平面向量數(shù)量積及運(yùn)算律

1、5.6平面向量數(shù)量積及運(yùn)算律利用定義求向量的數(shù)量積例 1.已知 a| =4, b =5 ,當(dāng)(l) a/b (2) a ± b, (3) a與 b 的夾角為 30時(shí)， 分別求a與b的數(shù)量積。分析：已知，a與b ,求a b ,只需確定其夾角 e ,須注意到a/b時(shí)，有0 =0和1 =180 ©兩種可能。解：(1) a/ b ,若a與b同向，則0 =0：ab=|a b8$0° = 4父5 = 20；若a與b反向，則1 =1802a b=|a bcos180W4m5«1 )= -20,(2)當(dāng) a _Lb時(shí)，9 =90、a b =|a bcos90s = 0,

2、(3)當(dāng)a與b的夾角為30 口時(shí)，73a b = a| b cos300 = 45x =1073.小結(jié)：(1)對(duì)于數(shù)量積a -b = a bcos0 ,其中日的取值范圍是 0；180引；(2)非零向量a和b, a_Lbu a b = 0 ；(3)非零向量a和b共線的充要條件是 a b = ±a b .向量性質(zhì)描述的判斷例1.已知a、b、c是三個(gè)非零向量，則下列命題中真命題的個(gè)數(shù)為( a b = a b u ab； a、b反向二 a b = -a b a _L bu a +b =|a -b ； a| 二|bu |a c =|b cA. 1 B. 2C. 3 D. 4分析：需對(duì)以上四個(gè)命

3、題逐一判斷，依據(jù)有兩條，一是向量數(shù)量積的定義； 二是向量加法與減法的平行四邊形法則.中:a b = a bcos9 ,由a b=|a，b及a、b為非零向量可得cosQ =1，.-0 =0或元，. a / b且以上各步均可逆，故命題是真命題.中若a、b反向，則a、b的夾角為n ,，a，b=|a bcosn = a，b且以上各步均可逆， 故命題是真命題. 中當(dāng)a_Lb時(shí)，將向量a、b的起點(diǎn)確定在同一點(diǎn)， 則以向量a、b為 鄰邊作平行四邊形，則該平行四邊形必為矩形，于是它的兩對(duì)角線長(zhǎng)相等，即有a+b=ab.反過(guò)來(lái)，若 a+b = ab,則以a、b為鄰邊的四邊形為矩形，所以有alb,因此命題是真命題.

4、中當(dāng) a = b但a與c的夾角和b與c的夾角不等時(shí)，就有a c #|b c ,反過(guò)來(lái)由a c =|b c也推不出a = b .故命題是假命題.答案：C小結(jié)：（1）兩向量同向時(shí)，夾角為 0 （或0=）;而反向時(shí)，夾角為 n （或180。）；兩向 量垂直時(shí)，夾角為90°.因此當(dāng)兩向量共線時(shí)，夾角為 0或n ,反過(guò)來(lái)若兩向量的夾角為 0 或n ,則兩向量共線.（2）對(duì)于命題我們可以改進(jìn)為：a =|b既不是a c = b c的充分條件也不是必要條件.利用向量垂直證明平面幾何垂直問(wèn)題例1.如圖，已知AABC中，/C是直角，CA=CB, D是CB的中點(diǎn)，E是AB上 的一點(diǎn)，且 AE =2EB.求

5、證：AD _LCE .分析：借助向量垂直的充要條件解題，即證明 AD CE = 0.證明：設(shè)此等腰直角三角形的直角邊長(zhǎng)為 a,則AD CE "AC CD CA AE=AC CA CD CA AC AE CD AE0 a Ma二亙馬工32 21 2-a a33所以 AD _ DE .小結(jié)：用向量方法證明幾何問(wèn)題時(shí)，一般應(yīng)把已知和結(jié)論轉(zhuǎn)化成向量的形式，再通過(guò) 相應(yīng)的向量運(yùn)算完成證明，不難發(fā)現(xiàn)，利用實(shí)數(shù)與向量的積可證明共線、平行、長(zhǎng)度關(guān)系等 方面的幾何問(wèn)題，利用向量的數(shù)量積可解決長(zhǎng)度關(guān)系、角度、垂直等幾何問(wèn)題。判斷四邊形形狀例 1、平面四邊形 ABCD 中，AB=a , BC=b , CD

