《起重運輸機械實驗技術》第六章 dft和

1、.二、采樣信號的傅氏變換 1. 時域采樣.2. 頻域采樣.2-1 2-1 引言 信號與系統(tǒng)的分析方法有時域、變換域兩種。一.時域分析法 1.連續(xù)時間信號與系統(tǒng)： 信號的時域運算，時域分解，經典時域 分析法，近代時域分析法，卷積積分。 2.離散時間信號與系統(tǒng)： 序列的變換與運算，卷積和，差分方程 的求解。二.變換域分析法 1.連續(xù)時間信號與系統(tǒng)： 信號與系統(tǒng)的頻域分析、復頻域 分析。 2.離散時間信號與系統(tǒng)： Z變換，DFT(FFT)。 Z變換可將差分方程轉化為代數方程。15141441)()41(15164144)()4(41241zzzzXzAzzXzA414)41)(4()(21zAzAz

2、zzzzX)41416(1514115141516)(4115/1415/16)(zzzzzzzzzXzzzzX 4-Z) 4Z+Z + Z + Z + Z +241311645164.16 Z16 Z - 4 Z 24 Z 4 Z - Z Z Z - Z Z Z - Z Z 2233314141444411655116. Z- ) Z141+ Z + Z + Z 14-1116-2164-3.Z- 141414- Z116-1 Z116-1 Z116-1- Z164-2 Z164-2 Z164-2- Z1256-3 Z1256-3.0,)41(1511,)4(151)()6416414416

3、64(151)(23212345nnnxzzzzzzzzzXnn進而得：得),min(),max(),()()()(yxyxRRzRRzbYzaXnbynaxZ例2-7已知 ,求其z變換。)()cos()(0nunnx1,111121)()cos(1,11)(1,11)(,11)()(21)()cos(11011100000000000zzezenunZezzenueZezzenueZazaznuaZnueenunjjjjnjjjnjnnjnj因此，解：2. 2. 序列的移位序列的移位xxmRzRzXzmnxZ;)()(如果則有：xxRzRzXnxZ, )()(例2-8 求序列x(n)=u(n

4、)-u(n-3)的z變換。1,111)(1,11)3(1,1)(22223zzzzzzzznxZzzzzzznuZzzznuZ3. 3. Z Z域尺度變換域尺度變換( (乘以指數序列乘以指數序列) )xxnRazRaazXnxaZ;)()(xxRzRzXnxZ, )()(如果，則證明：如果，則證明：dzzdXznnxZznnxzznnxzdzdnxznxdzddzzdXznxzXnnnnnnnnnn)()()()()()()()(,)()(11即，對其兩端求導得5. 5. 共軛序列共軛序列的共軛序列。為其中，)()(;)()(*nxnxRzRzXnxZxx如果xxRzRzXnxZ, )()(，

5、則證明：;)()()()()(*xxnnnnnnRzRzXznxznxznxnxZ，6. 翻褶序列xxRzRzXnxZ11;)1()(如果xxRzRzXnxZ, )()(，則證明：xxxxnnnnnnRzRRzRzXznxznxznxnxZ11)1()()()()(11即，。，則對于因果序列)(lim)0()(zXxnxz證明：) 0 ()(lim,) 2 () 1 () 0 ()()()()(210 xzXzxzxxznxznunxzXznnnn顯然 又由于只允許X(z)在z=1處可能有一階極點，故因子（z-1)將抵消這一極點，因此(z-1)X(z)在上收斂。所以可取z 1的極限。 z19.

6、 9. 有限項累加特性有限項累加特性nmxxRzzXzzmxZRznxZzXnx0 1 ,max),(1)(,),()()(則，且對于因果序列證明：，交換求和次序，得的取值范圍分別為可知，令, 0,)()()(),()(0000 nmmnmnzmxmxZnyZmxnynnmnnmnm 1 ,max),(1)(1111)()()()()()(00110210000 xmmmmmmmmnnnnnmnmRzzXzzzmxzzzmxzzzmxzmxzmxmxZ10.10.序列的卷積和序列的卷積和( (時域卷積定理時域卷積定理) ) 證明：,min,max),()()()()( )()( )()()()

