最全高中不等式解法.

1、不等式的解法三、解不等式1解不等式問題的分類(1) 解一元一次不等式(2) 解一元二次不等式(3) 可以化為一元一次或一元二次不等式的不等式解一元高次不等式；解分式不等式；解無理不等式；解指數(shù)不等式；解對數(shù)不等式；解帶絕對值的不等式；解不等式組2解不等式時應(yīng)特別注意下列幾點：(1) 正確應(yīng)用不等式的基本性質(zhì)(2) 正確應(yīng)用冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的增、減性(3) 注意代數(shù)式中未知數(shù)的取值范圍3不等式的同解性f(x) 0f(x) 0(1)f(x) · g(x) 0與或同解g(x) 0g(x) 0f(x) 0f(x) 0(2)f(x) · g(x) 0與或同解g(x) 0g(

2、x) 0(3)f(x)f(x) 0f(x) 0 0與或同解 (g(x) 0)g(x)g(x) 0g(x) 0(4)f(x)f(x) 0f(x) 0 0與或同解 (g(x) 0)g(x)g(x) 0g(x) 0(5)|f(x)| g(x) 與 g(x) f(x) g(x) 同解 (g(x) 0)(6)|f(x)| g(x) 與 f(x) g(x)或 f(x) g(x)( 其中 g(x) 0)； g(x) 0 同解f(x) g(x) 2(7)f(x) g(x)與 f(x) 0f(x) 0同解或g(x) 0g(x) 0(8)f(x) g(x) 2f(x) g(x) 與同解f(x) 0(9)當(dāng) a1

3、時， af(x) ag(x) 與 f(x) g(x) 同解，當(dāng) 0 a 1 時， af(x) ag(x)與 f(x) g(x) 同解(10) 當(dāng) a 1時， log a f(x) log ag(x) 與f(x) g(x)同解f(x) 0f(x) g(x)當(dāng)0a1時， log a f(x) log a g(x)與 f(x) 0同解g(x) 04 零點分段法：高次不等式與分式不等式的簡潔解法步驟：形式：P( x)0 移項，通分（不輕易去分母）Q (x)首項系數(shù)符號 >0標準式， 若系數(shù)含參數(shù)時， 須判斷或討論系數(shù)的符號，化負為正判斷或比較根的大小題型講解例 1 不等式 (1+x)(1-x )

4、>0 的解集是（）A x 0 x 1B x x 0且x1C x1 x 1D x x 1且x1解： (1+x)(1- x ) 0 的解為 x=1,x= -1( 二重根 )畫出數(shù)軸：+-101-x不等式 (1+x)(1-x )>0 的解集是xx 1且x1另法： x= 1 和 x2 顯然屬于原不等式的解集，所以選（D）2例 2解不等式x 23x2xxx 2解：由x 23xxx( x1)2x 2x2(x 1)( x02)其零點分別為：-1,0,1( 二重 ),2，畫出數(shù)軸如下：- -1+- 2+01x由圖知，原不等式的解集為1,012,x0例 3 求不等式組3x2x 的解集3x2x解法一：

5、由題設(shè)x>0，3x2x ，得 3x0 ，即3 x 3 ， 0x 3 ，3x2x3x原不等式組等價于0x 2（1）x)( x2)( 2x)(3；(3x)2x 3（2）x)( 2x)( x2)(3x)(3由（ 1）得 0x2 ，由（ 2）得 2x6 ，故原不等式組解集為x 0x6解法二：由已知條件可知3x0兩邊平方，原不等式組等價于3xx 03 x 2 x 22 x 3 x 2x00 x 6x(x6)(x6)0即原不等式組解集為x0x6例 4解關(guān)于 x 的不等式m3 x1 x10( mR)解：下面對參數(shù)m 進行分類討論：當(dāng) m=3 時，原不等式為x+1>0 ，不等式的解為x1當(dāng) m3

