向量法求空間角

1、向法求空間角1 .(本小題滿(mǎn)分10分)在如圖所示的多面體中，四邊形A5C。為正方形，四邊形尸。CDL 平面 ADPQ 9Q是直角梯形，AD±DP 9 AB=AQ=DP.(1)求證：平面。C。；(2)求平面6C。與平面AO尸。所成的銳二面角的大小.2 .(滿(mǎn)分13分)如圖所示，正四棱錐P-ABCD中，O為底面正方形的中心，側(cè)棱PA 與底面ABCD所成的角的正切值為手.(1)求側(cè)面PAD與底面ABCD所成的二面角的大??；(2)若E是PB的中點(diǎn)，求異面直線(xiàn)PD與AE所成角的正切值；(3)問(wèn)在棱AD上是否存在一點(diǎn)F,使EF_L側(cè)面PBC,若存在，試確定點(diǎn)F的位置; 若不存在，說(shuō)明理由.3 .

2、(本小題只理科做，滿(mǎn)分14分)如圖，已知AB_L平面ACD.DE/AB ACD是正三角形,AD=DE=2AB ,且F是CD的中點(diǎn).(1)求證:AF平面BCE;(2)求證:平面BCE_L平面CDE;(3)求平面BCE與平面ACD所成銳二面角的大小.4 .(本小題滿(mǎn)分12分)如圖.在四棱錐P-A5CD中,PD1底面45CD且底面ABCD 為正方形,AD=PD=2,E,F,G分別為PC, PD C5的中點(diǎn).(1)求證:AP平面石尸G;(2)求平面GE尸和平面尸的夾角.5 .如圖，在直三棱柱A5C A4G中，平面A5C_L側(cè)面A/5瓦且A4 = A5 = 2.(I)求證：AB1BC；(H)若直線(xiàn)ac與

3、平面A6C所成的角為。，求銳二面角 6A AC 5的大小.6 .如圖，四邊形 A5CQ是正方形，E4_L平面 A5C。，EA/ PD, AD = PD = 2EA9F. G, ”分別為尸6, EB, PC的中點(diǎn).(1)求證：尸G 平面PEP；(2)求平面尸G”與平面P5C所成銳二面角的大小.參考答案1. （1）詳見(jiàn)解析；（2）二【解析】 試題分析：（1）根據(jù)題中所給圖形的特征，不難想到建立空間直角坐標(biāo)，由己知，DA, DP, 0c兩兩垂直，可以。為原點(diǎn)，DA. DP、0c所在直線(xiàn)分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.表示出圖中各點(diǎn)的坐標(biāo)：設(shè)48 =。，則。（0,0,0）, C（0,0,。）

4、， 。（。，a,0）, P（0、2ci,0）,則可表示出覺(jué)=（0,0,。），DQ = （a , a, 0）, 而=（。，-。，0）,根據(jù)數(shù)量積為零與垂直的充要條件進(jìn)行證明，由方己用=o, DQPQ = Ot故覺(jué)_L，DQ-LPQ,即可證明；（2）首先求出兩個(gè)平面的法向量. 其中由于皮_L平面AQP。，所以可取平面AO尸。的一個(gè)法向量為瓦= （0,0,1）;設(shè)平 面3C。的一個(gè)法向量為n=*,y,z）,則用/ = 0，凡丁 = 0 ,故-ay + az = 0,-ax-ay + az = 0,_x_y+Z=0,取y = z = i,則x = o,故網(wǎng)=（。，1，1）轉(zhuǎn)化9為兩個(gè)法向量的夾角，設(shè)幾