7、()()()(hxhxmmlmlmnnmnnmnnRRzRRzHzXzHzmxzzlhmxzmnhmxzmnhmxznhnxnhnxZ例2-9.),()()(),1()()(),()(1abnhnxnynuabnubnhnuanxnnn求已知)()()()()(.)()()()()()(;,)()(;,)()(11nubzYZnhnxnybzzYzHzXbzzbzazazzzHzXzYbzbzazbzabzzbzzazbzznhZzHazazznxZzXn的收斂域擴大，為的零點相消，的極點與解：其中,C是在變量V平面上，X(z/v),H(v)公共收斂域內環(huán)原點的一條逆時針單封閉圍線。 （證明從

8、略）nxnxccnnxxRRzRRdvvvzHvXjdvvvHvzXjnyZzYRzRnhZzHRzRnxZzXnhnxny;)()(21)()(21)()(),()(;),()(),()()(11則有：，且如果例2-10).()()(),1()(),()(1nhnxZzYnubnhnuanxnn求已知;,)(21121)()()(;,1)()(;,)()(ccabzdvbvzavvjdvbvzavvjnhnxZzYbzbznhZzHazazznxZzX解：，用留數可得：內只有一個極點因此圍線重疊部分為，即為的收斂域，而的收斂域為avcbzvabzvbvzvzHavvX;)()(.,)(Re)

9、(21)(abzabzabvzvbvzavvsdvbvzavvjzYavavc 12.12.帕塞瓦定理帕塞瓦定理( (parseval)parseval)其中“*”表示復共軛，閉合積分圍線C在公共收斂域內。 （證明從略）dHxjnhnxcn1*)1()(21)()(.1;,)()(;,)()(nxnxhhxxRRRRRzRnhZzHRzRnxZzX且如果則有:*幾點說明：。為實序列時，則當dHxjnhnxnhcn1)1()(21)()()(.1。則時，當圍線取單位圓deHeXnhnxevvvjjnj)()(21)()(,/11. 2爾公式（定理）。頻譜求得。這就是帕塞這表明序列的能量可用。時，

10、則當djXnxnxnhn22)(21)()()(. 3一.Z變換與拉氏變換的關系設 為連續(xù)信號， 為其理想抽樣信號，則)(txa)( txa nnnsTanTsanstastnastaaaenTxenTxdtnTtenTxdtenTtnTxdtetxtxLsX)()()()()()()()(（nnsTaaaenTxtxLsX)()()(因此， 序列x(n)的z變換為 ，考慮到 ,顯然，當 時，序列x(n) 的 z 變換就等于理想抽樣信號的拉氏變換。)()(nTxnxannznxzX)()(sTez)()()(sXeXzXasTezsT即2.2.Z Z變換與拉氏變換的關系變換與拉氏變換的關系(

11、( S S、Z Z平面映射關系）平面映射關系） S平面用直角坐標表示為： Z平面用極坐標表示為： 又由于 所以有：因此， ;這就是說， Z的模只與S的實部相對應, Z的相角只與S虛部相對應。TerT,TjTjeerezsTez jrez js =0,即S平面的虛軸 r=1,即Z平面單位圓； 0,即S的左半平面 r0, 即S的右半平面 r1,即Z的單位圓外 。(1).r與的關系)(Ter= 0，S平面的實軸， = 0，Z平面正實軸；=0(常數)，S:平行實軸的直線， = 0T,Z:始于 原點的射線； S:寬 的水平條帶， 整個z平面.jImZReZTTT2),(2).與的關系（=T）),(j二二

12、. .Z Z變換和傅氏變換的關系變換和傅氏變換的關系 連續(xù)信號經理想抽樣后,其頻譜產生周期延拓， 即 我們知道,傅氏變換是拉氏變換在虛軸S=j 的特例,因而映射到Z平面上為單位圓。因此, 這就是說,（抽樣）序列在單位圓上的Z變換,就等 于理想抽樣信號傅氏變換。 用數字頻率作為Z平面的單位圓的參數， 表示Z平面的輻角，且 。kaaTjkjXTjX)2(1)()()()(jXeXzXaTjezTjjezT，則考慮到T)()()(jXeXzXajezjkaaTjkjXTjX)2(1)(又)2(1)()(kajezTkjXTeXzXj所以，序列在單位圓上的Z變換為序列的傅氏變換。deexdzzzXjn