6、時，原不等式可化為x1x10m3101 ，不等式的解為x1 或 x1m3m3當(dāng) m3 時，原不等式可化為x1(x1)0m31m4，m313m當(dāng)4m311原不等式的解集為1x1 ；時，3mm3當(dāng) m4 時，11 原不等式的解集為1x13；mm 3當(dāng) m4 時，11 原不等式無解3m綜上述，原不等式的解集情況為：當(dāng) m4時，解為1x1；m3當(dāng) m4 時，無解；當(dāng) 4m3 時，解為11；xm 3當(dāng) m=3 時，解為 x1；當(dāng) m3時，解為 x1或 x1m 3例 5 已知 f(x) ，g(x) 都是定義在 R 上的奇函數(shù)， 不等式 f(x)>0 的解集是 (m，n)，不等式 g(x)>0的

7、解集是m , n ，其中 0 mn ，求不等式f ( x)g( x)0 的解集222解： f(x) ，g(x) 是奇函數(shù)， 不等式 f(x)>0的解集是 (m，n)，不等式 g(x)>0 的解集是m , n，22不等式 f(x)<0的解集是n, m ，不等式 g(x)<0 的解集是mn,22而不等式 f ( x)g ( x)0 等價于f ( x)0或f (x)0g( x)0g(x)，0所以其解集為m, nm , nn, mn , mm, nn , m222222例 6若不等式 kx 2-2x+1-k<0對滿足2k2 的所有 k 都成立，求 x 的取值范圍解：原不等

8、式可化為( x 2 1)k(2x1)0設(shè) f (k )(x 21)k( 2x 1)( 2k2)，是關(guān)于 k 的單調(diào)函數(shù)，根據(jù)題意有：f ( 2)2( x21) ( 2x 1) 02 x22x 3 0，即17x13解得22點評：用換元、 分離變量的方法在不等式的求解過程中比較常出現(xiàn)，也是解決含參數(shù)問題的重要方法例 7己知關(guān)于 x 的不等式 (ab) x(2a3b)0的解為 (, 1) ，求關(guān)于 x 的不等式3(a 3b)x(b2a)0 的解集解： (ab) x(3b2a) ，因其解集為 (,1) ，3b2a1 ，3ab0, 且ab3從而 a2b,又 ab3b0,b 0,將 a2b 代入 ( a3

9、b) x (b 2a)0 ，得bx3b 0, x3所求解集為 (, 3)例 8己知不等式ax 2bxc0 的解集為 x |x ，其中0 ，求不等式 cx 2 bx a 0 的解集解：,為方程 ax2bxc0 的兩根，b(), cba(), caaa不等式 cx2bxa0 可化為 ax2a()xa0,由己知條件得a0 得x2()x10 ,f ( 2)2(x 21)(2x1)02 x22x10即 x 2( 1 1 ) x10 ，它的解集為 x | x1 或 x1 a點評：根據(jù)解集的表示形式可以確定a0例 9解不等式：（ 1） x33x ；（ 2）122x1x解 （ 1）原不等式與不等式組3x0x)

10、 2 ，或x30同解，x3(33x0分別解不等式組得 1x3或 x3，原不等式的解集為 (1,)x10（2）原不等式與不等式組12x20同解，( x1) 212x 2解之得220x2x或，232原不等式的解集為 2 ,2 0,2 232點評 ：一個無理不等式轉(zhuǎn)化為兩個不等式組還是轉(zhuǎn)人為一個不等式組，這是解無理不等式的一個基本問題 （ 1）中的第一個不等式組中可省去x30 ，（ 2）中的不等式組中則不可1yx3和y3x 的圖象上看出，讓學(xué)生學(xué)會用圖省去任何一個 （ ）的結(jié)果可從函數(shù)象法解不等式例 10設(shè)關(guān)于 x 的二次方程px2( p1)xp10 有兩個不等的正根，且一根大于另一根的兩倍，求p

