分解質(zhì)因數(shù)的例題講析

1、分解質(zhì)因數(shù)的例題講析分解質(zhì)因數(shù)的例題講析分解質(zhì)因數(shù)的方法在求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)時(shí)有用，在學(xué)習(xí)有理數(shù)的運(yùn)算、因式分解、解方程等方面也有廣 泛的應(yīng)用。分解質(zhì)因數(shù)的方法還可為一些數(shù)學(xué)問題提供新穎A 、 B、 C、的解法，有益于開辟解題思路，啟迪創(chuàng)造性思維。*例 1 ABCX D=1673 ，在這個(gè)乘法算式中，D 代表不同的數(shù)字， ABC 是一個(gè)三位數(shù)。求 ABC 代表什么 數(shù)？（適于六年級(jí)程度）解：因?yàn)锳BC X D=1673 , ABC是一個(gè)三位數(shù)，所以可把 1673 分解質(zhì)因數(shù)，然后把質(zhì)因數(shù)組合成一個(gè)三位數(shù)與另個(gè)數(shù)相乘的形式，這個(gè)三位數(shù)就是 ABC 所代表的數(shù)。1673=239X 7答： A

2、BC 代表 239。例 2 一塊正方形田地，面積是 2304平方米，這塊田地的周長(zhǎng)是多少米？（適于六年級(jí)程度）解：先把 2304 分解質(zhì)因數(shù)，并把分解后所得的質(zhì)因數(shù)分成積相同的兩組質(zhì)因數(shù)，每組質(zhì)因數(shù)的積就是正方形的邊 長(zhǎng)。2304=2X 2X 2X 2X 2X 2X 2X 2X 3X 3因?yàn)椋?05=3 X 5X 7,=48 x 48正方形的邊 長(zhǎng)是 48 米。這塊田地的周 長(zhǎng)是：48x 4=192(米)答略。*例 3 有 3250 個(gè)桔子，平均分給一個(gè)幼兒園的小朋友，剩下 10個(gè)。已知每一名小朋友分得的桔子數(shù)接近 40個(gè)。求這個(gè)幼兒園有多少名小朋友？（適于六年級(jí)程度）解：3250-10=32

3、40(個(gè)) 把 3240 分解質(zhì)因數(shù)：3240=23x 34x 5接近 40 的數(shù)有 36、37、 38、39這些數(shù)中36=22 x 32,所以只有 36是3240的約數(shù)。23 x 34 x 5-( 22x 32) =2x 32x 5 =90答：這個(gè)幼兒園有 90 名小朋友。*例4 105的約數(shù)共有幾個(gè)？（適于六年級(jí)程度）解：求一個(gè)給定的自然數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)，可先將這個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，然后按一個(gè)質(zhì)數(shù)、兩個(gè)質(zhì)數(shù)、三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘 積逐一由小到大寫出，再求出它的個(gè)數(shù)即可。所以，含有一個(gè)質(zhì)數(shù)的約數(shù)有 1 、 3、5、 7 共 4 個(gè)； 含有兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積的約數(shù)有 3X 5、 3X 7、 5X 7 共 3個(gè)；

4、含有三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積的約數(shù)有3X 5X 7 共 1 個(gè)。所以， 105 的約數(shù)共有 4+3+1=8 個(gè)。答略。*例 5 把 15、22、30、35、39、44、52、77、91 這九個(gè)數(shù)平均分成三組，使每組三個(gè)數(shù)的乘積都相等。這三組數(shù)分 別是多少？（適于六年級(jí)程度）解：將這九個(gè)數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)：15=3X 5 22=2X 11 30=2X 3X 5 35=5X 7 39=3X 13 44=2X 2X 11 52=2X 2X 13 77=7X 11 91=7X 13觀察上面九個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)，不難看出，九個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)中共有六個(gè) 2，三個(gè) 3，三個(gè) 5，三個(gè) 7，三個(gè) 11，三個(gè) 13，這樣每組中三個(gè)數(shù)

5、應(yīng)包括的質(zhì)因數(shù)有兩個(gè)2，一個(gè) 3，一個(gè) 5，個(gè) 7，一個(gè) 11 和一個(gè) 13。由以上觀察分析可得這三組數(shù)分別是：15、52 和 77； 22、30 和 91； 35、39 和 44。答略。*例 6 有四個(gè)學(xué)生， 他們的年齡恰好一個(gè)比一個(gè)大一歲，他們的年齡數(shù)相乘的積是 5040。四個(gè)學(xué)生的年齡分別是幾歲？（適于六年級(jí)程度）解：把 5040 分解質(zhì)因數(shù)：5040=2 X 2X 2X 2X 3X 3X 5X 7由于四個(gè)學(xué)生的年齡一個(gè)比一個(gè)大 1 歲，所以他們的年齡數(shù)就是四個(gè)連續(xù)自然數(shù)。用八個(gè)質(zhì)因數(shù)表示四個(gè)連續(xù)自然 數(shù)是：7，2X 2X 2，3X 3，2X 5即四個(gè)學(xué)生的年齡分別是 7 歲、8 歲、9

