超精密磁懸浮工作臺(tái)及其解耦控制-

1、第40卷第9期2004年9月機(jī)械工程學(xué)報(bào)CHINESE JOURNAL OF MECHANICAL ENGINEERINGSep. 2004超精密磁懸浮工作臺(tái)及其解耦控制*李黎川(西安交通大學(xué)電氣工程學(xué)院西安 710049丁玉成盧秉恒(西安交通大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院西安 710049摘要:給出了一個(gè)磁懸浮工作臺(tái)的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)、建模、控制器設(shè)計(jì)、實(shí)時(shí)控制試驗(yàn)和試驗(yàn)結(jié)果。與國(guó)際上已有的類似研究相比,給出的方案使磁懸浮部分獨(dú)立于直線電動(dòng)機(jī),以避免兩者間的耦合問(wèn)題。此外,在電磁鐵的結(jié)構(gòu)和傳感器的布置上,均給出了全新的設(shè)計(jì),其特點(diǎn)是即便不使用永久磁鐵,電磁鐵的靜態(tài)功耗也比較小,以及在驅(qū)動(dòng)和位置檢測(cè)上安排了冗余。后

2、者的有利之處是可獲得結(jié)構(gòu)上的對(duì)稱性和解耦后各控制通道在噪聲性能上的一致性,且能夠更大程度地降低位移信號(hào)中的噪聲,代價(jià)是需要增加一路位移傳感器和功率放大器,以及需要略多的實(shí)時(shí)計(jì)算以實(shí)現(xiàn)解耦和消除冗余。關(guān)鍵詞:精密運(yùn)動(dòng)控制精密工作臺(tái)磁懸浮解耦控制磁懸浮軸承0 前言為了實(shí)現(xiàn)精密運(yùn)動(dòng)控制,典型的方法是采用精密導(dǎo)軌,旋轉(zhuǎn)電動(dòng)機(jī),精密絲杠構(gòu)成運(yùn)動(dòng)控制的前向通道,然后由光柵構(gòu)成位置反饋通道并施行閉環(huán)控制,與之相關(guān)的一整套技術(shù)已十分成熟,所能獲得的典型精度已達(dá)到0.1 m的數(shù)量級(jí)。但若要采用這一結(jié)構(gòu)獲得更高的精度(比如10 nm,無(wú)論是技術(shù)上還是經(jīng)濟(jì)上都遇到了明顯的困難,這主要是由于系統(tǒng)中各個(gè)運(yùn)動(dòng)副之間存在庫(kù)

3、侖摩擦1,2。此外,在要求實(shí)現(xiàn)多自由度運(yùn)動(dòng)控制的場(chǎng)合,若采用導(dǎo)軌和軸承作為支承部件,系統(tǒng)的機(jī)械結(jié)構(gòu)會(huì)隨著自由度的增加而變得十分復(fù)雜,且使得剛度不容易提高,運(yùn)動(dòng)控制的精度更加難以保證。目前,國(guó)內(nèi)外在諸如超精密加工、微型機(jī)械的制造和裝配、集成電路工藝和掃描隧道顯微鏡等領(lǐng)域,對(duì)超精密運(yùn)動(dòng)控制的性能要求越來(lái)越高,其中對(duì)運(yùn)動(dòng)控制精度的要求已達(dá)到納米數(shù)量級(jí)。鑒于傳統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)控制結(jié)構(gòu)和方式已經(jīng)不能滿足上述場(chǎng)合的要求,采用新技術(shù)實(shí)現(xiàn)超精密運(yùn)動(dòng)控制的研究已成為目前國(guó)內(nèi)外的一個(gè)研究熱點(diǎn),其中的一個(gè)主要技術(shù)手段是采用磁懸浮代替?zhèn)鹘y(tǒng)的機(jī)械導(dǎo)軌3,4。采用磁懸浮技術(shù)(以及直線電動(dòng)機(jī)直接驅(qū)動(dòng)實(shí)現(xiàn)超精密運(yùn)動(dòng)控制,可以完全消除