5、與爪的夾角為氏 則cos8=。=3 =今.即可求出平面6C。與平面AQ尸。所成的銳二面角的大小.試題解析：（1）由已知，D4, DP, 0c兩兩垂直，可以。為原點(diǎn)，D4、DP、。所 在直線(xiàn)分別為x軸、 軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)A5 = a,則。（0,0,0）, C（0,0,）,。（。，。，0）,尸（0,2。，0）,故覺(jué)= （0,0,），麗=（4.0）,而= （%-,0）,因?yàn)橛丫W(wǎng)=0, DQ PQ = 0t故皮_L70, DQ1PQ,即。C_LPQ. DQlPQt 又。CDQ0 = O所以，PQ_L平面。C。.（2）因?yàn)镼C_L平面AOP。,所以可取平面A。尸。的一個(gè)法向量為 4 = (

6、0,0,1), 點(diǎn) 6 的坐標(biāo)為（4,0,4）,則游=（0,-。，4）, 丁 = （一4,一。，。）,設(shè)平面BC。的一個(gè)法向量為八二*,y, z）,貝!J員裝=0,見(jiàn)配=0,一=0,即1-ax-ay + az = 0,_ y + Z = 0,取y = Z = l,貝ix = 0, 7-y+Z = 0, 故用=(0,1,1).設(shè)小與爪的夾角為巴貝丘。5夕=等3=3 =?川|%| V2 2所以，平面5C。與平面AOP。所成的銳二面角的大小為1 4考點(diǎn)：1.空間向量的應(yīng)用；2.二面角的計(jì)算；3.直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系2. （1） 60° （2） 等；（3） F是AD的4等分點(diǎn)，靠近A點(diǎn)的位置

7、.【解析】試題分析：（1）取AD中點(diǎn)M,連接MO, PM,由正四棱錐的性質(zhì)知NPMO為所求二面角V6P-AD-O的平面角，NPAO為側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角，tan/PAO= 2 ,設(shè)aB母 石 -CI廠(chǎng)=a,貝！AO= 2 a, PO= 2 a, MO= 2 , tanZPMO = 3 ,ZPMO = 60° （2）依題意連結(jié)AE, OE,則OE/PD,故NOEA為異面直線(xiàn)PD與AE所成的角，由正四棱錐的性質(zhì)易11, 叵證 OA_L平面 POB,故為直角三角形，oe=5pd=5= 4 a，tanAO 2a/ToZAEO= EO = 5.（3）延長(zhǎng) MO 交 BC于N,取 PN

8、 中點(diǎn) G,連 BG, EG, MG,易得BCJ_平面PMN,故平面PMN_L平面PBC,而為正三角形，易證MGj_平面PBC,試題解析：（1）取AD中點(diǎn)M,連接MO, PM,依條件可知AD_LMO, AD±POt則/PMO 為所求二面角P-AD-O的平面角（2分）VPO±H ABCD.NPAO為側(cè)棱PA與底面ABCD所成的角.逅，tan/PAO= 242設(shè) AB = a, AO= 2 a,正PO = AO,tan/POA= 2 a,POtanZPMO = MO =6.ZPMO = 60°.(4 分)(2)連接 AE, OE, VOE/PD.AZOEA為異面直線(xiàn)P

9、D與AE所成的角.(6分)VAO±BDt AO±POt ，AO_L平面 PBD.又 OE u 平面 PBD, :. AO±OE.OE= -PD=- yPO2 + DO2 =224.ta叱心。=型= EO 5（8分）(3)延長(zhǎng)MO交BC于N,取PN中點(diǎn)G,連BG, EG, MG.VBC±MNt BC_LPN,，BC_L平面 PMN平面PMN_|_平面PBC.(10分)又PM = PN, ZPMN = 60°, . PMN為正三角形./.MG±PN,又平面 PMNCI平面 PBC = PN, .MG_L平面 PBC.(12 分)F是AD的