11、的取值范圍解： 由( p1) 24p( p 1) 0 ，得 12 3p12 333當(dāng) x1x21 p0及 x1p 10 時，方程的兩根為正，px2p解之，得 0p1，23故 0 p1，3記 x11 p3p26 p 1， x21 p3 p 26 p 12 p2 p，由 x22x1 ，并注意 p0 ，得33 p 26 p11 p0 ，28 p 252 p 8 0 ，即 7 p213 p 2 0 ，2p171綜上得 p 取值范圍為 p | 0p7點評：先解出 p0 ，1p0，在不等式的轉(zhuǎn)化過程中起了簡化作用例 11解不等式 log 1 a 4 x2a 2 x (a1) x(a1)2 x10, (a

12、0)2解：a4 x2 2 x (a1)x(a1)2 x1>1,a a 4 x2a 2x (a1)x(a1)2 x >0,a22 xa2x210 ,a2121aa2x2 121a當(dāng) 0<a 21<1，即 0<a<15 時，a22原不等式的解為xlog2 (21) ;aa 21當(dāng) a> 15 時，解集為 x| xloga2( 2 1);2a 21當(dāng) a= 15 時，解集為 R2小結(jié)：1 一元一次不等式、一元二次不等的求解要正確、熟練、迅速，這是解分式不等式、無理不等式、 指數(shù)不等式、對數(shù)不等式的基礎(chǔ)帶等號的分式不等式求解時，要注意分母不等于0，二次函數(shù) y

13、 ax2bx c 的值恒大于0 的條件是 a 0 且0 ；若恒大于或等于 0，則 a 0且0 若二次項系數(shù)中含參數(shù)且未指明該函數(shù)是二次函數(shù)時，必須考慮二次項系數(shù)為0 這一特殊情形2 忽略對定義域的考慮以及變形過程的不等價，是解無理不等式的常見錯誤，因此要強化對轉(zhuǎn)化的依據(jù)的思考3 數(shù)形結(jié)合起來考慮，可以簡化解題過程，特別是填空、選擇題，還可利用圖形驗證，解題的結(jié)果4 解指數(shù)、對數(shù)不等式的過程中常用到換元法底數(shù)是參數(shù)時，須不重不漏地分類討論化同底是解不等式的前提取對數(shù)也是解指數(shù)、對數(shù)不等式的常用方法之一，在取對數(shù)過程中，特別要注意必須考慮變量的取值范圍當(dāng)所取對數(shù)的底數(shù)是字母時，隨時要把“不等號是否

14、變向”這一問題斟酌再三5解含參數(shù)的不等式時，必須要注意參數(shù)的取值范圍，并在此范圍內(nèi)對參數(shù)進行分類討論分類的標準要通過理解題意（例如能根據(jù)題意挖掘出題目的隱含條件），根據(jù)方法（例如利用單調(diào)性解題時，抓住使單調(diào)性發(fā)生變化的參數(shù)值），按照解答的需要（例如進行不等式變形時必須具備的變形條件）等方面來決定，要求做到不重復(fù)、不遺漏解不等式是不等式研究的主要內(nèi)容，許多數(shù)學(xué)中的問題都可以轉(zhuǎn)化為一個解不等式的問題，如函數(shù)的定義域、值域、最值和參數(shù)的取值范圍，以及二次方程根的分布等因此解不等式在數(shù)學(xué)中有著極其重要的地位，是高考的必考內(nèi)容之一學(xué)生練習(xí)1不等式 4x>9的解集是（）xAx| <3或x>

15、;3 Bx|x>3且x 3 x2222C x| 3 <x<0 或 x> 3 D x| 3 <x< 3 2222答案 :C2不等式x2x6<0 的解集是（）x21Ax| 2<x<3Bx|x<2 或x>3 C |>2 D |x<3x xx答案 :B3不等式x1 >x 3 的解集是（）A x|3 x<5 B x|3< x 5C x|1 x<3 或 3<x<5 D x|1 x<5答案 :D4不等式 1 lg (2 x 1)> lgx的解集是（）A x| 2<x< 5

