多面體外接球半徑內(nèi)切球半徑的常見幾種求法

1、多面體外接球、內(nèi)切球半徑常見的 5種求法如果一個多面體的各個頂點都在同一個球面上，那么稱這個多面體是球的內(nèi)接多面體， 這個球稱為多面體的外接球 .有關(guān)多面體外接球的問題，是立體幾何的一個重點，也是高考 考查的一個熱點.研究多面體的外接球問題，既要運用多面體的知識，又要運用球的知識， 并且還要特別注意多面體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系，而多面體外接球半徑的求法在解題中往往會起到至關(guān)重要的作用.公式法例1 一個六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點都在同9一個球面上，且該六棱柱的體積為-,底面周長為3,則這個球的體積為.8解設(shè)正六棱柱的底面邊長為X，咼為h，則有 986

2、x 3,43 2.x h,41x 2,h 43.正六棱柱的底面圓的半徑丄，球心到底面的距離2逅外接球的半徑2d21. V 球3小結(jié)本題是運用公式R22 2r d求球的半徑的,該公式是求球的半徑的常用公式例2積是A. 16多面體幾何性質(zhì)法已知各頂點都在同一個球面上的正四棱柱的高為B. 20C.24D.解 設(shè)正四棱柱的底面邊長為外接球的半徑為4，體積為32R，則有4x216,則這個球的表面16，解得x 2. 2R 屜 22422晶,R屆. 這個球的表面積是24 R 24 .選 C.小結(jié)本題是運用“正四棱柱的體對角線的長等于其外接球的直徑” 補形法這一性質(zhì)來求解的.例3若三棱錐的三個側(cè)棱兩兩垂直，且

3、側(cè)棱長均為J3，則其外接球的表面積是解據(jù)題意可知，該三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直,把這個三棱錐可以補成一個棱長為的正方體，于是正方體的外接球就是三棱錐的外接球設(shè)其外接球的半徑為 R，則有2R 2J3 29. R2故其外接球的表面積 S 4 R29 .C,則就a、b、小結(jié) 一般地，若一個三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可以將這個三棱錐補成一個長方體，于是長方體的體對角線的長就是該三棱錐的外接球的直且其長度分別為徑.設(shè)其外接球的半徑為 R，則有2R Ja2 b2 c2尋求軸截面圓半徑法例4正四棱錐S ABCD的底面邊長和各側(cè)棱長都為 罷，點S、A B、C、D 都在同一球面上，則此球的體積為.解 設(shè)正四棱錐的

4、底面中心為0i，外接球的球心為 0，如圖3所示.由球的截面的性質(zhì)，可得 001 平面ABCD .又S0i 平面ABCD，球心0必在SO所在的直線上.C ASC的外接圓就是外接球的一個軸截面圓，外接圓的半徑就 是外接球的半徑.在 ASC 中，由 SA SCAC 2，得 SA2 SC2AC2. ASC是以AC為斜邊的Rt .AC4- 1是外接圓的半徑，也是外接球的半徑.故V球 .23小結(jié)根據(jù)題意，我們可以選擇最佳角度找出含有正棱錐特征元素的外接球的一個軸截 面圓，于是該圓的半徑就是所求的外接球的半徑.本題提供的這種思路是探求正棱錐外接球半徑的通解通法，該方法的實質(zhì)就是通過尋找外接球的一個軸截面圓，

5、從而把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來研究.這種等價轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法值得我們學(xué)習(xí).確定球心位置法例5在矩形ABCD中，AB 4,BC 3，沿AC將矩形ABCD折成一個直二面角B AC D，則四面體ABCD的外接球的體積為125125125A. B. C. 1296D.125解 設(shè)矩形對角線的交點為 0，則由矩形對角線互相平分，可知0A 0B 0C 0D. 點0到四面體的四個頂點 A、B、C、D的距離相等，即點0為四面體的外接球的球心， 如圖2 所示.外接球的半543 125-.故V球一R .選C.236出現(xiàn)多個垂直關(guān)系時建立空間直角坐標系，利用向量知識求解徑R 0AC【例題】：已知在三棱錐

6、A BCD中，AD 面ABC， BAC 120，AB ADAC 2，求該棱錐的外接球半徑。解：由已知建立空間直角坐標系由平面知識得設(shè)球心坐標為0(x4限A0x2 y2 z2 (x 2)2 y2 z2C( 1,3,0)B0 C0DBx2公式知(z 2)2空間兩點間距解得 x 1 y1所以半徑為R(f)2 12【結(jié)論】：空間兩點間距離公式:PQ V(x1(y1 y2)2 (z1 Z2)2徑。四面體是正四面體外接球與內(nèi)切球的圓心為正四面體高上的一個點, 根據(jù)勾股定理知，假設(shè)正四面體的邊長為a時，它的外接球半徑為孕。內(nèi)切球的半徑正方體的內(nèi)切球:設(shè)正方體的棱長為a，求（1）內(nèi)切球半徑；（2）外接球半徑；

7、（3）與棱相切的球半（1 ）截面圖為正方形 EFGH的內(nèi)切圓，得R a2（2）與正方體各棱相切的球： 球與正方體的各棱相切,切點為各棱的中點,如圖4作截巧 棱 球 合 正 的面圖，圓0為正方形EFGH的外接圓，易得 R正方體的外接球：正方體的八個頂點都在球面上,V2如圖A105,以對角面AAi作截面造 角 解 柱 的 問 棱 外圖得，圓0為矩形AA1C1C的外接圓，易得CC1|正與組題柱接底面中心及底面一頂點構(gòu)球，其球心定在上下底面中心連線的中點處， 由球心、 成的直角三角形便可得球半徑。例題：已知底面邊長為 a正三棱柱 ABC A1B1C1的六個頂點在球 01上，又知球02與此正三棱柱的5個

8、面都相切，求球 Oj與球02的體積之比與表面積之比。分析：先畫出過球心的截面圖，再來探求半徑之間的關(guān)系。解：如圖6，由題意得兩球心 0i、O2是重合的，過正三棱柱的一條側(cè)棱12RiS1 ： S2R12 : R225:1，Vi : V2二棱錐的內(nèi)切、外接球問題4 .正四面體的外接球和內(nèi)切球的半徑是多少？ 分析：運用正四面體的二心合一性質(zhì)，作出截面圖,通過點、線、面關(guān)系解之。解：如圖1所示，設(shè)點0是內(nèi)切球的球心，正四面體棱長為對稱性知，點 0也是外接球的球心.設(shè)內(nèi)切球半徑為r，外接球半徑為 R .Vs2/口 CV6a r ,得R a ,34a .由圖形的在 Rt BEO 中，B02 BE2 E02，即 R2得R 3r【點評】由于正四面體本身的對稱性可知,內(nèi)切球和外接球的兩個球心是重合的，為正四面體