《誤差理論與測量平差》

1、.緒 論一、本課程在測繪科學與技術中的作用與地位一、本課程在測繪科學與技術中的作用與地位二、測量誤差與測量平差二、測量誤差與測量平差v 誤差與測量誤差v 測量誤差的來源v 測量誤差的分類v 測量誤差與多余觀測帶來的問題v 測量平差的誕生三、本課程的體系結構三、本課程的體系結構v 誤差理論v 平差方法四、測量平差的目的和意義四、測量平差的目的和意義.第四講 平差數學模型與最小二乘原理一、概述 誤差理論：研究觀測值與觀測誤差的隨機特性、分布情況、數字特征、誤差的傳播規(guī)律。用一個公式表示即 （1） （2） 測量平差：就是按一定的平差原則處理一個幾何物理關系模型中由于觀測誤差引起的不閉合問題，估計關系

2、模型中觀測值和未知量的值，評價它們的精度0KKLX.平差原則和任務平差原則和任務平差的原則平差的原則： 估計的無偏性、有效性、一致性； 最大概率原則； 最小二乘法則。平差的任務平差的任務：對測量得出的觀測值的統(tǒng)計特性進行檢驗，按一定的準則最小二乘原理，求出數學模型中待定參數的最佳估計值，并研究這些估值的統(tǒng)計特性。第四講 平差數學模型與最小二乘原理.第四章 平差數學模型與最小二乘原理 處理方法： 建立平差問題的幾何物理關系模型（函數模型） 建立觀測值的隨機模型 （先驗方差） 應用最小二乘原理 0321180LLL0321180LLL1200PQDLLLLminPVVT.第四講 平差數學模型與最小

3、二乘原理 根據函數模型給出的方式不同，平差方法分為四個基本類型 條件平差 r個條件（r個多余觀測r=n-t） 間接平差 引入t個未知數（獨立） 附有參數的條件平差 引入u個未知數產 生r+u個條件 附有限制條件的間接平差 選定ut個未知數，u個未知數產生u-t個條件0）（LF）（XFLn10),(1XLFC0)()(111XXFLsun.第四講 平差數學模型與最小二乘原理二、參數點估計與平差原則 觀測量的統(tǒng)計性質 數理統(tǒng)計學：運用概率的基本觀點，對研究對象的客 觀規(guī)律性作出合理的估計和推斷。 母體：在測量工作中，某項觀測所有可能取得的觀測值的全體。 子樣：某觀測組的幾個觀測值。.第四講 平差數

4、學模型與最小二乘原理參數估計：對平差模型中未知數及其方差、協(xié)方差的估計 函數模型 rn個未知量 如何確定 ，只有對平差數學模型附加某種約束，才可獲得唯一解，于是提出一個準則-最小二乘原理0321180LLL321LLL，)(),(),(XDDLD.第四講 平差數學模型與最小二乘原理 參數估計分類： 平差的實質是對隨機變量（觀測量）的估值問題。 區(qū)間估計其它方法最大似然估計矩法點估計（定值估計）參數估計.第四講 平差數學模型與最小二乘原理參數估計的最優(yōu)性質 例對一個兩進行同性質獨立的幾次觀測，我們用 作為這個量的真值的估值 例三角形閉合差問題 把 作為 的真值估計 用觀測值來估計參數的真值的國策

5、懷念感叫參數估計，參數估計有多種方法，如何取得最佳估值是測量平差追求的目標。niixnx11wLL31111L.第四講 平差數學模型與最小二乘原理參數估計的優(yōu)劣進行評價是按以下三個方面來進行的(1)無偏性：無偏性：設 為參數 的估計量，若 ，則 為 的無偏估計。 )(E)(.)()(1)(21nxExExEnxE的無偏估計為xxxnnnxENXxxxxxxxi1).(1)(),( .第四講 平差數學模型與最小二乘原理 (2)一致性：一致性： 為任意小正數。 嚴格致性： 1)|(|PLimn0lim)(2EEn2222211)(1)(1)1()(nnnXDnXDnXnDXDiii0)(limXD

