【北師大版】高中數(shù)學(xué)必修五__數(shù)列求和習(xí)題

1、整理課件整理課件1 等差數(shù)列求和公式：等差數(shù)列求和公式：（1）Sn=n(a1+an)/2(2) Sn=na1+n(n-1)d/22 等比數(shù)列求和公式：等比數(shù)列求和公式：(1) Sn=1-qa1(1-qn)q1 q1 (2) Sn=1-qa1-anq 當(dāng)當(dāng)q=1時(shí)時(shí),Sn=na1整理課件an是公差為d的等差數(shù)列 bn是公比為q的等比數(shù)列 性質(zhì)： an=am+(n-m)d性質(zhì)： 性質(zhì)：若an-k,an,an+k是an中的三項(xiàng)， 則2an=an-k+an+k 性質(zhì)2：若bn-k,bn,bn+k是bn的三項(xiàng)，則 =bn-kbn+k性質(zhì)： 若n+m=p+q則am+an=ap+aq性質(zhì)3：若n+m=p+q

2、則bnbm=bpbq,性質(zhì)：從原數(shù)列中取出偶數(shù)項(xiàng)組成的新數(shù)列公差為2d.(可推廣)性質(zhì)：從原數(shù)列中取出偶數(shù)項(xiàng)，組成的新數(shù)列公比為 .(可推廣) 性質(zhì): 若cn是公差為d的等差數(shù)列，則數(shù)列an+cn是公差為d+d的等差數(shù)列。 性質(zhì)：若dn是公比為q的等比數(shù)列,則數(shù)列bndn是公比為qq的等比數(shù)列. nmmqbnb 2q2nb整理課件an是公差為d的等差數(shù)列 bn是公比為q的等比數(shù)列 性質(zhì)6：數(shù)列an的前n項(xiàng)和為n成等差數(shù)列性質(zhì)6：數(shù)列an的前n項(xiàng)和為n成等比數(shù)列性質(zhì):數(shù)列an的前n項(xiàng)和為n性質(zhì)：數(shù)列an的前n項(xiàng)和為n ,232nnnnnSSSSS ,232nnnnnSSSSSmnnmnSqSSm

3、nmnndSSS整理課件練習(xí)：練習(xí)：等差數(shù)列等差數(shù)列an中中, 則此數(shù)列前則此數(shù)列前20項(xiàng)的和等于（項(xiàng)的和等于（ ） A.160 B.180 C.200 D.22012318192024,78aaaaaaB解：解： 24321aaa78201918aaa + 得：得：54)()()(183192201aaaaaa183192201aaaaaa54)( 3201aa18)(201aa180218*202)(2020120aas整理課件為為首首項(xiàng)項(xiàng)的的等等比比數(shù)數(shù)列列以以為為公公比比是是以以2,32)2(3)2(11 aaaannn24223311 tttaatatannnn，解解得得令令得得：）

4、（設(shè)設(shè)：233321 nnnnaa得：得： 11134 (2)nnnnaaaannNa ( (2 2) )在在中中，求求換元法換元法整理課件 練習(xí)練習(xí): 求和求和1. 1+2+3+n 答案答案: Sn=n(n+1)/22. 2+4+8+2n 答案答案: Sn=2n+1-2方法：方法：直接求和法直接求和法整理課件例1 求數(shù)列 x, 2x2,3x3, nxn， 的前n項(xiàng)和。 解：解：當(dāng)當(dāng)x=0時(shí)時(shí) Sn=0當(dāng)當(dāng)x=1時(shí)時(shí) Sn=1+2+3+ n=n(n+1)/2當(dāng)當(dāng)x 0且且x1時(shí)時(shí) Sn=x+ 2x2+3x3+ + nxn xSn= x2 +2x3+3x4 + (n-1)xn +nxn +1 得

5、：得：(1-x)Sn=x+ x2+x3+ +xn - nxn +1 化簡(jiǎn)得：化簡(jiǎn)得： Sn =x(1- xn )/(1-x) 2 - nxn +1 /(1-x) 整理課件 0 (x=0) 綜合得綜合得 Sn= n(n+1)/2 (x=1) x(1- xn )/(1-x) 2 - nxn +1 /(1-x) (x 0且且x1）整理課件小結(jié)小結(jié) 1:“錯(cuò)錯(cuò)位相減法位相減法”求和求和,常應(yīng)用于形常應(yīng)用于形如如anbn的數(shù)列求和的數(shù)列求和,其中其中an為等為等差數(shù)列差數(shù)列, bn 為等比數(shù)列為等比數(shù)列.整理課件練習(xí)練習(xí) 1求和求和: 1/2+2/4+3/8+n/2n 方法方法:可以將等式兩邊同時(shí)乘以可

