第25題二次函數(shù)中尋找等腰三角形問題

1、二次函數(shù)中尋找等腰三角形問題1如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，矩形ABCD的邊AB在x軸上，且AB=3，BC=，直線y=經(jīng)過點(diǎn)C，交y軸于點(diǎn)G,且AGO=30°。(1)點(diǎn)C、D的坐標(biāo)(2)求頂點(diǎn)在直線y=上且經(jīng)過點(diǎn)C、D的拋物線的解析式；(3)將(2)中的拋物線沿直線y=平移，平移后的拋物線交y軸于點(diǎn)F，頂點(diǎn)為點(diǎn)E。平移后是否存在這樣的拋物線，使EFG為等腰三角形？若存在，請求出此時(shí)拋物線的解析式；若不存在，請說明理由。3已知兩直線l1，l2分別經(jīng)過點(diǎn)A（1，0），點(diǎn)B（3，0），并且當(dāng)兩直線同時(shí)相交于y正半軸的點(diǎn)C（0，）時(shí)，恰好有l(wèi)1l2，經(jīng)過點(diǎn)A、B、C的拋物線的對稱軸與直線l

2、2交于點(diǎn)K，如圖所示（1）求出拋物線的函數(shù)解析式；（2）拋物線的對稱軸被直線l1、拋物線、直線l2和x軸依次截得三條線段，問這三條線段有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由；（3）當(dāng)直線l2繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)時(shí)，與拋物線的另一個(gè)交點(diǎn)為M，請找出使MCK為等腰三角形的點(diǎn)M，簡述理由，并寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)：（1）拋物線的函數(shù)解析式為（2）截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為KD=DE=EF理由如下：可求得直線l1的解析式為，直線l2的解析式為，拋物線的對稱軸為直線x=1，由此可求得點(diǎn)K的坐標(biāo)為（1，），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，），點(diǎn)E的坐標(biāo)為（1，），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（1，0），KD=，DE=，EF=，KD=DE=EF（3）當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為（

3、2，），（1，）時(shí)，MCK為等腰三角形理由如下：（i）連接BK，交拋物線于點(diǎn)G，易知點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，），又點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，），則GCAB，可求得AB=BK=4，且ABK=60°，即ABK為正三角形，CGK為正三角形當(dāng)l2與拋物線交于點(diǎn)G，即l2AB時(shí)，符合題意，此時(shí)點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（2，），（ii）連接CD，由KD=，CK=CG=2，CKD=30°，易知KDC為等腰三角形，當(dāng)l2過拋物線頂點(diǎn)D時(shí)，符合題意，此時(shí)點(diǎn)M2坐標(biāo)為（1，），（iii）當(dāng)點(diǎn)M在拋物線對稱軸右邊時(shí)，只有點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，滿足CM=CK，但點(diǎn)A、C、K在同一直線上，不能構(gòu)成三角形，綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)

4、分別為（2，），（1，）時(shí)，MCK為等腰三角形5.如圖，一次函數(shù)分別交y軸、x軸于A、B兩點(diǎn)，拋物線過A、B兩點(diǎn).（1）求這個(gè)拋物線的解析式； （2）作垂直x軸的直線x=t，在第一象限交直線AB于M，交這個(gè)拋物線于N.求當(dāng)t取何值時(shí)，MN有最大值？最大值是多少？ （3）在（2）的情況下，以A、M、N、D為頂點(diǎn)作平行四邊形，求第四個(gè)頂點(diǎn)D的坐標(biāo).4如圖，已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，3）、B（4，0）和原點(diǎn)OP為二次函數(shù)圖象上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為D（m，0），并與直線OA交于點(diǎn)C（1）求出二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P在直線OA的上方時(shí)，用含m的代數(shù)式表示線段PC的長，并求線

