由做實(shí)驗(yàn)獲得事件發(fā)生概率地教學(xué)地地研究

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案由做試驗(yàn)獲得事件發(fā)生概率的教學(xué)研究李圣平（宜昌市體育運(yùn)動(dòng)學(xué)校）內(nèi)容摘要： 應(yīng)用“數(shù)形結(jié)合”的創(chuàng)新教學(xué)方法，構(gòu)造“波狀統(tǒng)計(jì)圖”（對(duì)按照波浪變化規(guī)律對(duì)數(shù)據(jù)分布排序處理得到的折線統(tǒng)計(jì)圖、散點(diǎn)統(tǒng)計(jì)圖的統(tǒng)稱），讓學(xué)生直觀地由事件發(fā)生的系列頻率觀察得出事件發(fā)生的概率，轉(zhuǎn)變學(xué)生由計(jì)算頻率平均數(shù)得出概率等錯(cuò)誤觀念。采用問(wèn)卷調(diào)查法、實(shí)驗(yàn)法、訪談法進(jìn)行研究，在教學(xué)中類比給出概率規(guī)律： 事件發(fā)生的概率是固定值，該事件發(fā)生的頻率圍繞概率上下波動(dòng)，取得了預(yù)期教學(xué)效果。關(guān)鍵詞： 試驗(yàn)；頻率；波狀統(tǒng)計(jì)圖；造波方法；概率；概率規(guī)律一、研究背景與研究假設(shè)通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)， 我校初中各年級(jí)學(xué)生，給出事件發(fā)生的一些頻率，均

2、不能正確得出正確答案，選擇在八年級(jí)作了由做實(shí)驗(yàn)得出事件發(fā)生概率的專題研究。數(shù)形結(jié)合的方法，既是讓學(xué)生容易得出事件發(fā)生的概率，又是轉(zhuǎn)變學(xué)生錯(cuò)誤觀念的方法，為同行提供由做實(shí)驗(yàn)得概率的有效教學(xué)方法。二、研究方法與研究過(guò)程采用問(wèn)卷調(diào)查問(wèn)卷，然后用實(shí)驗(yàn)法、訪談法進(jìn)行教學(xué)研究如下。（一）、做實(shí)驗(yàn)并統(tǒng)計(jì)學(xué)生搖硬幣實(shí)驗(yàn)（紙盒中放硬幣，搖后打開(kāi)紙盒 1 記錄結(jié)果），連續(xù)搖兩次為一組，學(xué)生可以重復(fù)多次參加實(shí)驗(yàn)，每次結(jié)果記錄，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表：表 1搖硬幣試驗(yàn)情況統(tǒng)計(jì)表班級(jí)試驗(yàn)“數(shù)字 1 向上”“菊花向上”“數(shù)字 1 兩次向上”組數(shù)次數(shù)頻率次數(shù)頻率次數(shù)頻率七年級(jí)全班990.590.520.2222男生980.4444

3、100.555630.3333八年級(jí)女生35350.5350.5100.2857全班44430.4886450.5114130.2955男生47560.5957380.4043130.2766九年級(jí)女生38390.5132370.486880.2105全班85950.5588750.4412210.2471初中三個(gè)年級(jí)1381470.53261290.4674360.2609（二）、由頻率得出概率的教學(xué)實(shí)踐教學(xué)目的： 組織引導(dǎo)學(xué)生從搖硬幣的試驗(yàn)結(jié)果中發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律： 觀察事件發(fā)生的一些頻率得出事件發(fā)生的概率。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案教師首先這樣將學(xué)生引入課題：我們的生活充滿著信息，很多情況需要我們