6、以將等式兩邊同時(shí)乘以2或或1/2,然后利用然后利用“錯(cuò)位相減法錯(cuò)位相減法”求和求和.整理課件例例2：求和求和Sn=125 +158 +1811 + +1(3n-1) (3n+2) 解：解：數(shù)列的通項(xiàng)公式為數(shù)列的通項(xiàng)公式為an=1(3n-1) (3n+2) =13 (13n-1 -13n+2 )Sn=13 (12 -15 +15 -18 +18 -111 +13n-4 - 13n-1 +13n-1 -13n+2 )=13 (12 -13n+2 )=16n+4 整理課件小結(jié)小結(jié)2：本題利用的是本題利用的是“裂項(xiàng)相消法裂項(xiàng)相消法”，此法此法常用于形如常用于形如1/f(n)g(n)的數(shù)列求和，的數(shù)列求

7、和，其中其中f(n),g(n)是關(guān)于是關(guān)于n（nN*)的一的一次函數(shù)。次函數(shù)。把數(shù)列中的每一項(xiàng)都拆成兩項(xiàng)的把數(shù)列中的每一項(xiàng)都拆成兩項(xiàng)的差，從而產(chǎn)生一些可以相消的項(xiàng)，差，從而產(chǎn)生一些可以相消的項(xiàng)，最后剩下有限的幾項(xiàng)。最后剩下有限的幾項(xiàng)。方法：方法：對(duì)裂項(xiàng)公式的分析，通俗地對(duì)裂項(xiàng)公式的分析，通俗地說(shuō)，裂項(xiàng)，裂什么？裂通項(xiàng)。說(shuō)，裂項(xiàng)，裂什么？裂通項(xiàng)。此方法應(yīng)注意：此方法應(yīng)注意：整理課件練習(xí)練習(xí) 2： 求和求和114 +147 +1710 +1(3n-2)(3n+1) 接下來(lái)可用接下來(lái)可用“裂項(xiàng)相消裂項(xiàng)相消法法”來(lái)求和。來(lái)求和。an=1(3n-2)(3n+1) =13 (13n-2 -13n+1 )分

8、析分析：整理課件例例 3：求和：求和1+(1+12 )+(1+12 +14 )+(1+12 +14 +12n-1 )解：解：an=1+12 +14 +12n-1 =1（1-12n ）1-12 =2-12n-1 Sn=(2-120 )+(2-121 )+(2-122 )+(2-12n-1 ) =2n-( 120 +121 +122 +12n-1 )=2n-1（1-12n ）1-12 =2n+12n-1 2整理課件小結(jié)小結(jié) 3：本題利用的是本題利用的是“分組求和法分組求和法”方法：方法：把數(shù)列的通項(xiàng)分解成幾項(xiàng)，從把數(shù)列的通項(xiàng)分解成幾項(xiàng)，從而出現(xiàn)而出現(xiàn)幾個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)幾個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列，列，

9、再根據(jù)公式進(jìn)行求和。再根據(jù)公式進(jìn)行求和。整理課件練習(xí)練習(xí) 3求和：求和：1+（1+2）+（1+2+22)+(1+2+22 +2n-1)分析：利用分析：利用“分解轉(zhuǎn)化求和分解轉(zhuǎn)化求和”整理課件總結(jié)：總結(jié)： 直接求和直接求和（公式法）（公式法）等差、或等比數(shù)列用求和公等差、或等比數(shù)列用求和公式，常數(shù)列直接運(yùn)算。式，常數(shù)列直接運(yùn)算。倒序求和倒序求和等差數(shù)列的求和方法等差數(shù)列的求和方法錯(cuò)位相減錯(cuò)位相減數(shù)列數(shù)列 anbn的求和，其中的求和，其中an是等差數(shù)列，是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列。是等比數(shù)列。裂項(xiàng)相消裂項(xiàng)相消分組求和法分組求和法把通項(xiàng)分解成幾項(xiàng)，從而出現(xiàn)把通項(xiàng)分解成幾項(xiàng)，從而出現(xiàn)幾個(gè)等差數(shù)列或等比

10、數(shù)列進(jìn)行幾個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列進(jìn)行求和。求和。常見(jiàn)求和方法常見(jiàn)求和方法適用范圍及方法適用范圍及方法數(shù)列數(shù)列1/f(n)g(n)的求和，其中的求和，其中 f(n),g(n)是關(guān)于是關(guān)于n的一次函數(shù)。的一次函數(shù)。整理課件鞏固練習(xí)鞏固練習(xí)(今日作業(yè)今日作業(yè))：111,13 3557求的前n項(xiàng)和22222111312243611482nn（ ）求和9 , 9 9 , 9 9 9 , 求數(shù)列 n的前項(xiàng)和整理課件(4)求和求和:232 2 23 22nnSn （5）求和）求和:n+321132112111整理課件1 1111(2 13351111)(1)212122121nSnnnnn解（1）、1 0 (11 0)( 2 )11 01 0(1 01)9nnnSnn、整理課件2111 113()2(2)22nannn nnn（ ）、11111111(1)23243521111323(1)221242(1)(2)nSnnnnnnn整理課件2()1nn （5）求和）求和:n+32113211211112112()(1)(1)12nan