6、n的嚴格一致性估計為XX.第四講 平差數學模型與最小二乘原理有效性：有效性：若 的無偏估計量不唯一，若 則 比 有效，若 則 為 的最有效估計量稱為最優(yōu)無偏估計量 在測量平差中，參數的最佳估值要求是最優(yōu)無偏估計量 最小二乘估計與極大似然估計是最優(yōu)無偏估計，因為他們的估計原則是使 的估計量V)()(21DD12min)(DminPVVT.第四講 平差數學模型與最小二乘原理二、參數估計方法二、參數估計方法（1）矩法：）矩法：用子樣矩的函數，作為相應的每體矩的同樣函數的估計。子樣均值 是母體數學期望的最優(yōu)無偏估計，它是子樣的一階原點矩。矩法的特點是方法直觀，不必知道母體的分布類型。niixnx11.

7、第四講 平差數學模型與最小二乘原理（2）最大似然法：）最大似然法：使子樣出現的概率為最大時的未知參數估計方法。 設母體的分布函數為f（x;），為未知參數， 對抽得到的子樣為（x1，x2，xn），則落在i（1in）鄰域dx上的概率為f（xi;）dx，因子樣觀測值互相獨立，所以子樣觀測值同時出現的概率為 nniinndxxfdxxfxfxfP)( );()(;().;();(121.第四講 平差數學模型與最小二乘原理(dx)n對于不同的為常量，要使P最大，則需可以得到的最大似然估值 。最大似然法的特點是，估計時必須知道母體的分布類型，確定f（）。max );(1niixfG0G.第四講 平差數學模

8、型與最小二乘原理（3）最小二乘原理）最小二乘原理： 可以從兩個方面來說明這樣的估計值是最優(yōu)估計值 最小二乘法：觀測值對于 估計值 偏離量的平方和最小，用 作為 的估計 極大似然值：觀測值應使L的聯合密度函數取極大值)()(21|)2ln(ln12/12/XALDXALDGLLTLLnL.第四講 平差數學模型與最小二乘原理最小二乘法：最小二乘法： 有物理模型（位置時間模型）Y表示勻速運動質點在 時刻的位置， 為其速度 y=+ 即 在 時刻有一組觀測值 （i=1,2,n) 現在要對 進行估計 是 最佳擬合觀測點。按照最小二乘原理的要求，就是應使觀測點到擬合直線的平方和達到最小Yiy3 , 2 ,

9、1( i, Y.第四講 平差數學模型與最小二乘原理 所謂最小二乘原理，即是要在滿足 條件下求解估值 上式也可寫成 iyiiiiiyyyv最小VVTmin)(1212niiiniiLv,.第四講 平差數學模型與最小二乘原理 最小二乘法的特點：只要是線性關系（或可線性化）的參數估計問題；則不論觀測列的分布如何，均可按最小二乘法進行參數的估計，它是一種可以不考慮任何統(tǒng)計特性的估計方法。這是與最大似然法所不同的。 .第四講 平差數學模型與最小二乘原理極大似然法 作為 的估值，它是L的一切可能取值中選出的使樣本觀測值L出現概率為最大的值（當然L在 的概率是最大的） 即LLL)()(21exp|)2(11

10、212LTLnLDLDGmin)()(1LLDLLTminPVVT.第四講 平差方法條件平差一、基本概念一、基本概念1、必要觀測 為了確定觀測對象的位置或形狀、大小所必須的最少觀測數，稱為必要觀測。2、多余觀測 實際觀測數與必要觀測數之差，稱為多余觀測。3、閉合差 舉例說明4、條件平差及其目的.第四講 平差方法條件平差二、條件平差原理二、條件平差原理 條件平差：以條件方程的形式來建立函數模型，根據最小二乘原理解一組條件方程的極值問題（拉格朗日乘數法）從而獲取觀測量的最佳估值的平差方法 在平差問題中，有n個觀測值L，其協(xié)方差陣為 ，由于存在 r=n-t個多余觀測，就使 存在r個限制（也就是 必須

