透視高考試卷中向量小題的變化

1、 透 視 高 考 試 卷 中 向 量 小 題 的 變 化 繆 選 民 江蘇省泰州市海陵區(qū)教育局教研室 225300中圖分類號(hào)：O12-42 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A從2000年起，向量正式加入了高考試題的行列?；仡欉@些年來(lái)有關(guān)向量選擇題、填空題的變化情況，再根據(jù)各個(gè)年份的小題所顯現(xiàn)出來(lái)的考試要求、試題特點(diǎn)及對(duì)后續(xù)教學(xué)與考試的影向，大致可分為如下幾個(gè)階段：1 以“三點(diǎn)共線”為代表的初級(jí)階段2000年2002年。這期間，高中新課程在小范圍內(nèi)試驗(yàn)，因此，向量小題的考查大多定位在“了解”層面，試題內(nèi)容以向量的基礎(chǔ)知識(shí)為主，涉及向量的基本概念、基本運(yùn)算、幾何意義等，其中具有代表性的是天津新課程卷。例1（02年天津

2、新課程卷）平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，已知兩點(diǎn)A(3,1)，B(-1,3)，若點(diǎn)C滿足，其中，且，則點(diǎn)C的軌跡方程為：（A）3x-2y-11=0 （B）(x-1)2+(y-2)2=5 （C）2x-y=0 （D）x+2y-5=0這是一道用向量來(lái)討論三點(diǎn)共線的試題，它的原形是人教版普通高中數(shù)學(xué)教科書（試驗(yàn)修訂本·必修）高一數(shù)學(xué)（下）頁(yè)的例5（2000年11月第二版），該題是課本上例題的逆命題。將條件變形成，得（或者，），從而A、B、C三點(diǎn)共線，C點(diǎn)軌跡就是A、B兩點(diǎn)確定的直線。這道題影響頗深，在后來(lái)的高三復(fù)習(xí)中曾多次被使用，并以下列兩種常見的變式散見于各種資料中：（1）已知不共線，求

3、證：A、P、B三點(diǎn)共線的充要條件是；（2）A、B、C、P為平面內(nèi)四點(diǎn)，求證A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件是存在一對(duì)實(shí)數(shù)m、n，使，且。隔了四年，該題又以另一種變式出現(xiàn)在06年的江西卷中：已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若，且A、B、C三點(diǎn)共線（該直線不過原點(diǎn)O），則S200（ ）A100 B. 101 C.200 D.201顯然，02年天津卷與06年江西卷這兩道小題合起來(lái)就是A、B、C三點(diǎn)共線充要條件的具體應(yīng)用。在初級(jí)階段，這種基本題俯拾即是，如：（01年上海春）若非零向量、滿足|=|，則與所成角的大小為 。2 以“三角形四心”為代表的提高階段2003年2005年。這一時(shí)期為新課程推廣階段，“

4、普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)”也在這一時(shí)期頒布，參加高中課程改革和自主命題的省份陸續(xù)增多。當(dāng)然，向量的考查也自然而然地由“了解”進(jìn)入“理解、掌握”的層面，試題由基礎(chǔ)知識(shí)為主向技能技巧型轉(zhuǎn)變。這期間出現(xiàn)了大量小巧玲瓏、耐人尋味的小題，其中對(duì)后來(lái)的教學(xué)和考試影響較大的當(dāng)數(shù)03年江蘇、天津等卷中的向量小題。例2（03年江蘇卷）O是平面上一 定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P滿足，則P的軌跡一定通過ABC的（ ）A外心B內(nèi)心 C重心 D垂心這是一道純向量題，用單位向量來(lái)敘述幾何問題。當(dāng)年首次接觸向量的江蘇考生覺得此題很難，許多考生反映看不懂題。因?yàn)槠綍r(shí)只有單位向量的概念，沒有接觸到單位向量的具體應(yīng)

5、用，想不到將原式變形成來(lái)看，更不知為一菱形的對(duì)角線。此題拉開了用向量來(lái)研究三角形“四心”的序幕，如05年各地的高考試卷中有：（1）（05年全國(guó)卷理）的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，則實(shí)數(shù)m = ；（2）（05年全國(guó)卷I文）點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足，則點(diǎn)O是的（）A三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)B三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)C三條中線的交點(diǎn)D三條高的交點(diǎn)（3）(05年湖南卷文)P是ABC所在平面上一點(diǎn)，若=，則P是ABC的（） A外心 B內(nèi)心 C重心 D垂心人們對(duì)單位向量的研究也更加深入：，兩個(gè)向量夾角的余弦就是兩個(gè)單位向量的數(shù)量積！直到06年高考還可以看到03年江蘇卷那一小題

6、的影子：（06陜西理） 已知非零向量與滿足(+)·=0且·= , 則ABC為 ( )A三邊均不相等的三角形 B直角三角形 C等腰非等邊三角形 D等邊三角形3以“各種運(yùn)算的幾何意義”為代表的靈活運(yùn)用階段2006年。這一時(shí)期，高中數(shù)學(xué)教材改革向縱深推進(jìn)，與之相適應(yīng)的是，向量的考查不單純停留在對(duì)“雙基”的理解上，而是更加注重對(duì)向量的理性認(rèn)識(shí)。如果說(shuō)前兩階段的向量小題有點(diǎn)“重思維輕運(yùn)算”的話，那么這一階段達(dá)到了“思維和運(yùn)算合一”的要求，強(qiáng)化了形數(shù)結(jié)合。一線老師看了06年湖南文、理卷的選擇題和填空題后感嘆：向量要求又提高了！例3（06湖南理）如圖1, , 點(diǎn)在由射線、 線段及的延長(zhǎng)線

7、圍成的區(qū)域內(nèi)(不含邊界)運(yùn)動(dòng), 且,則的取值范圍是 ；當(dāng)時(shí), 的取值范圍是 . 此題對(duì)加法幾何意義的要求達(dá)到了“靈活運(yùn)用”的程度。如圖1，以O(shè)A、OB為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線OP肯定不在指定的區(qū)域內(nèi)，只有當(dāng)時(shí)，再輔以適當(dāng)?shù)闹担琌P才可能在指定的區(qū)域內(nèi)，因此的取值范圍是(，0)；而當(dāng)時(shí)，如圖2，當(dāng)變化時(shí)，對(duì)應(yīng)一系列平行四邊形：平行四邊形CODM、COBP、COFE，其中OM、OE是臨界位置，因此y的取值范圍是(，)。07年部分省市的高考題延續(xù)了此題的風(fēng)格，甚至連這一形式都沒變，如下面兩小題：（1）（07上海春）如圖3，平面內(nèi)的兩條相交直線和將該平面分割成四個(gè)部分、 (不包括邊界）。 若，且點(diǎn)落在第部分，則實(shí)數(shù)滿足 （ ） A B C D . （2）（07陜西理）如圖4，平面內(nèi)有三個(gè)向量、，其中與的夾角為，與的夾角為，且，若，則的值為例4（07全國(guó)）設(shè)為拋物線的焦點(diǎn)，為該拋物線上三點(diǎn)，若，則（ ）A9B6C4D3此題對(duì)考生思維和運(yùn)算的要求極高，頗具一定的靈活性。看到就要想到其幾何意義：F是ABC的重心，由此得（、是A、B、C三點(diǎn)的橫坐標(biāo)）；又據(jù)拋物線定義有。真可謂重心的向量描述、重心的坐標(biāo)表示、拋物線的定義三者環(huán)環(huán)相扣，一氣呵成！有如此思維和運(yùn)算要求的還有：（