10、4等分點(diǎn)，靠近A點(diǎn)的位置(13分)考點(diǎn)：立體幾何的綜合問(wèn)題3. (1)見(jiàn)解析；(2)見(jiàn)解析；(3) 45°.【解析】試題分析：(1)取CE中點(diǎn)P,連接FP、BP,根據(jù)中位線(xiàn)定理可知FP|DE,且且FP=：Q£,而AB|DE,且AB=Lf)E.則ABPF為平行四邊形.貝！J AF|BP, AF(Z平面BCE, BP?平面 2BCE,滿(mǎn)足線(xiàn)面平行的判定定理,從而證得結(jié)論；(2)根據(jù)AB_L平面ACD, DE|AB,則DE_L平面ACD,又AF?平面ACD,根據(jù)線(xiàn)面垂直的性質(zhì)可知DELAF.又AFJ.CD, CDC1DE = D,滿(mǎn)足線(xiàn)面垂直的判定定理，證得AF,平面CDE,又B

11、P|AF,則BP,平面CDE. BPu平面BCE.根據(jù)面面垂直的判定定 理可證得結(jié)論；(3)由(2),以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A, FD. FP所在的直線(xiàn)分別為x, y, z軸建立空間直角 坐標(biāo)系F-xyz.設(shè)AC=2,根據(jù)線(xiàn)面垂直求出平面BCE的法向量n,而m= (0, 0, 1)為 平面ACD的法向量，設(shè)平面BCE與平面ACD所成銳二面角為明根據(jù)COSM="小可 求出所求.試題解析：(1)解:取CE中點(diǎn)P,連結(jié)FP、BP,VF 為 CD 的中點(diǎn),，F(xiàn)P|DE,且 FP= - DE.2又 AB|DE,且 AB= ；I. AB|FP,且 AB=FP, /.ABPF為平行四邊形,AF|BP又

12、丁 A尸(Z平面BCE,BP U平面BCE, ，AF|平面 BCE(2) VAACD為正三角形,AF1CD.TAB 平面 ACD,DE|AB,.DE1 平面 ACD,又 AFU 平面 ACD,，DE_L AE又 AF±CD,CDnDE=D, 平面 CDE又 BP|AF,ABP1 平面 CDE.又BPu 平面 BCE,平面BCE_L平面CDE(3)法一、由(2),以F為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)A,FD,FP所在的直線(xiàn)分別為x,y,z軸(如圖)，建立空間直角坐標(biāo)系Fxyz.設(shè)AC=2,則 C (0,1,0) ,5(-及(0,1,2).設(shè)3 = (x, y, z)為平面BCE的法向量，:.n.CB =

13、 0,n.CE = 0,:.-X+y + Z = 0 ,令n=l,則方=。一U) 2y + 2z = 0顯然，/ = (0,0,1)為平面ACD的法向量.設(shè)面BCE與面ACD所成銳二面角為6a = 450.則 cos a = 即平面BCE與平面ACD所成銳二面角為45°法二、延長(zhǎng)EB、DA,設(shè)EB、DA交于一點(diǎn)O,連結(jié)CO.則面上BCD面D4C = CO.由AB是AEDO的中位線(xiàn)，則DO = 2 AD.在AOCO 中ZODC = 60°.0cle。，又 OC1OE./. OC 1 面石CD 而 CEu 面 ECD, OC 1 CE,. NEC。為所求二面角的平面角 在 Rf

14、zXEDC 中，;ED = CD,，ECD = 45° 即平面BCE與平面ACD所成銳二 面角為45。.考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；直線(xiàn)與平面平行的判定；平面與平面垂直的判定.4.證明見(jiàn)解析t解析】試題分析：（1）利用已知的線(xiàn)面垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)， 從而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵.（2）證明線(xiàn)面平行，需證線(xiàn)線(xiàn) 平行，只需要證明直線(xiàn)的方向向量與平面的法向量垂直；（3）把向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩 平面法向量夾角的余弦值；（4）空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.應(yīng)用的核心是要 充分認(rèn)識(shí)形體特征，建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，實(shí)施幾何問(wèn)題

