直線和平面的投影(一)

1、第二講 第三章 點、直線和平面的投影（一）本講的學(xué)習(xí)目標：掌握點的三面投影的投影規(guī)律及作圖方法。學(xué)習(xí)重點：點的三面投影的投影規(guī)律及作圖方法。3.1 點的投影 在投影理論中，對于物體只研究其形狀、大小、位置，而它的物理性質(zhì)、化學(xué)性質(zhì)都不涉及到，這種物體稱為形體。任何形體都是由點、線、面基本元素構(gòu)成的，點是構(gòu)成形體的最基本的幾何元素，點的投影是研究直線、平面、形體的基礎(chǔ)。3.1.1 點的單面投影 在第二章說過，點在某一投影面上的投影，實質(zhì)上是過該點向投影面所作垂線的垂足。因此，點的投影仍然是點。如圖3-1所示，過空間點A向投影面H作投影線，該投影線與投影面的交點a，即為點A在投影面H上的投影。這個

2、投影是唯一確定的。但是，僅憑a不能確定點A的空間位置，因為位于投射線上的任何一點（如A1點），其投影都在a處。這就是說，僅根據(jù)點的一個投影還不足以確定點在空間的位置。通常要畫出點的三面投影。過空間點A向投影面H作投影線，該投影線與投影面的交點a，即為點A在投影面H上的投影。僅根據(jù)點的一個投影還不足以確定點在空間的位置。 圖3-1 點的單面投影3.1.2 點的三面投影如圖3-2(a)所示,將空間點A置于三投影面體系中，自A點分別向三個投影面作垂線（即投射線），三個垂足就是點A在三個投影面上的投影。點A在H面的投影a，稱為點A的水平投影；點A在V 面的投影a，稱為點A的正面投影；點A在W面的投影a

3、，稱為點A的側(cè)面投影。（a）直觀圖 （b）投影圖圖3-2 點的三面投影在投影法中規(guī)定：空間點用大寫字母表示，而在其H面的投影用相應(yīng)的小寫字母表示，在V面的投影用相應(yīng)的小寫字母右上角加一撇表示，在W面的投影用相應(yīng)的小寫字母右上角加兩撇表示。如點A的三面投影，分別用a、a、a表示。按照三面投影體系的展開，空間點A的三面投影在同一平面上的表現(xiàn)形式為圖3-2（b）所示。用細實線將點的相鄰?fù)队斑B起來，如aa、aa稱為投影連線。水平投影a與側(cè)面投影a不能直接相連，作圖時常以圖3-2(b)所示的借助45º斜角線或圓弧來實現(xiàn)這個聯(lián)系。3.1.3 點的投影規(guī)律（a）直觀圖 （b）投影圖圖3-3 點的三

4、面投影在圖3-3(a) 中,過空間點A的兩面投影線Aa和Aa決定的平面，與V面和H面同時垂直相交，交線分別是aax和aax，因此，OX軸必然垂直于平面Aaaxa，也就是垂直于aax和aax。又aax和aax是相互垂直的兩條直線，即aaxaax、aaxOX、aaxOX。當H面繞OX軸旋轉(zhuǎn)至與V面成為一平面時，點A的水平投影a與正面投影a 的連線就成為一條垂直于OX軸的直線，即aaOX，見圖3-2（b）。同理可分析出，aaOZ。ay在投影面展平之后，被分為ayH和ayW兩個點，所以aayHOYH和aayWOYW，即aax= aaZ。由上面的分析可得出點在三面投影體系中的投影規(guī)律：（1）點的水平投影

5、與正面投影的連線垂直于OX軸，即aaOX。（2）點的正面投影和側(cè)面投影的連線垂直于OZ軸，即aaOZ。（3）點的水平投影到OX軸的距離等于點的側(cè)面投影到OZ的距離，即aax= aaZ。這三條投影規(guī)律說明了在點的三面投影圖中每兩個投影都有一定的聯(lián)系，只要給出點的任意兩個投影就可以補出第三個投影（即“二補三”作圖）。【例3-1】 已知A點的水平投影a和正面投影a，求側(cè)面投影a，如圖3-4（a）所示。分析：已知A點的兩個投影，根據(jù)投影規(guī)律求出a。作圖：（a）已知a和a （b）過a引OZ軸的 (c) 在aaZ的延長線上截取垂線aaZ aaZ= aax，a即為所求。（d）利用圓弧求出a。 （e）利用45

6、º斜線求出a。 圖3-4 點的“二補三”作圖 此題也可利用圖3-4(d)和（e）箭頭所示方向求出a的投影。3.1.4 點的投影與坐標在三面投影體系中，若把H、V、W投影面看成坐標面，三條投影軸OX、OY、OZ相當于坐標軸X、Y、Z軸，投影軸原點O相當于坐標系原點。如圖3-5（a）所示，空間一點到三個投影面的距離，就是該點的三個坐標（用小寫字母x、y、z表示）。也就是說點A到W面的距離A a即為該點的X坐標，點A到V面的距離Aa即為該點的Y坐標，點A到H面的距離Aa即為Z坐標。如果空間點的位置用A（x，y，z）形式表示，那么它的三個投影的坐標應(yīng)為a（x，y，0），a（x，0，z），a（