11、滿足平差問題的r個幾何關系）我們要求 的估值 應有r個條件，由此組成條件方程組。 r個條件方程 現在要求 （ 的估值）LLDLL1nL1nL00 ALALL.第四講 平差方法條件平差原理：1、條件方程：在一個平差問題中，由于存在r個多余觀測，使得n個 之間存在的r個幾何物理關系模型 多一個L就需多一個 ，就多一個限制條件（幾何關系） 令 （即在L的基礎上加改正數獲得平差值）LLLn1來估計由00 ALALVL)( , 00AALWWAV.第四講 平差方法條件平差 r個條件不能直接求取n個平差值 2、利用最小二乘原理可以確定 的最優(yōu)估值 ，這就是求條件極值問題 的極值（引入系數K） 求偏導 得極

12、值點 （利用 ）1nLLL)(2WAVKPVVTT022AKPVdVdTTKAPVT1TPP .第四講 平差方法條件平差 3、將V代入條件方程AV+W=0 得 4、 5、01WKAAPT0WKNaWNaK1KQAKAPVTT1VLL.第四講 平差方法條件平差 于是 的最優(yōu)估值 即得 此時 既符合最小二乘原理，又滿足幾何關系（條件方程） 觀測量的平差值，觀測量的估值，最或是值，最優(yōu)估值 解題步驟： 列出r個條件方程AV+W=0 組成法方程 解法方程，求系數K 求改正數01WKAAPTKAPVT1LLL.第四講 平差方法條件平差（續(xù)）舉例舉例 水準網如右圖：觀測值及其權陣如下：TL216. 109

13、9. 0078. 0142. 1114. 1023. 05 . 25 . 25 . 2111diagP .第四講 平差方法條件平差（續(xù)）誤差方程 法方程法方程的解0432101100110010011001654321vvvvvv0432922292229321kkk11611504329222922291321kkk.第四講 平差方法條件平差（續(xù)）按（5）求改正數V：求觀測值的平差值：檢核：2 . 09 . 01 . 17 . 23 . 2011611501100111011000100015 . 20000005 . 20000005 . 200000010000001000000111K

14、APVTTVLL2162. 10999. 00769. 01393. 11163. 10230. 000769. 01393. 12162. 102162. 10999. 01163. 100999. 00769. 00230. 0436652641LLLLLLLLL.第四講 平差方法條件平差（續(xù)）四、條件平差的求解步驟四、條件平差的求解步驟 （1）根據具體問題列條件方程（1）式； （2）組成法方程（4）式； （3）解法方程； （4）按（5）式求改正數V； （5）求觀測值的平差值 ； （6）檢核。VLL.第四講 平差方法條件平差（續(xù)）五、條件方程的列立五、條件方程的列立 在平差問題中，n個觀測

15、值中存在r個多余觀測，使平差值 應滿足r條件方程，這r個條件方程應是線性無關的，即每個條件均是獨立的條件。 若列出的條件方程可由這r個線性無關的條件方程作線性組合，也就是說其中有一個條件方程可由其余的條件方程運算得到，則這個條件方程實際上是無效條件，平差過程將無法進行（方程數不夠）。.第四講 平差方法條件平差（續(xù)） 以上條件方程實際只有2個有效的條件方程，2個線性無關的條件方程，因此，條件方程的建立，一定要找出r個線性無關的條件。為此，應從圖形的n個單元分別建立，并考慮條件方程的形式而使易于立列。065432106540321360180180LLLLLLLLLLLL.第四講 平差方法條件平差

16、（續(xù)）列條件方程的原則:1、足數；2、獨立；3、最簡水準網的條件方程1、水準網的分類及水準網的基準、水準網的分類及水準網的基準 有已知點和無已知點兩類。要確定各點的高程，需要1個高程基準。2、水準網中必要觀測數、水準網中必要觀測數t的確定的確定（保證足數） 有已知點：t等于待定點的個數 無已知點： t等于總點數減一3、水準網中條件方程的分類、水準網中條件方程的分類 附合條件和閉合條件兩類 已知點個數大于1：存在附合和閉合兩類條件 已知點個數小于等于1：只有閉合條件.第四講 平差方法條件平差（續(xù)）4、水準網中條件方程的列立方法、水準網中條件方程的列立方法（保證獨立）（1）、先列附合條件，再列閉合