13、xeXFnjjznj)(21)(21)()(1111.正變換:2.反變換:一、共軛對稱序列與共軛反對稱序列 設一復序列，如果滿足xe(n)=xe*(-n)則稱序列為共軛對稱序列。下面分析它們的對稱關系。 設序列 其中 分別表示的實部和虛部。對其兩邊取共軛，則再將-n代入，則根據定義，則 這說明共軛對稱序列的實部是偶對稱序列（偶函數），而虛部是奇對稱序列（奇函數）。*特殊地，如是實序列，共軛對稱序列就是偶對稱序列。)()()(njxnxnxeiere)()(nxnxeier和)()()(*njxnxnxeiere)()()(*njxnxnxeiere)()();()(nxnxnxnxeieier

14、er 設一復序列，如果滿足xo(n)=-xo*(-n) 則稱序列為共軛反對稱序列。同樣有：)()()()()()()()()()()()(*njxnxnxnjxnxnxnjxnxnxnjxnxnxoiorooiorooiorooioro根據定義，則)()();()(nxnxnxnxoioioror 這說明共軛反對稱序列的實部是奇對稱序列（奇函數），而虛部是偶對稱序列（偶函數）。 *特殊地，如是實序列，共軛反對稱序列就是奇對稱序列。 二、任一序列可表為共軛對稱序列與共軛反對稱序列之和)()()(nxnxnxoe即)()()()()()(nxnxjnxnxnxnxoieioreroe這是因為故有所

15、證。構成任何序列的虛部?？蔀閷嵠婧瘮?，它們之和實偶函數，為列的實部；它們之和可構成任何序為實奇函數，為實偶函數，其中，)()()()(nxnxnxnxoieiorer)()(21)()()(21)()()()()()()()()(*nxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxnxoeoeoeoe相減，則相加，則進行運算，則對序列三、序列的傅氏變換可表為共軛對稱分量 與共軛反對稱分量之和)()()(jojejeXeXeX其中，)()(21)()()(21)(*jjjojjjeeXeXeXeXeXeX四、兩個基本性質，則有如果)()(. 1nxFeXj)()(*nxFeXj證明：)()()

16、()()(*jnjnnjnnjneXenxenxenxnxF，則有如果)()(. 2nxFeXj)()(*nxFeXj證明：)()()()()(*jnjnnjnnjneXenxenxenxnxF五、序列的實、虛部與其傅氏變換偶、奇部的關系)()(RejeeXnxF即，證明：)()()(21)(Re)()(21)(Re*jejjeXeXeXnxFnxnxnxj倍虛部的傅氏變換等于其傅氏變換的奇部)()(ImjoeXnxjF即，證明：)()()(21)(Im)()(21)(Im*jojjeXeXeXnxjFnxnxnxj六、序列的偶、奇部與其傅氏變換的實、 虛部的關系)()(jReeXnxF即，證

17、明：)()()(21)()()(21)(*jRjjeeeXeXeXnxFnxnxnx 再乘以j。)()(jIoejXnxF即，)()()()()(21)()(21)()()(21)(*jIjIjRjIjRjjooejXejXeXejXeXeXeXnxFnxnxnx證明：七、序列為實序列的情況、奇函數。為奇序列、奇對稱序列、偶函數；為偶序列、偶對稱序列)()()()()(. 1nxnxnxnxnxeeoe)()(),()(. 4)()(21)(. 3)()(21)(. 2*nxnxeXeXnxnxnxnxnxnxjjoe的共軛。換等于其傅氏變換即序列翻褶后的傅氏變)()(. 5*jeXnxF)(

18、Im)(Im)(Im)(Re)(Re)(Re. 6*jjjjjjeXeXeXeXeXeX奇函數，即是的實序列傅氏變換的虛部同樣，偶函數，即是的實序列傅氏變換的實部)(arg)(Re/)(Imarg)(Re/)(argIm)(arg)(arg)()()(. 7*jjjjjjjjjjeXeXeXeXeXeXeXeXeXeX奇函數，即是的實序列傅氏變換的幅角同樣，偶函數，即的實序列傅氏變換的模是8.實序列也有如下性質：)(Im)()()(Re)()(jjIojjReeXjeXnxFeXeXnxF線性移不變系統(tǒng) h(n)為單位抽樣響應h(n)x(n) (n)y)()()(),()()(zXzYzHzHzXzY H(