15、代數(shù)化.同時(shí)注意兩點(diǎn)：一是正確寫(xiě) 出點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，準(zhǔn)確運(yùn)算；二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理?xiàng)l件要完備.試題解析：（1）如圖，以。為原點(diǎn)，以方，灰,而為方向向量建立空間直角坐標(biāo)系D - xyz.則 P(0,0,2),C(0,2,0),GQ,2,0),E(0,Ll),b(0,0,1),4(2,0,0).：.AP= (-2,0,2)歷=(0,1,0)屈=(1J-1).* = z,y = 0.設(shè)平面石尸G的法向量為 =（x, y, z）n EF = 0, f- y = 0, _ 即nEG = 0, x+y-z = 0./ AP = lx (-2) +0x0 +lx 2 = 0,/. n

16、77; AP.又 AP(Z 平面 EFG,:. AP/ 平面 EFG.（2） v底面45CO是正方形,.4。J_ OC,又/ PD±平面ABCD. AD _L PE>.又 P。n CO =。,. ._L 平面 P CD.向量麗是平面尸CO的一個(gè)法向量，麗= （2Q0）又由（1）知平面石尸G的法向量 = （1,0,1）.k - DA n 2 近. cos < DAy it >= .- = =.DA-n 2近 2二面角G £尸3的平面角為45°.考點(diǎn)：（1）證明直線(xiàn)與平面平行；（2）利用空間向量解決二面角問(wèn)題.5. （I）詳見(jiàn)解析；（II） y.t解

17、析】試題分析：（I）取A6的中點(diǎn)D,連接AD,由已知條件推導(dǎo)出AD_L平面A6C,從而AD1BC,由線(xiàn)面垂直得AA_L8C.由此能證明AB_L6c. （ H ）方法一：連接CD,由已知條件得乙4。即為直線(xiàn)AC與平面A5c所成的角，NAEO即為二面角A AC 5的一個(gè)平面角，由此能求出二面角A AC5的大小.解法二(向量法)：由(1)知A5_15c且6q_L底面N6C,所以以點(diǎn)8為原點(diǎn)，以5C、£4、所在直線(xiàn)分別為x,y,Z軸建立空間直角坐標(biāo)系5-沖2 ,設(shè)5C = a,則A(0,2,0), 5(0,0,0),網(wǎng)= (0,0,2),4(0,2,2), 8乙=(,0,0),嗝二 (0,2

18、,2), AC = (a-2,0)9求出平面A6C的一個(gè)法向量1 = (x,y,z),設(shè)直線(xiàn)AC與平面A6c所成的角為8,則式 乃|-2|1一夕=得5山=94= I I = 解得4 = 2,即4。= (2,2,0),求出平面66 M網(wǎng)2A4C的一個(gè)法向量為元= (1,1,0)，設(shè)銳二面角4A。-B的大小為a ,則/? /?17Tcosa = cos<勺，小 >=昌合=7,且。£(0,彳)，即可求出銳二面角A AC 6的大 阿恒22小.試題解析：解(1)證明：如圖，取A5的中點(diǎn)。，連接AO,因44=48,則AO_LA6 由平面AS。，側(cè)面且平面A6c八側(cè)面= AS,得AO_

19、L平面A5C,又5Cu平面48C,所以A。_16c.因?yàn)槿庵鵄BCAdG是直三棱柱，則AA_L底面46C,所以441_16c.又440人。=人，從而6cl側(cè)面AA6與，又A6u側(cè)面AA6為，故AB_L5c.6分解法一：連接C。，由(1)可知AQ_L平面A8C,則CO是AC在平面A5c內(nèi)的射影 NACD即為直線(xiàn)AC與平面46c所成的角，則乙48= 在等腰直角AA/S中, 6AAi = AB = 2t 且點(diǎn)。是46中點(diǎn)，,. AD = = AB = e,且ZAOC=2, ZACD=- 226 AC = 2屈過(guò)點(diǎn)A作AE_LAC于點(diǎn)七，連。石，由(1)知人。,平面A6C,則人。_14(，且aeha

