第二章 圓錐曲線與方程

1、第二章 圓錐曲線與方程人教社新課標B版選修2-1北京師大二附中 趙昕一、教學(xué)目標（一）知識與技能目標1了解曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，掌握兩條曲線的交點的求法，會求簡單曲線的交點，并能根據(jù)已知條件求曲線的方程，并初步學(xué)會通過方程來研究曲線的性質(zhì).2掌握橢圓、拋物線的定義、標準方程、幾何圖形及簡單性質(zhì)，了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，知道雙曲線的有關(guān)性質(zhì).3能用坐標法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題和實際問題.（二）過程與方法目標1通過曲線與方程的教學(xué)，幫助學(xué)生理解并感受解析幾何研究問題的一般過程與方法.2通過橢圓、雙曲線、拋物線的標準方程的推導(dǎo)，使學(xué)生掌握求曲線方程的一般方法，滲透數(shù)形結(jié)合

2、的思想方法.3通過對橢圓、雙曲線、拋物線的研究使進一步掌握研究曲線的一般方法，提高運用坐標法解決幾何問題的能力.4將橢圓的研究方法遷移到雙曲線、拋物線的研究過程中，體會類比的學(xué)習(xí)方法，培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、推理等的能力.5通過圓錐曲線的學(xué)習(xí)，使學(xué)生進一步體會數(shù)形結(jié)合的思想方法.（三）情感、態(tài)度與價值觀目標1通過曲線與方程概念的教學(xué)，使學(xué)生體會數(shù)與形的相互聯(lián)系，培養(yǎng)學(xué)生對立統(tǒng)一的辯證唯物主義觀點.2通過列舉生活中的常見的與圓錐曲線有關(guān)的實例，經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓、拋物線模型的過程，讓學(xué)生感受圓錐曲線在刻畫顯示世界和解決實際問題中的作用.3通過學(xué)生對橢圓、雙曲線、拋物線性質(zhì)的自主探究，激發(fā)學(xué)生

3、學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和創(chuàng)新意識.4通過對圓錐曲線的研究，讓學(xué)生感知方程和圖形的簡潔美與對稱美，提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng).5通過圓錐曲線統(tǒng)一性的研究，對學(xué)生進行運動變化、對立統(tǒng)一的辯證唯物主義思想教育.二、知識結(jié)構(gòu)本章主要內(nèi)容為曲線與方程，圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì)以及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系.本章共分五大節(jié).第一節(jié)是曲線與方程，在這一節(jié)中不僅介紹了曲線的方程，方程的曲線的概念，而且簡單介紹了解析幾何的基本思想（用代數(shù)方法研究幾何問題）、基本方法（坐標法），并用實例說明了研究曲線的基本過程（先求曲線的方程，通過方程來研究曲線的性質(zhì)）.本節(jié)對本章內(nèi)容起到了統(tǒng)領(lǐng)作用，后面對三種圓錐曲線的

4、研究正是第一節(jié)中介紹的研究方法和過程的具體實踐.第二、三、四節(jié)分別研究了橢圓、雙曲線、拋物線這三種圓錐曲線.每一節(jié)都分兩小節(jié)的內(nèi)容，前一小節(jié)主要學(xué)習(xí)圓錐曲線的定義和標準方程；后一小節(jié)主要學(xué)習(xí)圓錐曲線的幾何性質(zhì).在解析幾何中所討論的曲線的性質(zhì)通常包括：（1）曲線的范圍；（2）曲線的對稱性；（3）曲線與坐標軸的交點以及不同曲線所具有的一些特殊性質(zhì).第五節(jié)是直線與圓錐曲線.主要內(nèi)容有判斷直線與圓錐曲線的交點個數(shù)、求直線與圓錐曲線相交所得弦的長度、確定圓錐曲線上的特殊點等.本節(jié)起到了前四節(jié)所學(xué)知識及方法概括和提升的作用，重點突出了利用坐標法來研究幾何性質(zhì).基本結(jié)構(gòu)如下圖所示：直線和圓錐曲線的位置關(guān)系橢

5、圓，雙曲線，拋物線的定義、方程和幾何性質(zhì)曲線與方程綜合應(yīng)用具體實踐主導(dǎo)思想三、地位作用圓錐曲線是很多實際問題的重要數(shù)學(xué)背景知識主要體現(xiàn)在兩個方面，一是大部分光學(xué)儀器都是利用圓錐曲線(面)的性質(zhì)制作的；二是宇宙中很多天體的運行軌道都是圓錐曲線或近似為圓錐曲線.此外，曲線可以看成是符合某種條件的點的軌跡.在解析幾何里用坐標法研究曲線的一般程序是：建立適當(dāng)?shù)淖鴺讼?，求出曲線的方程；利用方程討論曲線的幾何性質(zhì)，說明這些性質(zhì)在實際中的應(yīng)用.在數(shù)學(xué)必修2第二章里，學(xué)生已經(jīng)接觸了這種方法，但由于直線與圓的問題可借助很多平面幾何中所學(xué)圖形的性質(zhì)解決，因此坐標法的重要性及其必要性顯得不是特別充分，而在“圓錐曲線

