小學(xué)六年級奧數(shù)：工程問題例題

1、工程問題基本公式：1工作總量=工作效率X工作時間2工作效率=工作總量十工作時間3工作時間=工作總量十工作效率基本思路：1假設(shè)工作總量為“ 1” （和總工作量無關(guān)）；2假設(shè)一個方便的數(shù)為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍數(shù)），利用上述三個 基本關(guān)系，可以簡單地表示出工作效率及工作時間 關(guān)鍵問題：確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應(yīng)關(guān)系。舉一個簡單例子：一件工作，甲做 10 天可完成，乙做 15 天可完成.問兩人合作幾天可以完成？一件工作看成 1 個整體，因此可以把工作量算作 1.所謂工作效率，就是單位時間內(nèi)完成的工作 量，我們用的時間單位是“天”，1 天就是一個單位，因此甲

2、的工作效率是寺，乙的工作效率是右.我們想求兩人合作所需時間，就要先求兩人合作的工作效率存善，再根據(jù)基本數(shù)量關(guān)系式，得到所需時間=工作量十工作效率=6 （天）兩人合作需要 6 天.這是工程問題中最基本的問題，這一講介紹的許多例子都是從這一問題發(fā)展產(chǎn)生的、兩個人的問題標(biāo)題上說的“兩個人”，也可以是兩個組、兩個隊等等的兩個集體例 1 一件工作，甲做 9 天可以完成，乙做 6 天可以完成.現(xiàn)在甲先做了 3 天，余下的工作由乙 繼續(xù)完成.乙需要做幾天可以完成全部工作？解一：甲做了3天，完成的工作量是| =乙還需完成的工作量是1g12= 乙每天能完成的工作量（工作效率）是右，完威余下扌工作量所需吋 間是答

3、：乙需要做 4 天可完成全部工作解二：9 與 6 的最小公倍數(shù)是 18.設(shè)全部工作量是 18 份.甲每天完成 2 份，乙每天完成 3 份乙完成 余下工作所需時間是（18- 2X3 ） + 3= 4（天）例 2 一件工作，甲、乙兩人合作 30 天可以完成，共同做了 6 天后，甲離開了，由乙繼續(xù)做了 40 天 才完成如果這件工作由甲或乙單獨完成各需要多少天？解：共做了 6 天后，原來，甲做 24 天，乙做 24 天，現(xiàn)在，甲做 0 天，乙做 40= （24+16）天.這說明原來甲 24 天做的工作，可由乙做 16 天來代替.因此甲的工作效率是乙的工作效率的召一如果乙獨做，所需時間是230+ 30X

4、 -= 50（天）.如果甲獨做，所需時間是250* - 75天）-答：甲或乙獨做所需時間分別是75 天和 50 天.例 3 某工程先由甲獨做 63 天，再由乙單獨做 28 天即可完成；如果由甲、乙兩人合作，需48 天完成.現(xiàn)在甲先單獨做 42 天，然后再由乙來單獨完成，那么乙還需要做多少天？解：先對比如下：甲做 63 天，乙做 28 天；甲做 48 天，乙做 48 天.就知道甲少做 63-48=15 （天），乙要多做 48-28=20 （天），由此得出甲的工作效率是乙的工作效率的= | （倍）.甲先單獨做 42 天，比 63 天少做了 63-42=21 （天），相當(dāng)于乙要做421X-= 28（

5、天），因此，乙還要做28+28= 56（天）.答：乙還需要做 56 天.例 4 一件工程，甲隊單獨做 10 天完成，乙隊單獨做 30 天完成.現(xiàn)在兩隊合作，其間甲隊休息了 2 天，乙隊休息了 8 天（不存在兩隊同一天休息）.問開始到完工共用了多少天時間？解一：甲隊單獨做 8 天，乙隊單獨做 2 天，共完成工作量10XS +30X2余下的工作量是兩隊共同合作的，需要的天數(shù)是執(zhí)住+寺廠（天）*2+8+ 1= 11（天）.答：從開始到完工共用了 11 天.2 1丄3 6（天）、多人的工程問題我們說的多人，至少有 3 個人，當(dāng)然多人問題要比 2 人問題復(fù)雜一些，但是解題的基本思路還 是差不多例 9 一