6、 = c , DA=d ,且a b = b c = c d = d a ,判斷四邊形 ABCD的形狀.分析：在四邊形ABCD中可知，a+b + c+d = 0,故a+b = (c + d),兩邊平方后,根據(jù)題設(shè)可得四邊形 的形狀.ABCD邊長(zhǎng)的關(guān)系，由此從四邊形的邊長(zhǎng)及內(nèi)角的情況來(lái)確定四邊形證明：由四邊形ABCD可知，a+b+c + d=0 （首尾相接）二 a + b = -(c + d),即(a +b)2 =(c + d)2展開(kāi)得r 2r ra +2a b +b/2-T 2+ 2c d + d一 2d (1)同理可得|a|(1) ( 2)低，即 AB = CD ,BC = DA ,故四邊形A

7、BCD是平行四邊形.由此 a = -c, b = d又 a b = b c,即 b(a 一 c) = 0bb (2a) =0 即 a，b= AB-L BC故四邊形ABCD是矩形特別是幾何圖形形狀的判小結(jié)：利用向量數(shù)量積及有關(guān)知識(shí)，可以解決許多幾何問(wèn)題,斷，因?yàn)橄蛄糠e與長(zhǎng)度(模)和角有關(guān).ABC為等腰三角形-2-a )=0分析:設(shè) a =6, b =10, a -b=4<6 ,則a與b的夾角e的余弦值為要求夾角需先求出a b的值。如用向量證明等腰三角形底邊上的中線垂直于底邊.如圖所示,AB=AC, D為底邊BC的中點(diǎn).設(shè) AB = a, AC = b ,1 - pAD (a b)2- BC

8、 AD =(b -a) - (b +a) =-(b 22故AD _L BC ,命題成立.求向量夾角的余弦a-b =476-_2二 a -b=a -b a -b = a2 -2a b b2a =6, b =10,代入得 a b =20.由 a b = acos 二小結(jié)：本題涉及了平面向量的數(shù)量積的概念，性質(zhì)-2a b =(4v'6 2,得20 = 6父10父cos8,于a w = a2 = a2以及有關(guān)運(yùn)算律,體現(xiàn)了較強(qiáng)的綜合性.向量垂直例1、已知向量i, j為相互垂直的單位向量，設(shè)a = (m + 1)i3j, b = i+(m 1)j, (a +b) -L(a -b),則 m =分析

9、：本題考查向量運(yùn)算，兩向量垂直的充要條件.解：由題設(shè)可知a + b = (m + 2)i + (m - 4) j , a b = mi +(m 2) j .由(a +b) (a 6) = 0 ,得(m+2)i +(m4) jmi +(m 2)j =0 ,即 (m+2)m+(m4)(m2) = 0 ,得 m =2 .2- 2小結(jié)：解決本題時(shí)，應(yīng)注意i ,j =0,i = j =1.另外，解本題時(shí)，也可利用向量的坐 標(biāo)表示求解，即 a+6 = (m+2, m 4),a-6 = (m,m-2),再運(yùn)用向量垂直的充要條 件求出m的值.向量垂直的證明例1 .已知非零向量a和b夾角為60二，且值十3b )

10、_L(7a _ 5b ),求證：(a-4b )_L(7a-2b )分析：欲證兩個(gè)向量垂直只需證明它們的數(shù)量積為零.-0rd4I證明：因?yàn)閍和b夾角為60 ,所以ab = a b cos60 =-a b ；又因?yàn)?(a+3b ).L(7a-5b ), 所 以(a +3bM7a _ 5b )= 0, 即7a2 + 16a b -15b2 =7a2 +16父；及 b 15b 2 = 7a2 +8a -b -15b|2 = 0,二(7a+15b )a b )=0, 二 a b=0, 即 a =|b . 因 為2(a-4b )(7a -2b )=7a -30a b + 8b =7a -30父1嗣+8b