6、與方程”這一章中，這種研究曲線的方法和過程以及它的優(yōu)勢體現(xiàn)得最突出，因此在這里更加明確了坐標法的概念和作用.這也體現(xiàn)了新課標對同一知識內(nèi)容采取螺旋式上升的設(shè)計理念.因此“圓錐曲線與方程”是高中課程中的重要內(nèi)容，也是高中解析幾何中的重點內(nèi)容，特別是在對學(xué)生掌握坐標法的能力的訓(xùn)練方面有著不可替代的作用.重點、難點（一）本章重點內(nèi)容1曲線與方程的概念.2橢圓、雙曲線、拋物線的定義、方程和幾何性質(zhì).3研究曲線的基本方法與過程.4坐標法.（二）本章難點內(nèi)容1曲線與方程的概念.2使用坐標法過程中涉及到的一些代數(shù)運算.坐標法中涉及到的代數(shù)運算可分為兩類，一類屬于運算過程帶有一定技巧性，一類屬于運算過程較為復(fù)

7、雜繁瑣，無論哪類問題，學(xué)生都會感覺到有一定困難，在教學(xué)時，對相關(guān)運算應(yīng)進行詳細講解，認真練習(xí).教學(xué)建議（一）本章教學(xué)建議1突出重點，控制難度教學(xué)中應(yīng)根據(jù)教學(xué)目標把握好各部分知識的難度，因此對它在教學(xué)的難度應(yīng)注意與橢圓和拋物線相區(qū)別.圓錐曲線的統(tǒng)一定義沒有對學(xué)生做出要求，在教學(xué)要注意對其進行合理的安排.對一些要求不高的內(nèi)容主要應(yīng)體現(xiàn)讓學(xué)生感受知識的形成過程及解析幾何研究問題的方法，而不在于掌握和運用知識的具體結(jié)論進一步解決其他問題.圓錐曲線的統(tǒng)一性不僅體現(xiàn)在圓錐曲線的統(tǒng)一定義上，還體現(xiàn)在圓錐曲線在物理及天文學(xué)中的廣泛應(yīng)用，對這部分內(nèi)容，程度較好的學(xué)校可通過對圓錐曲線的統(tǒng)一性的歸納與探究，讓學(xué)生深

8、層次地體驗解析幾何求曲線方程的基本方法及用方程研究曲線的基本思路，并且感受圓錐曲線在現(xiàn)實世界中的實際應(yīng)用.2注重過程，抓住本質(zhì)通過本章教學(xué)學(xué)生除了在頭腦中留下圓錐曲線的標準方程、幾何性質(zhì)中那些形式化的記憶外，應(yīng)注重提高學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認識.教學(xué)中，對曲線與方程的概念、三種圓錐曲線的定義這些概念，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對概念的內(nèi)涵與外延進行全面的討論使學(xué)生更好地理解掌握這些概念.另外，應(yīng)努力讓學(xué)生通過對雙曲線、拋物線幾何性質(zhì)的探究，經(jīng)歷數(shù)學(xué)結(jié)論的形成過程，并在這一過程中提高學(xué)生類比、歸納、推理等多方面的能力.3注重應(yīng)用，聯(lián)系實際本章教學(xué)中應(yīng)注意與實際相聯(lián)系，使學(xué)生感受圓錐曲線在刻畫顯示世界和解決實際問題中的

9、作用.圓錐曲線在實際中的應(yīng)用主要體現(xiàn)在兩個方面，一是物理方面的應(yīng)用，主要指天體運行的軌道是圓錐曲線和許多光學(xué)儀器的制造都利用了圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)；二是在一些具體情境中存在著圓錐曲線模型.這些實際應(yīng)用在教材中具體體現(xiàn)在一下幾部分：（1）.注意從具體情境中抽象出橢圓、拋物線的模型，可讓學(xué)生在身邊找到圓錐曲線的模型.（2）.在本章的第2、3、4、5節(jié)的例題中分別引入了一道實際應(yīng)用問題，教學(xué)過程中應(yīng)重視應(yīng)用問題的教學(xué)，并注意引導(dǎo)學(xué)生了解相應(yīng)例題中應(yīng)用問題的實際意義.（3）.在介紹圓錐曲線統(tǒng)一性時可介紹圓錐曲線的光學(xué)性質(zhì)和天體運行軌道與圓錐曲線的關(guān)系，體現(xiàn)圓錐曲線在實際問題中的應(yīng)用.4注重滲透數(shù)形結(jié)合思