4、通過(guò)用數(shù)學(xué)的方法去發(fā)現(xiàn)信息中隱含著的道理，即規(guī)律， 其中一些規(guī)律需要通過(guò)反復(fù)觀察或做實(shí)驗(yàn)，對(duì)所得結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)處理后才能發(fā)現(xiàn)，昨天住讀生上晚自習(xí)期間參加了搖硬幣的實(shí)驗(yàn)，今天我們將昨天的實(shí)驗(yàn)統(tǒng)計(jì)結(jié)果告訴大家，請(qǐng)你們觀察、分析，然后說(shuō)出你的發(fā)現(xiàn)。1 、得出“數(shù)字1 向上”的概率出示問(wèn)題一：在搖硬幣的試驗(yàn)中， “數(shù)字 1 向上”的頻率統(tǒng)計(jì)如下，你能發(fā)現(xiàn)在一次搖硬幣試驗(yàn)中“數(shù)字 1 向上”的概率嗎？表 2“數(shù)字 1 向上”的頻率統(tǒng)計(jì)表七年級(jí)八年級(jí)九年級(jí)初中生全班男生女生全班男生女生全班全校0.50.44440.50.48860.59570.51320.55880.5326學(xué)生 1 （女生）：怎么觀察？學(xué)

5、生 2 （男生）：算平均值。學(xué)生出現(xiàn)認(rèn)知矛盾，主動(dòng)提問(wèn)， 同學(xué)互動(dòng)出現(xiàn)，但回答問(wèn)題錯(cuò)誤，這個(gè)錯(cuò)誤是筆者在調(diào)查中發(fā)現(xiàn)的普遍錯(cuò)誤，現(xiàn)在是告訴學(xué)生正確方法，糾正錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)的時(shí)機(jī)。教師類比引導(dǎo)： 商品的價(jià)值是一定的，但是商家有時(shí)候漲價(jià)賣、有時(shí)候虧錢打折削價(jià)賣，商品的價(jià)格在圍繞其價(jià)值上下波動(dòng)，這是價(jià)值規(guī)律。 事件發(fā)生的可能性即概率是一定的，在不同人做試驗(yàn)中， 事件發(fā)生的頻率同樣圍繞其概率上下波動(dòng)，這個(gè)規(guī)律我們不妨稱為概率規(guī)律。教師進(jìn)一步引導(dǎo)：要觀察出規(guī)律，這個(gè)規(guī)律不是用計(jì)算得到的。方法是通過(guò)觀察，即看出這些頻率圍繞哪一個(gè)“固定數(shù)”波動(dòng)，這個(gè)固定數(shù)就是我們要找的概率，請(qǐng)觀察頻率表，發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)“數(shù)字1 向上”的

6、概率。在學(xué)生交流合作不成功的情況下，師生互動(dòng)作用發(fā)揮。學(xué)生 3 （女生）：在 0.5 附近波動(dòng)，“數(shù)字 1 向上”的概率是0.5 。學(xué)生 4 （男生）：我們?cè)缍贾澜Y(jié)果是0.5 ，你還做半天。學(xué)生 3 ：我還不是知道結(jié)果是0.5 ，我要看由這些頻率是否真能看出概率0.5 。上面學(xué)生出現(xiàn)交流沖突，是正?，F(xiàn)象。但教師要適度干涉學(xué)生打擊同學(xué)積極性的情況。教師反饋評(píng)價(jià)：剛才這個(gè)同學(xué)注意到頻率在數(shù)0.5 及其附近波動(dòng)， 從而正確得出 “數(shù)字1 向上”的概率0.5 ，這個(gè)方法我們應(yīng)該掌握。教師引導(dǎo)：我們學(xué)習(xí)由事件發(fā)生的頻率觀察出事件發(fā)生概率的方法，一是要讓大家知道：通過(guò)多次做一定量的實(shí)驗(yàn)，由事件發(fā)生的頻率

7、可以觀察出事件的概率；二是對(duì)于不能通過(guò)計(jì)算得出事件的概率的情況，我們知道可以通過(guò)做實(shí)驗(yàn)找事件發(fā)生的概率。學(xué)生 5 （男生）：我沒(méi)看到“波” 。這個(gè)問(wèn)題由一個(gè)上課很調(diào)皮的學(xué)生提出，筆者認(rèn)為該同學(xué)是開(kāi)玩笑，但他說(shuō)出了我想要精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案講的造波處理的方法，只好對(duì)其大加贊揚(yáng)。我想一個(gè)金點(diǎn)子可能就在孩子的玩笑中產(chǎn)生。教師引導(dǎo)：波有波峰和波谷，中間有風(fēng)平浪靜處海平線，波峰和波谷在海平線上下波動(dòng)，海平線處的值就是我們要發(fā)現(xiàn)的事件發(fā)生的概率，海平線在波腰附近，要找海平線，可以重點(diǎn)關(guān)注波腰變化，看波腰向哪一個(gè)數(shù)靠近式的波動(dòng)。下面我們來(lái)體驗(yàn)。表 3“數(shù)字 1 向上”的頻率統(tǒng)計(jì)圖的造波表波谷1波腰1波峰1波