6、 歲、 10 歲。答略。* 例 7 在等式 35X（ ）X 81X 27=7X 18X（ ）X 162的兩個(gè)括號(hào)中，填上適當(dāng)?shù)淖钚〉臄?shù)。適于六年級(jí)程度）解：將已知等式的兩邊分解質(zhì)因數(shù)，得：5X 37X 7X（ ）=22X 36X 7X（ ）把上面的等式化簡(jiǎn)，得：15 X（ ） =4 X（）所以，在左邊的括號(hào)內(nèi)填 4，在右邊的括號(hào)內(nèi)填15。15X（ 4） =4X（ 15）答略。* 例 8 把 84 名學(xué)生分成人數(shù)相等的小組（每組最少人），一共有幾種分法？（適于六年級(jí)程度）解：把 84 分解質(zhì)因數(shù)：84=2 X 2X3X7除了 1 和 84 外，84 的約數(shù)有：2，3，7，2X2=4，2X 3=6

7、，2X 7=14，3X 7=21 ，2X 2X 3=12，2X 2X 7=28，2X 3X 7=42。下面可根據(jù)不同的約數(shù)進(jìn)行分組。84* 2=42 （組），84* 3=28 （組）,84* 4=21 （組），84 - 6=14 （組），84* 7=12 （組）,84* 12=7 （組）,84* 14=6組）， 84*21=4（組）， 84* 28=3（組）， 84*42=2（組）。因此每組 2 人分 42 組；每組 3 人分 28 組；每組 4 人分21 組；每組 6 人分 14 組；每組 7 人分 12 組；每組 12 人分7 組；每組 14 人分 6 組；每組 21 人分 4 組；每組

8、28 人分 3 組；每組 42 人分 2 組。一共有 10 種分法答略。*例 9 把 14、30、33、75、143、169、4445、4953 這八個(gè)數(shù)分成兩組，每組四個(gè)數(shù)，要使各組數(shù)中四個(gè)數(shù)的乘積相等。求這兩組數(shù)。 （適于六年級(jí)程度）解：要使兩組數(shù)的乘積相等，這兩組乘積中的每個(gè)因數(shù)不必相同，但這些因數(shù)經(jīng)分解質(zhì)因數(shù)，它們所含有的質(zhì)因數(shù)定相同。因此，首先應(yīng)把八個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)。14=2 X 7 143=11 X 13 30=2X 3X 5 169=13X13 33=3X 11 4445=5X 7X 127 75=3X 5X 5 4953=3X 13X 127在上面的質(zhì)因式中，質(zhì)因數(shù)2、7、11、

9、127各有 2個(gè)，質(zhì)因數(shù) 3、5、13 各有 4個(gè)。在把題中的八個(gè)數(shù)分為兩組時(shí)，應(yīng)使每一組中的質(zhì)因數(shù)2、7、11、127各有 1 個(gè)，質(zhì)因數(shù) 3、5、13各有 2個(gè)。按這個(gè)要求每一組四個(gè)數(shù)的積應(yīng)是：2X 7X 11 X 127X 3X 3X 5X 5X 13X 13因?yàn)椋?2X 7)X( 3X 5X 5)X( 11 X 13)x( 3X 13X127) =14X 75X 143X 4953，根據(jù)接下來為 “14、75、143、4953”正符合題意，因此，要求的一組數(shù)是14、75、143、4953，另一組的四個(gè)數(shù)是：答略。30、33、169、4445。*例 10 一個(gè)長(zhǎng)方形的面積是315 平方厘

10、米，長(zhǎng)比寬多 6厘米。求這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。適于五年級(jí)程度）解：設(shè)長(zhǎng)方形的砦獂厘米，則長(zhǎng)為（x+6）厘米。根據(jù)題意列方程，得：x(x+6 )= 315 x (x+6) =3 X 3X 5X 7 =(3X 5)X( 3X 7) x( x+6 )=15X 21 x( x+6 )=15X( 15+6) x=15x+6=21答：這個(gè)長(zhǎng)方形的 長(zhǎng)是21 厘米，寬是 15 厘米。* 例 11 已知三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積為 210，求這三個(gè)自然數(shù)各是多少？（適于五年級(jí)程度）解：設(shè)這三個(gè)連續(xù)自然數(shù)分別是x-1， x，x+1 ，根據(jù)題意列方程，得：x-1 )X xX( x+1)=210 =21X 10 =3X 7X

11、 2X 5=5X 6X 7比較方程兩邊的因數(shù)，得： x=6，x-1=5，x+1=7 。答：這三個(gè)連續(xù)自然數(shù)分別是5、6、7。*例12 將37分為甲、乙、丙三個(gè)數(shù)，使甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的乘積為 1440，并且甲、乙兩數(shù)的積比丙數(shù)的3 倍多12，求甲、乙、丙各是幾？（適于六年級(jí)程度）解：把 1440 分解質(zhì)因數(shù)：1440= 12 X 12X 10 =2 X 2X 3X 2X 2X 3X 2X 5 = （ 2X 2X 2）X（ 3X 3）X（ 2X 2X 5） =8X 9X 20如果甲、乙二數(shù)分別是 8、9，丙數(shù)是 20，則： 8X 9=72， 20X3+12=72正符合題中條件。答：甲、乙、丙三個(gè)數(shù)分別是8、9、20。*例 13 一個(gè)星期天的早晨，母親對(duì)孩子們說： “你們是否發(fā)現(xiàn)在你們中間，大哥的年齡等于兩個(gè)弟弟年齡之和？” 兒子們齊聲回答說： “是的，我們的年齡和您年齡的乘積， 等于您兒子人數(shù)的立方乘以 1000加上您兒子人數(shù)的平方乘以 10 ?！睆倪@次談話中，你能否確定母親在多大時(shí)，才生下 第二個(gè)兒子？（適于六年級(jí)程度）解：由題意可知，母親有三個(gè)兒子。母親的年齡與三個(gè)兒子年齡的乘積等于：33