20、d=a ZAED即為二面角A-A.C-B的一個(gè)平面角且直角AA/C中：4£=AA-AC = 2x=A/6 ,又 3近,"=土.AC 2G 32.八A。屈 yf3sin ZAED=-=，AE 2V62T且二面角4 A。6為銳二面角ZAED= ,即二面角A AC6的大小為?-12 分解法二(向量法)：由(1)知A5_L5C且底面A6C,所以以點(diǎn)8為原點(diǎn)，以BC、£4、所在直線(xiàn)分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系6-冷?，如圖所示，且設(shè) 5C = a.則 A(0,2,0), 5(0,0,0), C(«,0,0), A(0,2,2), BC = («,0,0)t

21、 隨= (0,2,2), 4d =(32,0),例二(0,0,2) 設(shè)平面的一個(gè)法向量 二(x,y,z),由, BA 1 得:xa = 02y+ 2z = 0令)”1得 x = o,z = l,則履(0,LT)設(shè)直線(xiàn)AC與平面46c所成的角為/則d6/日 兀得 sin-=6AC -AC 4J4 + /VI 2解得。=2,即比=(2,-2,0)又設(shè)平面A/。的一個(gè)法向量為公，同理可得&=(LLO),設(shè)銳二面角A-AC-5的大 小為。，則1 ,小 1 o。乃、，曰乃 cosa = cos二=7,且。£（0,彳），得 a =-閭|電223銳二面角4 AC 6的大小為?.考點(diǎn)：1.用

22、空間向量求平面間的夾角；2.空間中直線(xiàn)與直線(xiàn)之間的位置關(guān)系.6. （1）證明見(jiàn)解析；（2） 45°t解析】試題分析：（1）利用已知的線(xiàn)面垂直關(guān)系建立空間直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，從 而將幾何證明轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算.其中靈活建系是解題的關(guān)鍵.（2）證明證線(xiàn)線(xiàn)垂直，只需要證 明直線(xiàn)的方向向量垂直；（3）把向量夾角的余弦值轉(zhuǎn)化為兩平面法向量夾角的余弦值；（4） 空間向量將空間位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為向量運(yùn)算,應(yīng)用的核心是要充分認(rèn)識(shí)形體特征，建立恰當(dāng)?shù)?坐標(biāo)系，實(shí)施幾何問(wèn)題代數(shù)化.同時(shí)注意兩點(diǎn)：一是正確寫(xiě)出點(diǎn)、向量的坐標(biāo)，準(zhǔn)確運(yùn)算； 二是空間位置關(guān)系中判定定理與性質(zhì)定理?xiàng)l件要完備.試題解析：（1）

23、證明：.尸,G分別為P8, 6E的中點(diǎn)，:.FG H PE.又尸G（Z平面PEQ. PEu平面尸EQ.尸G 平面PE3.（2）解.£4_L 平面 A6C0, EA H PD, 平面 45CD AD,CO u 平面 A8CD, _LA£>, PD± CD. /四邊形A5CO是正方形，.A。，8.以。為原點(diǎn)，分別以直線(xiàn)QAOC, OP為x軸，）軸,z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)出=1. .AD=PD = 2EA,.3（0,0,0）,尸（0,0,2）, A（2.0,0）, C（0.2,0）, 8（2,2,0）, E（2,0,l）,PB = （2,2,-2）, PC = （0,2,-2）. F, G , 分別為尸8, EB, PC的中點(diǎn)，1 1-1.F（14,l）, G（2,l,-）, H （0,1,1）,GF = （-1,0,-）,GH = （-2,0,-）.（解法一）設(shè)i =（占,乂，4）為平面尸G”的一個(gè)法向量，則J4 . GF = 0 %GH = 0,-ai+Ti = 0，令)'1 = 1,得1 = (0,。)+ s & = 0設(shè)% = （占, %,z。為平面PBC