8、腰2波谷2波腰3波峰2波腰40.44440.51320.59570.50.48860.50.55880.4886造波方法 ：波谷 1 ，波谷 2 ， ，依次從最小頻率開(kāi)始按遞增順序排對(duì)應(yīng)值；波峰1 ，波峰 2 ， 依次從最大頻率開(kāi)始遞減順序排對(duì)應(yīng)值；波腰1 ，波腰2， ，依次從剩下的頻率中按從大到小按遞增順序排對(duì)應(yīng)值。造波依據(jù)生活規(guī)律： “一石激起千層浪” ，波浪往遠(yuǎn)處向逐步減弱方向發(fā)展，浪高呈現(xiàn)減弱變化規(guī)律。這里采用數(shù)（頻率）形 (波 )結(jié)合的數(shù)學(xué)方法，學(xué)生通過(guò)直覺(jué)思維解決問(wèn)題，容易解決問(wèn)題，也同時(shí)轉(zhuǎn)變了錯(cuò)誤觀念。教師向?qū)W生介紹解釋造波的生活依據(jù)或者生活類比想法，造波方法。教師引導(dǎo)對(duì)問(wèn)題解決

9、：海平線處的數(shù)對(duì)應(yīng)那個(gè)本來(lái)就固定存在的概率，只是因?qū)嶒?yàn)之“風(fēng)” 使海上起波， 我們做一些一定規(guī)模的實(shí)驗(yàn)， 就會(huì)由事件發(fā)生的頻率觀察得到事件發(fā)生的概率。請(qǐng)觀察由事件發(fā)生的頻率得到的波狀統(tǒng)計(jì)圖，看頻率究竟圍繞哪一個(gè)數(shù)上下波動(dòng)，從而獲得事件發(fā)生的概率。圖 1“數(shù)字 1 向上”的頻率波狀統(tǒng)計(jì)圖0.70.60.50.40.30.20.10波谷1波腰1波峰1波腰2波谷2波腰3波峰2波腰4看圖得概率，學(xué)生興趣都很高，一下子都一致指出答案：0.5 ，我想，原來(lái)這枯燥的課，總會(huì)找到調(diào)動(dòng)學(xué)生的興奮點(diǎn)，教師備課應(yīng)創(chuàng)設(shè)使學(xué)生產(chǎn)生激情興奮點(diǎn)的問(wèn)題情景。概率是海平線處的值。海平線本來(lái)就存在，與實(shí)驗(yàn)無(wú)關(guān)。下面我們?cè)倏纯礆v史

10、上的一些著名數(shù)學(xué)家做的實(shí)驗(yàn)結(jié)果：（出示表）精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案表 4歷史上的數(shù)學(xué)家拋硬幣實(shí)驗(yàn)的結(jié)果統(tǒng)計(jì)表實(shí)驗(yàn)者投擲次數(shù) n正面出現(xiàn)次數(shù) k正面出現(xiàn)的頻率 k/n布豐400020480.5069德.摩根409220480.5005費(fèi)勒1000049790.4979皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005羅曼諾夫斯基80640396990.4923我們很容易觀察出：這些頻率在0.5 附近波動(dòng)，即拋一次硬幣，“正面出現(xiàn)”的概率是0.5 。下面從波狀統(tǒng)計(jì)圖來(lái)觀察“正面出現(xiàn)”的概率。表 5“正面出現(xiàn)”的頻率統(tǒng)計(jì)圖的造波表波谷1波腰1波峰1波腰2波谷2波腰30.49230