5、段PC的最大值；（3）當(dāng)m0時(shí)，探索是否存在點(diǎn)P，使得PCO為等腰三角形，如果存在，請直接寫出所有P的坐標(biāo)；如果不存在，請說明理由5已知拋物線yax2bxc（a0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)B（14,0）和C（0，8），對稱軸為x4（1）求該拋物線的解析式；（2）點(diǎn)D在線段AB上且ADAC，若動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)沿線段AB以每秒1個(gè)單位長度的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)另一動(dòng)點(diǎn)Q以某一速度從C出發(fā)沿線段CB勻速運(yùn)動(dòng)，問是否存在某一時(shí)刻，使線段PQ被直線CD垂直平分？若存在，請求出此時(shí)的時(shí)間t（秒）和點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度；若不存在，請說明理由；（3）在（2）的結(jié)論下，直線x1上是否存在點(diǎn)M使MPQ為等腰三角形？若存在，請求出所有點(diǎn)

6、M的坐標(biāo)，若不存在，請說明理由6在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象與x軸交于A（3，0），B（1，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（1）求這個(gè)二次函數(shù)的關(guān)系解析式；（2）點(diǎn)P是直線AC上方的拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn)P，使ACP的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；（3）在平面直角坐標(biāo)系中，是否存在點(diǎn)Q，使BCQ是以BC為腰的等腰直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由；7如圖所示，已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)O，矩形ABCD的頂點(diǎn)A，D在拋物線上，且AD平行x軸，交y軸于點(diǎn)F，AB的中點(diǎn)E在x軸上，B點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，1），點(diǎn)P（a，b）在拋物線上運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P異于點(diǎn)O）

7、（1）求此拋物線的解析式（2）過點(diǎn)P作CB所在直線的垂線，垂足為點(diǎn)R，求證：PF=PR；是否存在點(diǎn)P，使得PFR為等邊三角形？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；延長PF交拋物線于另一點(diǎn)Q，過Q作BC所在直線的垂線，垂足為S，試判斷RSF的形狀8在平面直角坐標(biāo)系xoy中， 一塊含60°角的三角板作如圖擺放，斜邊 AB在x軸上，直角頂點(diǎn)C在y軸正半軸上，已知點(diǎn)A（1，0） （1）請直接寫出點(diǎn)B、C的坐標(biāo)：B（ ， ）、C（ ， ）；并求經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式； （2）現(xiàn)有與上述三角板完全一樣的三角板DEF（其中EDF=90°，DEF=60°），把

8、頂點(diǎn)E放在線段AB上（點(diǎn)E是不與A、B兩點(diǎn)重合的動(dòng)點(diǎn)），并使ED所在直線經(jīng)過點(diǎn)C 此時(shí)，EF所在直線與（1）中的拋物線交于第一象限的點(diǎn)M 設(shè)AE=x，當(dāng)x為何值時(shí)，OCEOBC； 在的條件下探究：拋物線的對稱軸上是否存在點(diǎn)P使PEM是等腰三角形，若存在，請求點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由10如圖, 已知拋物線與y軸相交于C，與x軸相交于A、B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，-1）（1）求拋物線的解析式；（2）點(diǎn)E是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)E作DEx軸于點(diǎn)D，連結(jié)DC，當(dāng)DCE的面積最大時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（3）在直線BC上是否存在一點(diǎn)P，使ACP為以AC為腰的等腰三角形，若存在，求點(diǎn)

9、P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由試卷第9頁，總10頁參考答案1【解析】（1）根據(jù)題意可得點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為3，代入直線解析式可得出點(diǎn)C的橫坐標(biāo)，繼而也可得出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）由題意可得點(diǎn)C和點(diǎn)D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱，從而得出拋物線的對稱軸為，再由拋物線的頂點(diǎn)在直線，可得出頂點(diǎn)坐標(biāo)為()，設(shè)出頂點(diǎn)式，代入點(diǎn)C的坐標(biāo)即可得出答案（3）分EF=EG、GF=EG、GF=EF三種情況分析。解：(1)C(4，)，D(1，)；(2)頂點(diǎn)()，解析式；(3)EF=EG GF=EG GF=EF 3解：由勾股定理，得（OC2+OB2）+（OC2+OA2）=BC2+AC2=AB2，又OB=3，OA=1，AB=4，點(diǎn)C的坐