4、庫(kù)侖摩擦,因而國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(59975073。20031026收到初稿,20040425收到修改稿可以獲得很高的精度。此外,采用磁懸浮的一個(gè)很突出的好處是系統(tǒng)的機(jī)械結(jié)構(gòu)反而變得簡(jiǎn)單了,有精度要求的部件也大大減少。目前采用磁懸浮技術(shù)實(shí)現(xiàn)精密定位的最好結(jié)果已達(dá)到3 nm 5。參考文獻(xiàn)3,4分別給出了兩種磁懸浮工作臺(tái)的設(shè)計(jì)與實(shí)現(xiàn),前者采用固定在工作臺(tái)底部的Halbach永久磁鐵陣列來(lái)產(chǎn)生羅侖茲力以懸浮和驅(qū)動(dòng)工作臺(tái),其特點(diǎn)是結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單巧妙,直線電動(dòng)機(jī)與磁懸浮部分共用永久磁鐵和線圈,但由于采用Halbach陣列,工作臺(tái)移動(dòng)時(shí)磁懸浮部分也需要換向,因而當(dāng)工作臺(tái)高速移動(dòng)時(shí)會(huì)有波動(dòng),影響跟隨精度,此

5、外這種結(jié)構(gòu)的靜態(tài)功耗較大;后者采用了三個(gè)與磁懸浮軸承類似的結(jié)構(gòu)(其中包含永久磁鐵,將工作臺(tái)定位于水平面內(nèi)(基于三點(diǎn)決定一個(gè)平面的原理,其直線電動(dòng)機(jī)使用磁懸浮部件中已建立的磁場(chǎng),結(jié)構(gòu)也比較巧妙,其主要特點(diǎn)是磁懸浮的功耗小,但直線電動(dòng)機(jī)與磁懸浮部分有電氣上的耦合是其不理想之處。1 磁懸浮結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)工作臺(tái)的磁懸浮大致有兩種方案,一種是采用羅侖茲力3,另一種是采用電磁力4。前者的特點(diǎn)是可以通過(guò)改變電流的方向而使羅侖茲力反向,且線性好,但功耗大。后者只能產(chǎn)生吸引力,具有明顯的非線性,但功耗小。考慮到功耗是一個(gè)重要因數(shù)(因?yàn)闇厣龑?duì)精密系統(tǒng)是很不利的,采用了電磁力2004年9月李黎川等:超精密磁懸浮工作臺(tái)及其

6、解耦控制85的方案。由于電磁力只能是吸引的,因此在工作臺(tái)的上方必須有電磁鐵以平衡重力,這在一定的程度上會(huì)影響工作臺(tái)臺(tái)面上工件的安放,不過(guò)這一問(wèn)題可以通過(guò)將電磁鐵在重力方向上的尺寸設(shè)計(jì)得盡量小而得到緩解。順便指出,若采用永久磁鐵,則可將其固定在工作臺(tái)的底部,并由安排在工作臺(tái)下方的載流繞組產(chǎn)生羅侖茲力,以平衡工作臺(tái)的重力。通過(guò)多種方案的比較,最后選擇了如圖1所示的結(jié)構(gòu),圖2為對(duì)應(yīng)物理系統(tǒng)的照片。兩個(gè)電磁鐵的結(jié)構(gòu)和尺寸完全相同,如圖3所示。為了盡量避免工作臺(tái)上方電磁鐵對(duì)工件安放的影響,只采用了兩個(gè)電磁鐵,但由于每個(gè)電磁鐵有三個(gè)磁極和兩個(gè)獨(dú)立的繞組,因而仍可以對(duì)工作臺(tái)的其中3自由度進(jìn)行控制(z軸方向上