16、 B x|0< x< 5 C x|1 <x< 5 D x| x> 1 22222答案 :C5不等式組(x2)( x5)0x 5) 0 同解，則 a 的取值范圍是（）x(xa)0與不等式 ( x2)(Aa>5 B a<2 C a 5 D a 2答案 :D提示 :不等式組( x2)( x5)0的解是 2x5 且(x )0,即要求(x)x( xa)0xaxa0 的解包含 2x5，<2a6不等式 2 > 3 的解集是（）xA x| x< 2 B x| x< 2 或 x>0 C x| x> 2 且 x0 D x| 2 <

17、x<03333答案: B7不等式 2x3 <2 的解集是（）3x4A x| x> 5 B x| x< 5 或 x> 4 C x| x> 4 D x| 5 <x< 4 443343答案: B8不等式 ax2 ax ( a 1)<0的解集是全體實數(shù)，則a 的取值范圍是（）A(,0)B(,0)(4,+)3C(,0D(,0(4,+)3答案 : C 提示 : 不等式 ax2 ax( a 1)<0 的解集是全體實數(shù) , a=0 時成立，當(dāng) a<0 時 , 判別式 <0, 得 a<0 時成立， a ( , 09不等式 log 1x

18、4 <log 1 (8 x) 的解集是（）32x33A x|3 <x<2 或 x>7 B x| 3 <x<8 C x|3 <x<2 或 7<x<8 D x| x< 4222答案 :C 提示:x4>0, 8 x>0 且 x4>8 x,解得 3 <x<2 或 7<x<82 x32 x3210若不等式f(x)0的解集是 ,不等式()<0的解集是，則不等式組f (x)0的解Fg xGg( x)0集是ACR(F G) BDCR(F G)CF GF G答案 :B提示 : f( x)<0的

19、解集是 F ,g( x) 0的解集是 CRG ,f ( x)0不等式組g (x)的解集0是 CR(F G)11不等式x 1 <x 2 的解集是（）A( , 55)(55,+)B ( 5 5, 5 5)C (1,+ )D(55,+)2答案 :D12解不等式 ax2 bx2>0 得到解集 x| 1 <x< 1 ，那么 a b 的值等于23A10 B 10 C 14 D 14答案 :D 提示: x x =1,126x13不等式 ( 3)( 2)(5)>0的解集是xx答案 :x<2 或 3<x<514不等式 9xx+142· 32 >0

20、的解集是答案 :x>log 32 提示:xt2 6t 16>0,t >2 或 t < 8, x>log 32設(shè) 3 =t ,115函數(shù) y= lg ( x2 2x 2)2 的定義域是答案 :x<1 或 x>316設(shè)全集 I =R，集合 M= x|x2>2,Nxlogxlog37，那么 MCRN =|7>答案:x| x 3 或 x 2 提示 :M x| x>2 或 x< 2,N= x| 1< x<3, M CR N = x| x 3 或 x 217滿足不等式1<0 5 n< 1 的最小整數(shù)n 是51232答

21、案 :n=618若 0<a<1，則關(guān)于x 的不等式 a2x 1a( x 1) 的解集是答案 :x 1提示 : ( a2 a) x 1 a,0<a<1, a2 a<0, x 1aa19不等式 a x22x 10 >105lga( a>0, a1) 的解集是答案 :當(dāng) 0<a<1時 , 3<x<5; 當(dāng) a>1 時,x< 3 或 x>5提示 :105lga a5,當(dāng) 0<a<1 時, x2 2x 10<5, 3<x<5;當(dāng) a>1 時 , x2 2x10>5, x<

22、3或 x>520不等式log sinx ( x2 9)>0 的解集是答案 : x| 10 <x< 或 3<x< 2222提示 : 0< sinx <1 且 0<x2 9<1, x| 2 <x< 或 0<x< 或 并且 x| 10 <x< 3 或3<x< 10 , x| 10 <x< 或 3<x< 21曲線 x2y 2x y=0 的最高點的坐標是答案 : (1, 1)提示 : =4 4y2 0,y2 1,ymax=1,此時 x=1,最高點的坐標是 (1, 1)22x