11、.50160.50690.50050.49790.5005圖 2“正面出現(xiàn)”的頻率波狀統(tǒng)計(jì)圖0.60.50.40.30.20.10波谷1波腰1波峰1波腰2波谷2波腰3由歷史上的數(shù)學(xué)家拋硬幣的實(shí)驗(yàn)所得頻率波狀統(tǒng)計(jì)圖，“波”的特征是微波蕩漾，起伏不大，容易得到事件“正面出現(xiàn)”的概率為 0.5 ，這是什么原因造成的呢？這是因?yàn)檫@些數(shù)學(xué)家做了大規(guī)模試驗(yàn)產(chǎn)生的結(jié)果。2 、得出“兩次數(shù)字1 向上”的概率再出示問(wèn)題二： 剛才的學(xué)習(xí)， 我們已經(jīng)知道， 搖一次硬幣出現(xiàn)數(shù)字1 向上的概率是0.5 。要是搖兩次硬幣的話， “兩次出現(xiàn)數(shù)字1 向上”的概率是多少呢？學(xué)生 1 ：還是 0.5 。說(shuō)實(shí)話，教師不知道學(xué)生是怎

12、么得到答案0.5 的，發(fā)動(dòng)學(xué)生繼續(xù)探索和交流，“有的同學(xué)已經(jīng)得出答案為0.5 ，你們可以互相討論，看有沒(méi)有別的答案?！币粫?huì)兒后，有學(xué)生提出精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案不同意見(jiàn)。學(xué)生 3：是 13 。有幾種答案，讓學(xué)生交流想法，是必要的。這是教師引導(dǎo)下的學(xué)生互動(dòng)。教師點(diǎn)學(xué)生1說(shuō)得出答案的思路是： “硬幣有正和反兩個(gè)面，搖一次有正反兩種情況，搖兩次有兩個(gè)正反可能，共有四種可能，所以“兩次數(shù)字1 向上”概率為24 ，就是 0.5 。這是“ 簡(jiǎn)單累加” 錯(cuò)誤觀念得出答案的錯(cuò)誤做法。學(xué)生 3 立即反駁道： “不是這樣算的，搖兩次，可能出現(xiàn)兩次正面向上、兩次反面向上和出現(xiàn)一正一反三種情況，兩次數(shù)字 1 向上的概率

13、就是 1/3 ，這是學(xué)生在“ 機(jī)會(huì)均等” 錯(cuò)誤觀念下得出的錯(cuò)誤答案。教師不急于判決， 二是讓學(xué)生帶著期待得到判決的愿望進(jìn)入下一個(gè)環(huán)節(jié)， 否則說(shuō)他們都是錯(cuò)的會(huì)影響學(xué)生的情緒。教師：“兩種答案，究竟誰(shuí)對(duì)誰(shuí)錯(cuò)呢？下面我們讓事實(shí)說(shuō)話吧。我們做實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，也許會(huì)給出對(duì)你們的兩種答案的裁決。表 6“兩次數(shù)字 1 向上”的頻率統(tǒng)計(jì)表七年級(jí)八年級(jí)九年級(jí)初中生全班男生女生全班男生女生全班全校0.22220.33330.28570.29550.27660.21050.24710.2605表 7 “兩次數(shù)字 1 向上”的頻率統(tǒng)計(jì)圖的造波表波谷 1波腰 1波峰 1波腰 2波谷 2波腰 3波峰 2波腰 40.21050

14、.28570.33330.27660.22220.26050.29550.2471圖 3“兩次數(shù)字 1 向上”的頻率的波狀統(tǒng)計(jì)圖0.350.30.250.20.150.10.0500123456789教師引導(dǎo) 1 ：波浪呈逐漸減弱趨勢(shì)，最終要圍繞哪一個(gè)數(shù)波動(dòng)下去呢？教師引導(dǎo)2 ：大家看波腰要向哪一個(gè)數(shù)靠近，最終要在哪一個(gè)數(shù)附近波動(dòng)？在教師的適當(dāng)引導(dǎo)下，有的學(xué)生說(shuō)是0.25 ，有的說(shuō)是0.26.教師要是說(shuō)正確答案是0.25 ，從圖上看， 0.26 似乎更準(zhǔn)確，故沒(méi)有下結(jié)論，而是引導(dǎo)學(xué)生列表再分析，讓學(xué)生自己作出最終的裁決。精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案用正表示“數(shù)字1 向上” ,用 反表示“菊花向上”表