7、的平動(dòng)和繞x和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。工作臺(tái)的另外3自由度將由圖中所示的平面電動(dòng)機(jī)控制,不涉及這一部分,只討論磁懸浮部分。 圖1 磁懸浮工作臺(tái)的結(jié)構(gòu)1、3. 電磁鐵 2. 工件安放表面 4. 狹縫用于平面電動(dòng)機(jī) 5. 工作臺(tái) 圖2 磁懸浮工作臺(tái)1、3. 電磁鐵 2. 工件安放表面 4. 傳感器 圖3 電磁鐵的結(jié)構(gòu)由于采用了固定電磁鐵的方案,在工作臺(tái)移動(dòng)時(shí),其質(zhì)心位置相對(duì)于電磁鐵在不斷變化,造成系統(tǒng)動(dòng)特性的變化。但這一問(wèn)題并不突出(見試驗(yàn)結(jié)果,因工作臺(tái)在x和y軸上的設(shè)計(jì)行程只有±10 mm,大致是工作臺(tái)尺寸的十分之一。2 被控對(duì)象模型及解耦建立磁懸浮工作臺(tái)的模型的基本原理及方法與磁懸浮軸承的類似,

8、都是基于磁路定理,忽略漏磁、邊沿效應(yīng)以及鐵磁材料的磁阻,首先獲得對(duì)象的非線性模型,然后在平衡位置處對(duì)非線性模型進(jìn)行線性近似,得到一個(gè)線性模型,以此作為分析被控對(duì)象和設(shè)計(jì)控制器的基礎(chǔ)6。為了簡(jiǎn)化推導(dǎo)過(guò)程,首先定義平衡位置下的所有物理量,然后直接寫出線性模型,同時(shí)給出文字上的解釋以說(shuō)明線性模型的正確性。在系統(tǒng)中,所謂平衡位置,是由這樣一些特征規(guī)定的(參見圖4:工作臺(tái)在xy平面內(nèi)處于中央位置,所有磁極極面與工作臺(tái)的距離(氣隙均為g,四個(gè)線圈的電流均為I0,(同時(shí)端電壓均為U0,磁通均為0,因此電磁鐵中央磁極無(wú)磁通,磁極1、磁極2、磁極3和磁極4對(duì)工作臺(tái)的電磁力之和與工作臺(tái)的重量平衡。表1給出了對(duì)象的

9、一些物理參數(shù),以及平衡位置下的一些物理量及其數(shù)值。表2給出了相對(duì)于平衡位置下的物理量的變化量,由于平衡位置下關(guān)于轉(zhuǎn)動(dòng)的量均為零,因此表2中與轉(zhuǎn)動(dòng)有關(guān)的量就是絕對(duì)量,只有與z方向有關(guān)的量以及磁通、電流和電壓為相對(duì)變化量。 圖4 電磁鐵的布置機(jī) 械 工 程 學(xué) 報(bào) 第40卷第9期86表1系統(tǒng)參數(shù)的符號(hào)及數(shù)值 表2有關(guān)變量的符號(hào)及定義 由于兩個(gè)電磁鐵相同,先給出一個(gè)電磁鐵的模型,然后在此基礎(chǔ)上給出整個(gè)磁懸浮系統(tǒng)的模型,這樣可以使敘述有層次和更簡(jiǎn)潔。對(duì)電磁鐵1,可以列出111u Ri N =+& (1 222u Ri N =+& (2 (2(5.0(21211110+=z z g z

10、g ANi (3 (2(5.0(21212220=z z g z g ANi (4注意式(3、(4即磁路定理以及0.5(2g - z 1 - z 2為中央磁極處的氣隙。將式(3、(4中的i 1和i 2分別代入式(1、(2并略去高次項(xiàng),得到磁通的變化率的線性近似為 1211011424u NK Rg K Rg z K R +=& (5 2212021244u N K Rg K Rg z K R +=& (6 式中K = 0AN 2/4為一個(gè)慣用的常數(shù)。由于在平衡位置下中央磁極處磁通為零,因此在線性近似后這里的電磁力也為零,這樣,只需要考慮磁極1和磁極2處的力。根據(jù)在平衡位置下磁通

11、均為0,可直接寫出磁極1和磁極2處的電磁力分別為1001(F A = (72002(F A = (8 由于磁通與電磁力為代數(shù)關(guān)系,可將式(7、(8中的1和2代入式(5、(6,消去磁通,得到關(guān)于力的微分方程(到這里將電磁鐵2的方程同時(shí)寫出為20011121224RI I Rg Rg F z F F u K K g g=+& (920022122242RI I Rg Rg F z F F u K K g g =+& (1020033343224RI I Rg Rg F z F F u K K g g =+& (1120044344242RI I Rg Rg F z F F