23、 的不等式2xa <x1解關(guān)于答案：當(dāng) a 2 時，解集為空集；當(dāng)a> 2 時,a x<a1x a<x1, x> a ,2提示： 2 x a>0,x 1>0, 2x> 1, 當(dāng) a 2 時 , 解得 x<a 1< 1, 矛2盾；當(dāng) a> 2 時 ,a > 1， a x<a 12223已知正三角形ABC的三個頂點是A( a, 0),B( a, 0),C(0,3 a) ，其中 a>0，連接 AB邊上的點 P( x,0) 及 AC邊上的點 Q的線段 PQ把 ABC的面積二等分 , 求 | PQ|的最大值和最小值答案：

24、最小值是2 a， 最大值是3 a提示： | AP|AQ| sin 60° =2AP|= x a,2a23 a , | AQ|=ax22(2a 2222PQ| 的最小值是2 a，再討論函數(shù)的增減性，| PQ| =( x a) 4a cos60° 2a , |x a得當(dāng) x=0 或 x=a 時 , 取得最大值為3 a24 已知 6<a<10,a b 2a, c=a b, 則 c 的取值范圍是（）2A9 c 30 B9c 18 C 9<c<30 D 15<c 30答案： 提示：3a <<3 , 9< <30Cc ac2A( ，

25、 4/3)(1/2, + )B( 4/3, 1/2)C ( , 1/2) (4/3, + )D( 1/2, 4/3)答案： B26a>0, b>0,不等式 a>1> b 的解集為（）xA1<<0或0< <1Bx<1 或x> 1xxababC 1 <x<0 或 0<x< 1D 1 <x< 1abab答案： B27與不等式 x30 同解的不等式是（）2xA( x 3)(2 x) 0 B0<x 2 1 C2x 0D ( x 3)(2 x)>0答案： B 提示： x3x30 的解是 2<x

26、 3, 0<x 21 的解也是 2<x 32x28不等式2x 1 >x2的解集是（）A x 1<x<5 B x 1 x<5 C x2 x<5D x x>22答案： B129 若 f ( x)= x 3 , 則當(dāng) x>1 時， f ( x)f 1( x) ( 填 >, < 或 =)答案： <x130當(dāng) 0 x 2 時， f (x)= 4232 x27的最大值為 ;最小值為1答案： 3； 11 提示： f ( x)= 4x 232 x 27 2(2 x 3)2 11, 當(dāng) x=0 時, 最大值為 3，當(dāng) x=log 23 時

27、, 最小值為 1131函數(shù) f (x)= log 2 ( x2 4),g (x)=2x2k(k< 1), 則 f( x) g ( x) 的定義域為答案： 2 k,2) (2, + )提示： x2 4>0,得 x>2 或 x< 2, x 2k0,得 x 2k, x2 k, 2) (2, + )25 不等式 6x2 5x<4 的解集為（）32 A= x2x 10 ,B= x x2 ( a 5) x 5a<0,若 A B x 1 x<5,則 a 的x23x22取值范圍是答案： 1 ,1 提示： A= x| 1<x< 2) 或 x 1 , B= x

28、| a<x<5, 1 a 1 , a222 1,1233 不等式 x2 2 x 2 2<0 的解集是答案： 1<x<12x2x233提示： x 22<0,其中x解得 3<|x|<1|,13, 13 <x<1 334 若 x、 y R,且 x2 y2=1, 則 (1 xy)(1xy) 的最大值為;最小值為答案： 1； 342 2mx2m 2=0有實根，則兩根之積的最大值為35 若二次方程 x4x 2m 4答案： 104622解得 6x 62m 2,提示： x 2mx 4x 2m 4m2=0 有實根， 0, x1x2=2m4當(dāng) m= 6 時,12取最大值為10 46x x36 解不等式： ( x 4)( x 5) 2>(3 x 2)( x5) 2答案：