10、標(biāo)是由題意可設(shè)拋物線的函數(shù)解析式為y=a（x1）（x+3），把C（0，）代入函數(shù)解析式得所以，拋物線的函數(shù)解析式為；（2）截得三條線段的數(shù)量關(guān)系為KD=DE=EF（3）當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為時(shí)， MCK為等腰三角形（i）連接BK，交拋物線于點(diǎn)G，易知點(diǎn)G的坐標(biāo)為（2，），又點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，），則GCAB，可求得AB=BK=4，且ABK=60°，即ABK為正三角形，CGK為正三角形當(dāng)l2與拋物線交于點(diǎn)G，即l2AB時(shí)，符合題意，此時(shí)點(diǎn)M1的坐標(biāo)為（2，），（ii）連接CD，由KD=，CK=CG=2，CKD=30°，易知KDC為等腰三角形，當(dāng)l2過拋物線頂點(diǎn)D時(shí)，符合題意，此時(shí)點(diǎn)

11、M2坐標(biāo)為（1，），（iii）當(dāng)點(diǎn)M在拋物線對稱軸右邊時(shí)，只有點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，滿足CM=CK，但點(diǎn)A、C、K在同一直線上，不能構(gòu)成三角形，綜上所述，當(dāng)點(diǎn)M的坐標(biāo)分別為時(shí)，MCK為等腰三角形4（1）設(shè)y=ax（x4），把A點(diǎn)坐標(biāo)（3，3）代入得：a=1，函數(shù)的解析式為y=x2+4x， 4分（2）0m3，PC=PDCD=m2+3m，=+， 6分10，開口向下，有最大值，當(dāng)D（，0）時(shí)，PCmax=，8分（3）P的坐標(biāo)是（3，1+2）或（3+，12）或（5，5）或（4，0）12分（3）簡單解答過程如下：當(dāng)0m3時(shí)，僅有OC=PC，解得，；當(dāng)m3時(shí)，PC=CDPD=m23m，OC=，由勾股定理得：O

12、P2=OD2+DP2=m2+m2（m4）2，當(dāng)OC=PC時(shí)，解得：，；當(dāng)OC=OP時(shí)，解得：m1=5，m2=3（舍去），P（5，5）；當(dāng)PC=OP時(shí)，m2（m3）2=m2+m2（m4）2，解得：m=4，P（4，0），存在P的坐標(biāo)是（3，1+2）或（3+，12）或（5，5）或（4，0）5（1）； （2）存在，理由如下：綜上所述：存在5個(gè)M點(diǎn)，即6【解析】解：（1）由拋物線過A（3，0），B（1，0），則，解得 。二次函數(shù)的關(guān)系解析式為。（2）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為（m，n），則。連接PO，作PMx軸于M，PNy軸于N。PM =， ，AO=3。當(dāng)時(shí)，所以O(shè)C=2。1110，函數(shù)有最大值，當(dāng)時(shí)，有最大值。此時(shí)

13、。存在點(diǎn)，使ACP的面積最大。 （3）存在。點(diǎn)。7【解析】解：（1）拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，A、D關(guān)于拋物線的對稱軸對稱。E是AB的中點(diǎn)，O是矩形ABCD對角線的交點(diǎn)。又B（2，1），A（2，1）、D（2，1）。拋物線的頂點(diǎn)為（0，0），可設(shè)其解析式為：y=ax2，則有：4a=1，a=。拋物線的解析式為：y=x2。（2）證明：由拋物線的解析式知：P（a，a2），而R（a，1）、F（0，1），則：PF=PR=，PF=PR。RF=，若PFR為等邊三角形，則由得RF=PF=PR，得：=，即：a48a248=0，得：a2=4（舍去），a2=12。a=±2，a2=3。存在符合條件的P點(diǎn)，坐標(biāo)為