12、u K K g g=+& (12至此已得到了從四個(gè)電壓到四個(gè)力的動(dòng)態(tài)關(guān)系,下面將根據(jù)工作臺(tái)的質(zhì)量及轉(zhuǎn)動(dòng)慣量列寫出運(yùn)動(dòng)方程,最后得到從電壓到位移的傳遞關(guān)系。這里需要提及的是,所采用的是電壓控制(被控對(duì)象的輸入是電壓,與通常所采用的電流控制(被控對(duì)象的輸入是電流相比較,電壓控制雖然使被控對(duì)象的階數(shù)略高一些,但沒(méi)有電流控制所隱含的純微分環(huán)節(jié)(該微分環(huán)節(jié)盡管實(shí)際上只是一個(gè)有限帶寬微分,但帶寬通常必須高達(dá)數(shù)千赫茲,這就使得系統(tǒng)對(duì)噪聲比較敏感。根據(jù)圖1和圖4所示的結(jié)構(gòu),可以寫出磁懸浮所涉及的3自由度的運(yùn)動(dòng)方程為1234Mz F F F F =+&& (133412(J F F F

13、F b =+&& (14 1324(J F F F F a =+&& (15 對(duì)式(9(12以及式(13(15中的每個(gè)方程的兩端取拉氏變換,然后消去f 1,f 2,f 3,f 4,并采用下面的坐標(biāo)變換(注意該變換只在和很小時(shí)成立4(4321z z z z z += (16b z z z z 4(2143+= (17a z z z z 4(4231+= (18以及下面的輸入變換u u u u z +=1 (19 u u u u z =2 (20 u u u u z +=3 (21u u u u z +=4 (22 最后經(jīng)代入和化簡(jiǎn)可得到三個(gè)解耦的傳遞函數(shù)如下 M

14、g RI s K Rg s gM I s u s z z 22023044(4(+= (23 J g b RI s K Rg s gJ b I s u s 222023044(4(+= (24 J g a RI s K Rg s gJ a I s u s 2220230443(4(+= (25 注意式(23(25都是(開環(huán)不穩(wěn)定的。由這三個(gè)傳遞函數(shù),便可以獨(dú)立地設(shè)計(jì)三個(gè)單輸入單輸出的控制2004年9月李黎川等:超精密磁懸浮工作臺(tái)及其解耦控制87器,對(duì)相應(yīng)的 3 自由度進(jìn)行鎮(zhèn)定和控制。3 控制器設(shè)計(jì)對(duì)于式(23(25所示的三個(gè)被控對(duì)象,由于其結(jié)構(gòu)相同,所采用的控制器結(jié)構(gòu)也相同。下面只給出z軸的設(shè)

15、計(jì),其余兩個(gè)方向的情況僅僅是參數(shù)值不同。控制回路的形式如圖5所示,其中包含一個(gè)積分器、一個(gè)鎮(zhèn)定控制器和一個(gè)抗飽和環(huán)節(jié)(關(guān)于所采用的抗飽技術(shù)的細(xì)節(jié)見參考文獻(xiàn)1,r z為參考輸入,正常情況下為零。三個(gè)控制軸上的參考輸入的組合,便可以控制工作臺(tái)的部分姿態(tài)(其余部分由平面電動(dòng)機(jī)控制。 圖5 閉環(huán)控制結(jié)構(gòu)由于被控對(duì)象為3階,積分和鎮(zhèn)定控制器共3階,因此閉環(huán)系統(tǒng)為6階。這樣,閉環(huán)傳遞函數(shù)的極點(diǎn)恰好可以由圖5中的6個(gè)參數(shù)(C,B2,B1,B0,A1,A0任意配置。將表1中的參數(shù)值代入式(23(25可計(jì)算出三個(gè)傳遞函數(shù)均有一個(gè)右極點(diǎn),分別為136.5、185.8和110.4(可見它們的不穩(wěn)定模態(tài)速度相當(dāng),因而