17、條件（2）、附合條件按測段少的路線列立，附合條件的個數等于已知點的個數減一 (3)、閉合條件按小環(huán)列立（保證最簡），一個水準網中有多少個小環(huán)，就列多少個閉合條件 在水準網條件平差中，按以上方法列條件方程，一定能滿足所列條件方程足數、獨立、最簡的原則。.第四講 平差方法條件平差（續(xù)）條件方程分別沿不同的路線列，涉及最少的平差值 兩點之間沿不同路線有相同的高差 兩已知點間的高差應等于其間路線上高差的累計 閉合環(huán)的高差為0.第四講 平差方法條件平差（續(xù)）5、水準網條件方程列立舉例、水準網條件方程列立舉例.第四講 平差方法條件平差（續(xù)）.第四講 平差方法條件平差（續(xù)）.第四講 平差方法條件平差（續(xù)）G

18、PS基線向量網三維無約束條件平差的條件方程1、GPS基線向量網的觀測值：基線向量網的觀測值： 一條基線三個觀測值，他們是 ,n=3s，s是基線數。2、GPS基線向量網三維無約束平差的基準及必要觀測數基線向量網三維無約束平差的基準及必要觀測數t 三個坐標基準 。必要觀測數為 ，m 為總點數。所以條件方程的個數為：r=3（s-m）+33、GPS基線向量網三維無約束平差的條件方程的列立基線向量網三維無約束平差的條件方程的列立 按三角形列條件方程，每個三角形中應保證至少有一條基線是新基線，如此列立，可保證足數、獨立、最簡的原則。ijijijzyx,zyx,) 1( 3mt.第四講 平差方法條件平差（續(xù)

19、）4、 GPS基線向量網三維無約束平差條件方程列立舉例基線向量網三維無約束平差條件方程列立舉例 圖1 圖2圖1中r =3（3-3）+3=3，即三個條件方程。這三個條件方程如下：圖2中，r=3（6-4）+3=9，即9個條件方程。 )()()(CABCABzzzCABCAByyyCABCABxxxzzzvvvyyyvvvxxxvvvCABCABCABCABCABCAB.第四講 平差方法條件平差（續(xù)）4、 GPS基線向量網三維無約束平差條件方程列立舉例基線向量網三維無約束平差條件方程列立舉例n = 3*22=66，t = 3*（9-1）=24，r =3（22-9）+3= 42.第四講 平差方法條件平

20、差（續(xù)）三角網(測角網)的條件方程1、三角網的觀測值、三角網的觀測值 三角網的觀測值很簡單，全部是角度觀測值。2、三角網的作用、三角網的作用 確定待定點的平面坐標。3、三角網的類型、三角網的類型 單三角形、大地四邊形、中點多邊形、組合圖形4、三角網的基準數據、三角網的基準數據 在三角測量中，要確定各三角點的平面坐標，必須先建立平面坐標系。在平面坐標系中，只要已知任意一個點的坐標、任意一條邊的方位角和任意一條邊的邊長，那么，這個平面圖形在平面坐標系中的位置、大小和方向就唯一地確定了。因此，三角測量中的基準數據為：位置基準 2個（任意一點的坐標 ）、方位基準 1個（任意一條邊的方位角 ）以及長度基

21、準 1個（任意一條邊的邊長 ）。這四個基準數據等價于已知兩個點的坐標。00, yx00S.第四講 平差方法條件平差（續(xù)）5、三角網中必要觀測數、三角網中必要觀測數 t 的規(guī)律的規(guī)律 有兩個或兩個以上已知坐標點時，確定一個未知點的坐標需要2個必要觀測值，確定m個未知點的坐標時需要2m個必要觀測。即 有足夠的基準數據：t =2m，m為待定點點數； 有一個或無已知點，確定m個未知點組成的三角網的形狀，三角網總點數m：t=（m-2）*2。若還要確定三角網的大小，則需要一個邊長觀測，t=（m-2）*2-1。再要確定三角網大小和位置，則需有兩個已知點，見具體分析。.第四講 平差方法條件平差（續(xù)）6、三角網