14、（2，3）、（2，3）。同可證得：QF=QS。在等腰SQF中，1=（180°SQF）。同理，在等腰RPF中，2=（180°RPF）。QSBC、PRBC，QSPR，SQP+RPF=180°。1+2=（360°SQFRPF）=90°SFR=180°12=90°，即SFR是直角三角形。（1）根據(jù)題意能判斷出點(diǎn)O是矩形ABCD的對角線交點(diǎn)，因此D、B關(guān)于原點(diǎn)對稱，A、B關(guān)于x軸對稱，得到A、D的坐標(biāo)后，利用待定系數(shù)法可確定拋物線的解析式。（2）首先根據(jù)拋物線的解析式，用一個(gè)未知數(shù)表示出點(diǎn)P的坐標(biāo)，然后表示出PF、RF的長，兩者進(jìn)行比

15、較即可得證。首先表示RF的長，若PFR為等邊三角形，則滿足PF=PR=FR，列式求解即可。根據(jù)的思路，不難看出QF=QS，若連接SF、RF，那么QSF、PRF都是等腰三角形，先用SQF、RPF表示出DFS、RFP的和，用180°減去這個(gè)和值即可判斷出RSF的形狀。8【解析】解：（1）B（3，0），C（0，）。A（1，0）B（3，0）可設(shè)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線為 。又C（0，）在拋物線上，解得。經(jīng)過A、B、C三點(diǎn)的拋物線解析式 即。（2）當(dāng)OCEOBC時(shí)，則。OC=， OE=AEAO=x1， OB=3，。x=2。當(dāng)x=2時(shí)，OCEOBC。存在點(diǎn)P。由可知x=2，OE=1。E（1，0）

16、。 此時(shí)，CAE為等邊三角形。AEC=A=60°。又CEM=60°， MEB=60°。點(diǎn)C與點(diǎn)M關(guān)于拋物線的對稱軸對稱。C（0，），M（2，）。過M作MNx軸于點(diǎn)N（2，0），MN=。 EN=1。若PEM為等腰三角形，則：)當(dāng)EP=EM時(shí), EM=2，且點(diǎn)P在直線x=1上，P(1，2)或P（1，2）。）當(dāng)EM=PM時(shí)，點(diǎn)M在EP的垂直平分線上，P(1，2) 。 ）當(dāng)PE=PM時(shí)，點(diǎn)P是線段EM的垂直平分線與直線x=1的交點(diǎn)，P(1，)綜上所述，存在P點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2）或（1，2）或（1，2）或（1，）時(shí)，EPM為等腰三角形。（1）由已知，根據(jù)銳角三角函數(shù)定義和特殊

17、角的三角函數(shù)值可求出OC和AB的長，從而求得點(diǎn)B、C的坐標(biāo)。設(shè)定交點(diǎn)式，用待定系數(shù)法，求得拋物線解析式。（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，對應(yīng)邊成比例列式求解。求得EM的長，分EP=EM， EM=PM和PE=PM三種情況求解即可。10【解析】（1）二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）C(0,1) 解得： b= c=1 (2分)二次函數(shù)的解析式為 (1分)（2）設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（m，0）， （0m2） OD=m AD=2-m 由ADEAOC得， DE= (1分)CDE的面積=××m= (2分)當(dāng)m=1時(shí)，CDE的面積最大，此時(shí)點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，0） (1分)（3）存在. 由(1)知：二次

18、函數(shù)的解析式為設(shè)y=0則 解得：x1=2 x2=1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0） C（0，1）設(shè)直線BC的解析式為：y=kxb 解得：k=-1 b=-1，直線BC的解析式為: y=x1在RtAOC中，AOC=900 OA=2 OC=1，由勾股定理得：AC=點(diǎn)B(1,0) 點(diǎn)C（0，1），OB=OC BCO=450. (1分) 當(dāng)以點(diǎn)C為頂點(diǎn)且PC=AC=時(shí)，設(shè)P(k, k1),過點(diǎn)P作PHy軸于H，HCP=BCO=450，CH=PH=k，在RtPCH中k2+k2= 解得k1=， k2=P1（，） P2（，）(3分)以A為頂點(diǎn)，即AC=AP=設(shè)P(k, k1),過點(diǎn)P作PGx軸于G，AG=2k GP=k1在RtAPG中 AG2PG2=AP2，（2k)2+(k1)2=5 解得：k1=1,k2=0(舍) P3(1,