16、對(duì)控制是很有利的。通常情況是,將全部閉環(huán)極點(diǎn)配置在負(fù)實(shí)軸上,且幅值大致為4倍開環(huán)右極點(diǎn)的幅值時(shí),可獲得較好的綜合性能(動(dòng)態(tài)響應(yīng)、傳感器噪聲抑制和魯棒性等7,8。這樣,三個(gè)控制環(huán)的閉環(huán)極點(diǎn)全部配置在2×120處(120 Hz的閉環(huán)帶寬,由此可計(jì)算出每個(gè)控制通道的6個(gè)控制器參數(shù)。值得一提的是,將鎮(zhèn)定控制器安排在反饋通道上,使得參考輸入不通過(guò)該控制器,其目的是為了減少階躍輸入時(shí)的超調(diào)(因鎮(zhèn)定控制器的高頻增益通常都很大,另一方面,由于誤差信號(hào)通過(guò)積分器,因此穩(wěn)態(tài)誤差為零。4 試驗(yàn)及結(jié)果整個(gè)控制系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)如圖6所示。在工作臺(tái)的底部,且恰好在四個(gè)磁極的下方,安裝了四個(gè)相同的電容位移傳感器(量程&

17、#177;50 m,方均根噪聲4 nm,帶寬5 000 Hz,由此可以測(cè)得式(16(18右端的四個(gè)位移量并經(jīng)變換得到三個(gè)控制器輸入(傳感器的安裝使得工作臺(tái)在平衡位置時(shí)傳感器輸出正好為零。控制器輸出經(jīng)式(19(22變換后給出四個(gè)被控對(duì)象輸入(需加上平衡位置下的電壓U0,經(jīng)功率放大后獨(dú)立地驅(qū)動(dòng)四個(gè)線圈。功率放大器的峰值輸出電壓和電流分別為±10 V和+4 A,帶寬約20 kHz。A/D轉(zhuǎn)換的分辨率為16位(8 s轉(zhuǎn)換時(shí)間,分時(shí)復(fù)用,D/A為14位(0.01%調(diào)整時(shí)間約5 s。采樣周期取為100s,積分器和鎮(zhèn)定控制器都按這一采樣周期離散化(采用MATLAB中的c2d函數(shù)及zoh選項(xiàng),然后用

18、C語(yǔ)言編寫相應(yīng)的控制程序,實(shí)時(shí)運(yùn)行于DOS平臺(tái)。 圖6 試驗(yàn)系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)上述試驗(yàn)系統(tǒng)在加電并啟動(dòng)控制程序后,工作臺(tái)被懸浮在平衡位置。由于平面電動(dòng)機(jī)尚未安裝運(yùn)行,且由于系統(tǒng)不能絕對(duì)水平地安裝,工作臺(tái)懸浮后向某一方向“流動(dòng)”以至碰到限位擋塊。為解決這一問(wèn)題,在工作臺(tái)的工件安放表面固定了兩片永久磁鐵,同時(shí)在這兩片永久磁鐵的正上方約3 mm處,以相吸引的極性固定了另外兩片永久磁鐵。這樣,工作臺(tái)懸浮后便可停留在中間某個(gè)位置。注意這些永久磁鐵只非常略微地改變了工作臺(tái)的動(dòng)態(tài)特性,完全可以忽略。為了觀察閉環(huán)系統(tǒng)的性能以及三個(gè)控制軸之間的解耦情況,分別對(duì)三個(gè)控制環(huán)施加5 Hz的方波參考輸入。z軸的參考輸入在0和1

19、0 m之間變化,和軸的參考輸入分別在0和10 m/b= 0.125 mrad之間以及0和10 m/a= 0.25 mrad之間變化。考慮到以毫弧度為單位的旋轉(zhuǎn)量不如以微米為單位的位移量更為人們所熟悉,且為了便于三個(gè)控制軸之間的比較,在觀察系統(tǒng)的輸出響應(yīng)時(shí),不直接給出和這兩個(gè)輸出變量,而是給出按下式定義的兩個(gè)與和成比例的變量4(2143zzzzbz+=(264(2143zzzzaz+=(27 注意這兩個(gè)變量為旋轉(zhuǎn)時(shí)磁極(或傳感器處的對(duì)應(yīng)位移量。由于當(dāng)工作臺(tái)處于平衡位置時(shí)原理上就不存在耦合,因此在施加參考輸入時(shí),通過(guò)調(diào)整永久磁鐵的位置,將工作臺(tái)分別在x和y的正方向上移動(dòng)了5 mm。在工作臺(tái)被懸浮且