6、件工作，甲、乙兩人合作 36 天完成，乙、丙兩人合作 45 天完成，甲、丙兩人合作要 60 天完成問甲一人獨做需要多少天完成？解：設(shè)這件工作的工作量是 1.甲.乙兩人合作每天完成尋；乙、丙兩人合作每天完成右；甲*丙兩人合作每天完成二甲、乙、丙三人合作每天完成減去乙、丙兩人每天完成的工作量，甲每天完成1804590甲獨做需要丄=90（天）答：甲一人獨做需要 90 天完成例 10 一件工作，甲獨做要 12 天，乙獨做要 18 天，丙獨做要 24 天這件工作由甲先做了若干天， 然后由乙接著做，乙做的天數(shù)是甲做的天數(shù)的3 倍，再由丙接著做，丙做的天數(shù)是乙做的天數(shù)的2倍，終于做完了這件工作問總共用了多少

7、天？解：甲做 1 天，乙就做 3 天，丙就做 3 X 2=6 （天）.甲做1天.完成工作量的補，乙就完成工作量的穆*玉丙就完成工作12Io量的 A6共完成24說明甲做了 2 天，乙做了 2X3=6 （天），丙做 2X6=12（天），三人一共做了2+6+12=20 （天）答：完成這項工作用了 20 天.例 13 制作一批零件，甲車間要10 天完成，如果甲車間與乙車間一起做只要6 天就能完成乙車間與丙車間一起做，需要 8 天才能完成現(xiàn)在三個車間一起做， 完成后發(fā)現(xiàn)甲車間比乙車間多制作零件 2400 個.問丙車間制作了多少個零件？解一：仍設(shè)總工作量為 1.常囂尬篇臨盤5時航甲每天比乙多完成J_ J_

8、=J_lb!? 30因此這批零件的總數(shù)是4Q 2400 =16200（個）930丙車間制作的零件數(shù)目是16200 X -X = -4200（個）.1209答：丙車間制作了 4200 個零件.三、水管問題從數(shù)學(xué)的內(nèi)容來看，水管問題與工程問題是一樣的 水池的注水或排水相當(dāng)于一項工程，注水量或排水量就是工作量單位時間里的注水量或排水量就是工作效率至于又有注入又有排出的問題，不過是工作量有加有減罷了 因此，水管問題與工程問題的解題思路基本相同例 15 甲、乙兩管同時打開，9 分鐘能注滿水池現(xiàn)在，先打開甲管，10 分鐘后打開乙管，經(jīng)過3 分鐘就注滿了水池.已知甲管比乙管每分鐘多注入 0.6 立方米水，這

9、個水池的容積是多少立方米？解設(shè)水池容量為L甲、乙兩管共同注水3分鐘，注入水量是甲每分鐘注入水量是（1?。?10三yy乙每分鐘注入水量是1 1 _ 29 45?因此水池容積是0.6 *一名）=27（立方米）答：水池容積是 27 立方米.例 18 一個蓄水池，每分鐘流入 4 立方米水.如果打開 5 個水龍頭，2 小時半就把水池水放空，如果打開 8 個水龍頭，1 小時半就把水池水放空.現(xiàn)在打開 13 個水龍頭，問要多少時間才能把水放空？解：先計算 1 個水龍頭每分鐘放出水量2 小時半比 1 小時半多 60 分鐘，多流入水4X60= 240 （立方米）時間都用分鐘作單位，1 個水龍頭每分鐘放水量是24

10、0 -（ 5X150- 8X90 ） = 8 （立方米），8 個水龍頭 1 個半小時放出的水量是8X8X90,其中 90 分鐘內(nèi)流入水量是 4X90，因此原來水池中存有水 8X8X90-4X90= 5400（立 方米）打開 13 個水龍頭每分鐘可以放出水8X13,除去每分鐘流入 4，其余將放出原存的水，放空原存的 5400,需要5400 -（ 8X13- 4 ） =54 （分鐘）答：打開 13 個龍頭，放空水池要 54 分鐘水池中的水，有兩部分，原存有水與新流入的水，就需要分開考慮，解本題的關(guān)鍵是先求出池中 原存有的水這在題目中卻是隱含著的例 19 一個水池，地下水從四壁滲入池中，每小時滲入水量是固定的 .打開 A 管，8 小時可將滿 池水排空，打開 C 管，12 小時可將滿池水排空.如果打開 A, B 兩管，4 小時可將水排空問打開 B, C 兩管，要幾小時才能將滿池水排空？解：設(shè)滿水池的水量為 1.A 管每小時排出:小時滲入水量，OA 管 4 小時排出*+4小時滲入冰量.因為