15、8搖硬幣兩次的所有可能結(jié)果分析表第一次搖的可能結(jié)果搖硬幣兩次的可能結(jié)果正反正正正正反第二次搖的可能結(jié)果反反正反反教師：“現(xiàn)在，你們知道了正確答案了嗎？”學(xué)生議論：“原來(lái)是1/4 ，只有 0.25 ”、“一正一反有兩種情況，我還沒(méi)想到”。到這里，學(xué)生知道了自己的答案是否正確。教師：“我們做實(shí)驗(yàn)，可以得到事件的概率，大家知道，所得的答案多數(shù)是準(zhǔn)確的，在觀察時(shí)，也可能得到有一點(diǎn)誤差的近似值，如準(zhǔn)確值是0.25 ，也可把 0.26 作為答案的近似值?！苯處熖嵝押吞岢鰧?shí)踐性拓展學(xué)習(xí)要求：我們要善于將所得的一些事件發(fā)生的頻率，按照造波方法列表并據(jù)此獲得波狀統(tǒng)計(jì)圖的辦法幫助我們尋找概率，這是一個(gè)很好的方法，

16、而且要通過(guò)練習(xí)形成自己的能力，請(qǐng)大家按照所說(shuō)方法，試一試通過(guò)做實(shí)驗(yàn)得出拋骰子兩次，兩次向上一面的點(diǎn)數(shù)之和為10 的事件的概率。四、課后訪談訪談?lì)}目：請(qǐng)你說(shuō)說(shuō)今天的學(xué)習(xí)收獲。學(xué)生甲：概率可以通過(guò)做實(shí)驗(yàn)得到，以后概率不好求，我就去做實(shí)驗(yàn)，用波狀統(tǒng)計(jì)圖觀察出來(lái)。學(xué)生乙：搖硬幣兩次，一正一反我沒(méi)考慮到有兩種情況，這個(gè)列表法蠻好。學(xué)生丙：要使波狀統(tǒng)計(jì)圖“風(fēng)平浪靜”，好找概率，每回都要多做幾次試驗(yàn)。學(xué)生丁：沒(méi)想到我做的實(shí)驗(yàn)，結(jié)果派上了求概率的用場(chǎng)，真有意思。學(xué)生戊：這個(gè)波狀統(tǒng)計(jì)圖好，但不好畫，你能不能教我在電腦上畫？一部分學(xué)生到我辦公室學(xué)習(xí)了在word文檔中插圖輸入數(shù)據(jù)得到波狀統(tǒng)計(jì)圖，覺(jué)得簡(jiǎn)單，露出了滿意的笑容，享受成功的喜悅。筆者也因?qū)W生的滿足而愉快。研究出波形統(tǒng)計(jì)圖法，發(fā)現(xiàn)得到事件的概率其實(shí)并不需要做大量的實(shí)驗(yàn)，多做幾批試驗(yàn)就行了。五、創(chuàng)新與發(fā)現(xiàn)1、用“數(shù)形結(jié)合”思想發(fā)明的構(gòu)造“波狀統(tǒng)計(jì)圖”得出概率的教學(xué)方法，學(xué)生易學(xué)會(huì)通過(guò)做實(shí)驗(yàn)得出某事件的實(shí)驗(yàn)概率，這種方法對(duì)于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、調(diào)動(dòng)學(xué)生探索知識(shí)的積極性、 轉(zhuǎn)變學(xué)生的錯(cuò)誤觀念（計(jì)算頻率的平均數(shù)得出事件發(fā)生的概率錯(cuò)誤觀念、簡(jiǎn)單累加錯(cuò)誤觀念、機(jī)會(huì)均等錯(cuò)誤觀念）有教學(xué)參考價(jià)值。2、由幾批實(shí)驗(yàn)結(jié)果中