20、xy平面中的暫態(tài)過(guò)程(由永機(jī)械工程學(xué)報(bào)第40卷第9期88久磁鐵引起消失后,施加參考輸入,同時(shí)采集數(shù)據(jù),得到了如圖7所示的結(jié)果。為便于觀察,圖中未施加參考輸入的控制環(huán)的輸出,在繪圖時(shí)分別被下移了2 m和4 m。由圖7可以看出,除軸的阻尼特性不夠好之外,三個(gè)控制環(huán)有預(yù)期的閉環(huán)動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性以及良好的解耦效果。關(guān)于軸阻尼不足的問(wèn)題,尚未進(jìn)一步探究。最后值得一提的是,雖然所用的位移傳感器其方均根噪聲只有4 nm,因而開環(huán)時(shí)變量z中的方均根噪聲只有2 nm,但閉環(huán)系統(tǒng)處于穩(wěn)態(tài)時(shí)z中的方均根噪聲卻高達(dá)26.8 nm(這樣大的差異在傳感器的方均根噪聲為微米量級(jí)時(shí)一般是不會(huì)出現(xiàn)的,比如采用電渦流位移傳感器時(shí)。這

21、一現(xiàn)象在一定的程度上是由于電氣和機(jī)械干擾的原因,是否還與其他因素有關(guān),還需要進(jìn)一步研究。 圖7 施加參考輸入時(shí)三個(gè)控制軸的位移輸出5 結(jié)論(1 所提出的設(shè)計(jì)方案基于四個(gè)位置檢測(cè)和四個(gè)電磁力驅(qū)動(dòng),與基于三點(diǎn)決定一個(gè)平面的原理相比較,雖然多用了一路傳感器和功率放大器,但所涉及的3自由度上的位移信號(hào)在坐標(biāo)變換后均來(lái)自四個(gè)傳感器,從而能夠更有效地降低位移信號(hào)中的噪聲,并獲得結(jié)構(gòu)上的對(duì)稱性。(2 工作臺(tái)由磁懸浮所控制的3自由度之間的耦合,通過(guò)輸入與輸出空間中的坐標(biāo)變換就可以消除,而不需要狀態(tài)反饋。(3 若采用傳統(tǒng)的機(jī)械結(jié)構(gòu)支撐工作臺(tái),至少需要三層機(jī)械結(jié)構(gòu)(一層x導(dǎo)軌、一層y導(dǎo)軌和一層回轉(zhuǎn)導(dǎo)軌,如果還要求

22、z方向上的移動(dòng)以及繞x和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng),機(jī)械結(jié)構(gòu)將更為復(fù)雜,此外這當(dāng)中對(duì)許多部件有很高的精度要求。采用磁懸浮支撐工作臺(tái),系統(tǒng)的機(jī)械結(jié)構(gòu)則大大簡(jiǎn)化,有精度要求的部件只有工作臺(tái)底部的平面度和表面粗糙度(位移傳感器的目標(biāo)平面。(4 運(yùn)動(dòng)控制的分辨率深入到納米量級(jí)時(shí),系統(tǒng)的位置分辨能力對(duì)許多因素將變得很敏感,這時(shí)每一個(gè)有可能滲入機(jī)械和電氣噪聲的環(huán)節(jié)都需要細(xì)致的設(shè)計(jì)和實(shí)施。參考文獻(xiàn)1 Mao J, Tachikawa H, Shimokohbe A. Precision positioningof a DC-motor-driven aerostatic slide system. Precision En

23、gineering, 2003, 27(1:32412 Zhang B, Zhu Z. Developing a linear piezomotor withnanometer resolution and high stiffness. IEEE/ASME Trans. Mechatronics, 1997, 2(1:22293 Kim W, Trumper D L. Six-degree-of-freedom planar posi-tioner with linear magnetic bearing/motors. In:allaire P E ed.Proc. 6th Int. Symp. on Mag