)數(shù)/是指某一區(qū)間內(nèi)任意點 X而言的，就是函數(shù)限，它是一個常數(shù) > 不是變數(shù)。2)f(x)的導(dǎo)函數(shù)3)函數(shù)f (X)在點

5、Xo處的導(dǎo)數(shù)KX。)就是導(dǎo)函數(shù)f(X)在X Xo處的函數(shù)值，這也是求函數(shù)在點Xo處的導(dǎo)數(shù)的 方法之一。三典例分析例1：(1)求曲線y=f(x)=x2+i在點P(1,2)處的切線方程(2)求函數(shù)7=3x2在點(1,3)處的導(dǎo)數(shù)X)J(15)X2,因此，所求的切線方程為3x2 3 123(x 22y 1limAlX1 y 16,因此，所求的切線方程為X在X 1附近的平均變化率，X尸(1 X)2C2xlim X 0X2所以，所求切線的斜率為(2)因為 y |xi lim所以 >所求切線的斜率為(2)求函數(shù) f(x)=X2解：一人一y 2 2(xIim3( X 1)6y3 6(x碉歆并求出在該點

6、處的導(dǎo)數(shù)f (1) limyX) 2iim (3 X)3Xa 2VxOxXVxO"例2.(課本例2)如圖3.1-3，它表示跳水運動中高度隨時間變化的函數(shù) h(x) 4.9x2 6 5x 10 ,根據(jù)圖像，請描述、比較曲線h(t)在to、ti、t2附近的變化情況.解：我們用曲線h(t)在to、ti、t2處的切線，刻畫曲線h(t)在上述三個時刻 附近的變化情況.(1)(3)當(dāng)t to時，曲線h(t)在t。處的切線L平行于X軸，所以，在11。 附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降.當(dāng)t h時，曲線h(t)在ti處的切線h的斜率h山)0，所以，在t b附近曲線下降 > 即2函數(shù) h(x) 4

7、.9x6.5x 10 在 t ti 附近單調(diào)遞減.當(dāng)t t2時，曲線h(t)在t2處的切線l2的斜率h(t2)0,所以，在t t2附近曲線下降，即函數(shù)4.9x2 g 5x 10在tt2附近單調(diào)遞減.從圖3.1-3可以看出，直線h的傾斜程度小于直線b的傾斜程度，這說明 曲線在h附近比在協(xié)附近下降的緩慢.例3.(課本例3)如圖3.1-4，它表示人體血管中藥物濃度C f (t)(單位：mg/mL)隨時間t (單位：min)變化的圖象根據(jù)圖像，估計t 0.2,0.4,0.6,0.8時，血管中藥物濃度的瞬時變化率(精確到像上看，它表示曲線f(t)在此點處的切線的斜率.利用網(wǎng)格估計這條切線的斜率，如圖3.1-4,畫出曲線上某點處的切線， 物濃度瞬時變化率的近似值.作t 0.8處的切線，并在切線上去兩點，如048 0.911.0 0.7可以得到此時刻藥(0.7,0.91) , (1.0,0.48)，則它的斜率為:1.41.4t0.20.40.60.8藥物濃度瞬時變化率(t)0.40-0.7-1.