22、中條件方程的列法、三角網中條件方程的列法圖形條件（內角和條件）：圖形條件（內角和條件）：三角形三內角和等于180度；圓周條件（水平條件）：圓周條件（水平條件）：圓周角等于360度；極條件（邊長條件）正弦定律：極條件（邊長條件）正弦定律：由不同推算路線得到的同一邊的邊長相等。.第四講 平差方法條件平差（續(xù)） 對極條件線性化（在觀測值處線性化）33112211sinsinsinsinsinsinsinsinabcbBAbacaBA1sinsinsinsinsinsin332211abbaba1BDCDCDADADBD即.第四講 平差方法條件平差（續(xù)）ciiibiiiaiiivccvbbvaa,1)

23、sin()sin()sin()sin()sin()sin(332211332211bbbaaavbvbvbvavava0cotsinsinsinsinsinsincotsinsinsinsinsinsincotsinsinsinsinsinsincotsinsinsinsinsinsincotsinsinsinsinsinsincotsinsinsinsinsinsin1sinsinsinsinsinsin333213212232132111321321333213212232132111321321321321 bbbaaavbbbbaaavbbbbaaavbbbbaaavabbbaaava

24、bbbaaavabbbaaabbbaaa0)sinsinsinsinsinsin1 (cotcotcotcotcotcot321321332211332211 aaabbbvbvbvbvavavabbbaaa化簡：.第四講 平差方法條件平差（續(xù)）7、三角網中條件方程的列立舉例、三角網中條件方程的列立舉例圖1中，n=3，t=2，r=1，即一個圖形條件。圖2中，n=8，t=4，r=4，即三個圖形條件，一個極條件。.第四講 平差方法條件平差（續(xù)） 圖3中，n=15,t=8,r=15-8=7，即5個圖形條件，一個圓周條件，一個極條件。 由以上三例知，三角形只有圖形條件；大地四邊形有圖形條件和極條件兩類

25、條件；只有中點多邊形才有全部的三類條件。.第四講 平差方法條件平差（續(xù)）用一般符號列出圖4的條件方程：n=33.第四講 平差方法條件平差（續(xù)）三邊網(測邊網)的條件方程1、三邊網的觀測值、三邊網的觀測值 三邊網的觀測值也很簡單，全部是邊長觀測值。2、三邊網的作用、三邊網的作用 也是確定待定點的平面坐標。3、三邊網的類型、三邊網的類型 單三邊形、大地四邊形、中點多邊形、組合圖形4、三邊網的基準數據、三邊網的基準數據 三邊網與三角網的區(qū)別是觀測值。由于在三邊測量中，觀測值中帶有長度基準。所以，三邊測量中不需要長度基準。因此三邊網的基準數據為：位置基準 2個（任意一點的坐標 ）、方位基準 1個（任意

26、一條邊的方位角 ），即三個基準。00, yx0.第四講 平差方法條件平差（續(xù)）5、三邊網中必要觀測數、三邊網中必要觀測數 t 的確定的確定 有足夠的基準數據：t =2m，m為待定點點數； 無足夠的基準數據：t =2z - 3, z為三角網中的總點數。 單三角形： t =2 3 3=3，而n=3，故r=n-t=3-3=0 大地四邊形：t =2 4 3=5，而n=6，故r=n-t=6-5=1 中點N邊形： t =2（N+1） 3=2N-1，而n=2N，故r=n-t=2N-2N+1=1。 以上各式表明：在測邊網中，單三角形不存在條件，大地四邊形和中點多邊形都只一個條件。故測邊網中條件方程的個數等于大