7、0，y，z）。利用點的坐標就能較容易地求作點的投影及確定空間點的位置，如圖3-5(b)。 （a）立體圖 （b）投影圖圖3-5 點的投影與直角坐標的關(guān)系 顯然，空間點的位置不僅可以用其投影確定，也可以由它的坐標確定。若已知點的三面投影，就可以量出該點的三個坐標；或已知點的坐標，就可以作出該點的三面投影?！纠?-2】 已知點A的坐標x=20, y=10, z=15，即A為（20，10，15），求點A的三面投影a、a和a。分析：從點A的三個坐標值可知，點A到W面的距離為20，到V面的距離為10，到H面的距離為15。根據(jù)點的投影規(guī)律和點的三面投影與三個坐標的關(guān)系，即可求得點A的三面投影。作圖方法見圖3

8、-6所示。作圖：（a）在OX軸上取 （b）過ax作OX軸的垂直線， （c）根據(jù)a和a´求出a。Oax=20mm。 使aax=10mm.、a´ax=15mm，得a和a´。圖3-6 已知點的坐標求其三面投影【例3-3】 在立體圖中畫出點A（20，12，15）的投影及其空間位置。作圖：（a）畫出H、V、W三投影 （b）分別量取Oax=20， （c）分別過a、a、a作面的立體圖。 Oay =12，OaZ=15， OZ、OY和OX的平行 求得ax、ay和aZ，分 線，這三條線的交點即別過ax、ay和aZ作相 為空間點A。 應(yīng)軸的平行線，求出a、a和a。圖3-7 求點的空間位

9、置3.1.5 兩點的相對位置和重影點3.1.5.1 兩點的相對位置 空間兩點的相對位置可以用三面正投影圖來標定；反之，根據(jù)點的投影也可以判斷出空間兩點的相對位置。在三面投影中，規(guī)定：OX軸向左、OY軸向前、OZ軸向上為三條軸的正方向。 在投影圖中，x坐標可確定點在三投影面體系中的左右位置，y坐標可確定點的前后位置，z坐標可確定點的上下位置。 因此，可通過比較兩點在投影圖中同名投影坐標值的大小來判斷兩點的相對位置。比較x坐標的大小，可以判斷兩點左右的位置關(guān)系，x大的點在左，x小的點在右；比較y坐標的大小，可以判斷兩點前后的位置關(guān)系，y大的點在前，y小的點在后；比較z坐標的大小，可以判斷兩點上下的

10、位置關(guān)系，z大的點在上，z小的點在下。如圖3-8分別給出了A、B兩點的三個投影。從圖中可見，A點的x坐標小于B點的x坐標，所以A點距W面較近，A點在B點的右方；A點的y坐標大于B點的y坐標，所以A點距V 面較遠，A點在B點的前方；A點的z坐標大于B點的z坐標，所以A點距H面較遠，A點在B點的上方，綜合A、B兩點三個坐標大小的比較，可以判定A點在B點的右前上方。圖3-8 兩點的相對位置【例3-4】 已知點A的三個投影（圖3-9（a），另一點B在點A上方8mm。左方12mm，前方10mm，求點B的三面投影。作圖方法： （a）已知條件 （b）在a左方12mm，上方 （c）過b作OX軸的垂線，在 8m

11、m處確定b； 其延長線上a前10mm處確定b；根據(jù)三面投影關(guān)系求得b。圖3-9 已知相對位置求另一點3.1.5.2 重影點及其投影的可見性如果兩點位于同一投射線上，則此兩點在相應(yīng)投影面上的投影必重疊，重疊的投影稱為重影，重影的空間兩點稱為重影點。水平投影重合的兩個點，叫水平重影點；正面投影重合的兩個點，叫正面重影點；側(cè)面投影重合的兩個點，叫側(cè)面重影點。如圖3-10中，A、B是位于同一投射線上的兩點，它們在H面上的投影a和b相重疊。沿投射線方向觀看，A在H面上為可見點，B為不可見點。 圖3-10 重影點在投影圖上判別重影點的可見性時，要求把看不見的點的投影符號用括號括起來。由于某投影面的重影點位

12、于該投影面的同一條投影線上，觀者沿此投射線方向去觀察兩點時，則必會有一點看得見，另一點看不見，這就是重影點的可見性問題。在投影圖上判別重影點的可見性，也是讀圖中的重要問題。重影點投影可見性的判別方法是：對水平重影點，觀者從上向下看，上面一點看得見，下面一點看不見（上下位置可從正面投影或側(cè)面投影中看出）；對正面重影點，觀者從前向后看，前面一點看得見，后面一點看不見（前后位置可從水平投影或側(cè)面投影中看出）；對側(cè)面重影點，觀者從左向右看，左面一點看得見，右面一點看不見（左右位置可從正面投影或水平投影中看出）。【例3-5】已知點C的三面投影如圖3-11（a），且點D在點C的正右方5mm，點B在點C的正下方10mm，求作D、B兩點的投影，并判別重影點的可見性。 作圖方法： （a）已知條件 （b）d與c重合，且c可見，