11、=7a -15ab+8b ,把 a = b 代入上式消去 b 得(a 4b M7a 2b )=7a215aa+8 a2=0.所以(a-4b )1(7a-2b )小結(jié)：這也是垂直的證明問(wèn)題，但不是從平面幾何的角度，而是直接從數(shù)量積的角度給 出條件，再運(yùn)用數(shù)量積的有關(guān)知識(shí)解決問(wèn)題.向量垂直時(shí)的參數(shù)值例1.已知a _L b, a =2, b =3 ,當(dāng)(3a -2b )1。婦b b局，求實(shí)數(shù)九的值.分析：求一個(gè)實(shí)數(shù)的值，運(yùn)用方程的思想，建立一個(gè)方程，通過(guò)解方程使問(wèn)題得解.解：: a _L b , a b = 0 . 丁(3a 一 2b)_L。一a + b),.(3a 2b )Aa + b )= 0,

12、即.2 23九a2+(3 2£)a b 2b2 =0 ,34a +(3 2兒)a b2b =0 X . 把3a=2,b=3, a b=0代入式，得 3九 22 十 3 2九 0 2 32 = 0，二九=一.2小結(jié)：通過(guò)向量垂直兩向量的數(shù)量積為0,建立等式將向量問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程求解.向量的夾角例1、已知不共線向量 a, b ,閆=3 ,1耳=2,且向量a + b與a 2b垂直.求：a與b的夾角日的余弦值.-I- Ta b分析：由向重?cái)?shù)重積te義知cos 6 =,所以需求a b之值.由已知得 同b(a +b) <a -2b) = 0,從中可求得a b之值.解：:(a +b) (a -

13、2b)垂直,.(a b) (a-2b) =0根據(jù)向量數(shù)量積的運(yùn)算律得T 2 . .T 2rra -a b-2b =0, a =3, b =2ab=H2_2b2=1 - fr.一;a b = a bcosHa b 1，cosH=一百=一，即為所求.a|b| 6小結(jié)：非零向量a_Lbu a b = a b cos日=0是應(yīng)用向量解決有關(guān)垂直問(wèn)題很重要的 手段，特別是根據(jù)向量數(shù)量積的定義，把研究形的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為數(shù)量問(wèn)題，如已知a=lb=2, a與b夾角為600,問(wèn)當(dāng)k取何值時(shí)，(ka+ b)與(3a 2b)垂直，f - =* F T-FF; a b = a b cos60S = 1,由(ka 十b)

14、 (3a 2b) = 0 可求得 k = 5 .向量數(shù)量積的運(yùn)算例1、已知向量i, j為相互垂直的單位向量，a +b = 2i 8j,a b = 8i +16 j ,那么a b =.分析：應(yīng)先求出a, b,再計(jì)算a b .解：由已知 a+b = 2i -8j,a-b = -8i +16 j,+得 a = -3i 4 j.得 b =5i _12j.故 a b =(-3i 4j) (5i -12j) =15 -48 =-63.小結(jié)：解決本題也可利用向量坐標(biāo)運(yùn)算，或4a ,b= (a + b)2 - (a - b)2求解.已知平行四邊形對(duì)角線一半的數(shù)量積例1、如圖所示，已知平行四邊形 ABCD ,

15、AB=a, AD=b, W =4, b=2,求:OA OB .分析：根據(jù)向量數(shù)量積定義 OA OB = Occos9 ,來(lái)求OA OB顯然不行，因?yàn)? - 1 -. AC , OB=DB ,而221- T(a b) (a -b)4AC = a + b, DB = a bOA , OB , cos9都無(wú)法確定.怎么辦呢？由于OA1 -AC = a +b , DB = a - b,由此 OA OB = 一 AC DB = 一 4r 2, _Fb ),從而可求得OA OB.解：: ABCD為平行四邊形，根據(jù)向量的加、減法法則知:.AC DB =(a b) (a-b)-2- 2二a -b-2 f 2=a - b =12'