27、地四邊形和中點多邊形的個數之和。.第四講 平差方法條件平差（續(xù)）6、三邊網中條件方程的列立、三邊網中條件方程的列立 可按角度閉合、也可按邊長閉合、還可按面積閉合列立。 利用觀測邊長求出網中的內角，列出角度滿足的條件，然后以邊長改正數代換角度改正數，得到以邊長改正數表示的圖形條件。 邊角關系、余弦定理建立邊長改正數與角度改正數的關系 ASSSSScbcbacos2222)coscos(1cbaaBdSCdSdShdA)coscos(scsbsaaABVCVVhV .第四講 平差方法條件平差（續(xù)）以坐標為觀測值的條件方程 用數字化儀、掃描儀對地面兩點坐標數字化得出的值是機械坐標系統(tǒng)的坐標，經變換可

28、得到地面坐標系統(tǒng)中的坐標值，由于數字化過程有誤差，使觀測坐標不閉合，應與平差 1、直角與直線的條件方程 設觀測三點 j 、k、h的坐標為 已知 與 間夾角為 由此可通過角度建立坐標間的條件方程hhkkjjYXYXYX、，、，、jhjk0.第四講 平差方法條件平差（續(xù)） 即 線性化得 2、距離計算的條件方程0jhjk0)()()()(arctan)()()()(arctan0 xjjxhhyjjyhhxjjxkkyjjykkVXVXVYVYVXVXVYVY021220000000000)()(002)(2)(SXXYYSSVSYVSXVSYVSXSXjXkYjYkjkjkjkssyjkjkxjk

29、jkyjkjkxjkjkkkjj.第四講 平差方法條件平差（續(xù)）單一附合導線的條件方程1、導線的觀測值、導線的觀測值 導線的觀測值由角度和邊長兩類觀測值組成。2、單一附合導線的形狀、單一附合導線的形狀3、單一附合導線的必要觀測數、單一附合導線的必要觀測數 t =2m，m為待定點點數。已知控制點待定控制點.第四講 平差方法條件平差（續(xù)）4、單一附合導線的條件方程個數、單一附合導線的條件方程個數觀測值的個數：角度m+2個；邊長m+1個；觀測值總數 n=2m+3個。條件方程個數： r = n-t = 2m+3- 2m=3即不論待定點點數m為多少，單一附合導線的條件方程個數固定為3。5、單一附合導線的

30、條件方程、單一附合導線的條件方程一個方位角條件兩個坐標條件 21221180)2(0miBBiAAmmwwvvv001111miBiAmiBiAyyyxxx.第四講 平差方法條件平差（續(xù)）GIS數字化數據采集中，折角均為90度的N邊形的條件方程1、觀測值、觀測值 觀測值為N個頂點的坐標，其個數為n=2 N。2、必要觀測個數、必要觀測個數 t=N+13、多余觀測個數、多余觀測個數 r=n-t=2N-N-1=N-14、條件方程的類型、條件方程的類型 N-1個直角條件。 hjkhjk90jhjk.第四講 平差方法條件平差（續(xù)）六、非線性條件方程的線性化六、非線性條件方程的線性化 1、問題的提出 由前

31、面列出的條件方程知，水準網平差、三維無約束平差中的條件方程，以及三角網平差中的圖形條件和圓周條件、單導線中的方位角條件等都是線性方程。而極條件、坐標條件等都是非線性條件。因為條件平差中要求條件方程必須為線性形式，所以，平差前必須將非線性條件轉化為線性條件。這一轉化工作稱為非非線性條件方程的線性化。線性條件方程的線性化。 2、線性化的方法 將非線性條件方程按臺勞級數展開，略去二階以上各項，即得條件方程的線性形式。.第四講 平差方法條件平差（續(xù)） 設非線性條件方程為： 為了將其按臺勞級數展開，將觀測值的平差值寫為觀測值加改正數的形式，即： 于是，有令0),(21nLLLiiivLL0),(),(),(2211212211212211nnLLnLLLLnnnnLvLvLLLLvLvLvLLLLiiLLiinLhLLLw21, ),(.第四講 平差方法條件平差（續(xù)） 于是，非線性條件方程 的線性形式為： 3、幾種非線性條件方程的線性形式極條件：極條件：在圖5-4中，極條件為線性化得：0),(21nLLL02211wvhvhvhn