10、想“數(shù)”與“形”的結(jié)合應(yīng)包含兩個方面，一是將幾何即“形”的問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)即“數(shù)”來解決，二是探究代數(shù)式所包含的幾何意義.解析幾何的實質(zhì)是用代數(shù)方法解決幾何問題，但在教學(xué)中要注意避免只注重數(shù)量關(guān)系推導(dǎo)忽視其幾何含義.“數(shù)”和“形”“數(shù)”來解決“形”的問題，還應(yīng)注意不斷揭示“數(shù)”的幾何意義，只有這樣才能夠讓學(xué)生全面理解“數(shù)”與“形”之間相輔相成的辯證關(guān)系.5注重對學(xué)生探究能力的培養(yǎng)本章教學(xué)中應(yīng)重視對學(xué)生探究能力的培養(yǎng).本章在第一節(jié)曲線與方程中給出了研究曲線的一般過程與方法，這為后面學(xué)生對橢圓、雙曲線和拋物線的自主探究創(chuàng)造了條件.教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對相關(guān)知識內(nèi)容進行類比學(xué)習(xí)，利用已具備的知識自主獲取新

11、的知識.本章教材中共有四個“思考與討論”問題，還有一個“探索與研究”問題，對“思考與討論”問題應(yīng)在課堂認真組織學(xué)生進行討論，對于“探索與研究”有條件的可組織學(xué)生對進行問題進行研究，從而獲得圓錐曲線的統(tǒng)一定義.教學(xué)中應(yīng)鼓勵學(xué)生養(yǎng)成獨立思考、積極探索的學(xué)習(xí)習(xí)慣，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)知識的形成過程，提高學(xué)生對問題的探究能力.6注重與信息技術(shù)的整合本章內(nèi)容為解析幾何的內(nèi)容，應(yīng)充分發(fā)揮現(xiàn)代化信息技術(shù)的作用，利用計算機或其他現(xiàn)代教育技術(shù)手段演示或引導(dǎo)學(xué)生自主探究平面截圓錐所得的圓錐曲線，曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，圓錐曲線的定義，圓錐曲線的統(tǒng)一定義等問題，使學(xué)生更好地體會數(shù)形結(jié)合的思想.（二）各節(jié)具體教學(xué)建議曲線的方

12、程和方程的曲線的概念是教學(xué)中的難點.由于曲線的方程的概念較為抽象，應(yīng)注意結(jié)合大量實例，將曲線與方程之間的對應(yīng)關(guān)系闡釋清楚.由于學(xué)生已學(xué)習(xí)了直線與圓的方程，因此實例可采用直線或圓，還可利用函數(shù)圖像及其解析式之間的對應(yīng)關(guān)系來說明曲線與方程之間的對應(yīng)關(guān)系.在教學(xué)中應(yīng)注意函數(shù)解析式與方程的區(qū)別與聯(lián)系，函數(shù)解析式都可以看成是一個二元方程，但很多方程不能看成函數(shù)的解析式，如x2+y2=1.在曲線與方程這一節(jié)的教學(xué)中要注意體現(xiàn)解析幾何研究問題的一般過程與方法.教材第2小節(jié)中的例題實際以實例的形式闡釋了上述方法和過程.在教學(xué)中應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生注意體會例題的作用，為后面圓錐曲線的研究作好鋪墊.適應(yīng)學(xué)生的思維過程，先讓

13、學(xué)生實踐推導(dǎo)過程，再與教材中的方法進行比較，從而積累代數(shù)變形的經(jīng)驗.教材中對標準方程的推導(dǎo)是對式子進行了有理化之后與原式相加達到化簡的目的.實際上對含有兩個根式的代數(shù)式的化簡一般采取將一個根式保留在等號一邊然后兩邊平方的方法，這種方法更具有一般性，而教材中的方法則充分利用了代數(shù)式的對稱性，化簡中的運算量較小，但從對含兩個根式的代數(shù)式化簡的方法來看不具有一般性，具有較強的技巧性.大多數(shù)學(xué)生在對方程進行化簡時會采取兩邊平方的方法，在教學(xué)中應(yīng)充分展示學(xué)生的不同方法，并注意引導(dǎo)學(xué)生對不同方法進行比較，點評，提高學(xué)生代數(shù)運算的能力.雙曲線的漸近線是雙曲線不同于橢圓的特殊性質(zhì)，教學(xué)中可先引導(dǎo)學(xué)生對雙曲線的幾何性質(zhì)進行自主探究，探究過程中可通過畫雙曲線的圖形引導(dǎo)學(xué)生思考雙曲線圖形的變化趨勢，從而發(fā)現(xiàn)雙曲線的漸近線，并對其進行定量的研究.拋物線的性質(zhì)研究之后應(yīng)注意將拋物線的圖形和雙曲線的圖形進行比較，指出它們都不是封閉的曲線，都可向遠方無限延伸，而拋物線的圖形是沒有限制的，雙曲線的圖形有漸近線限制的.研究完拋物線的性質(zhì)后，可根據(jù)教材P67頁的探索與研究，引導(dǎo)學(xué)生得到圓錐曲線的統(tǒng)一定義，體現(xiàn)事物之間的對立統(tǒng)一及普遍聯(lián)系.本節(jié)內(nèi)容在大綱教材中沒有出現(xiàn)，但實際上最能夠體現(xiàn)解析幾何的基本方法坐標法，因此課標教材將其獨立成節(jié).教學(xué)中應(yīng)充分利用本節(jié)內(nèi)容使學(xué)生理解體會解析幾何的