復(fù)變函數(shù)積分方法總結(jié)

1、復(fù)變函數(shù)積分方法總結(jié)鍵入文檔副標(biāo)題acer選取日期復(fù)變函數(shù)積分方法總結(jié)數(shù)學(xué)本就靈活多變，各類函數(shù)的排列組合會(huì)衍生多式多樣的函數(shù)新 形勢(shì)，同時(shí)也具有本來(lái)原函數(shù)的性質(zhì)，也會(huì)有多類型的可積函數(shù)類型， 也就會(huì)有相應(yīng)的積分函數(shù)求解方法。就復(fù)變函數(shù)：z=x+iy i 2=-1 , x,y分別稱為z的實(shí)部和虛部，記作 x=Re(z),y=Im(z) 。 arg z= 0? 0?W為主值- 仁 0?0兀， Arg=argz+2k兀。利用直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的關(guān)系式 x=rcos 0 ,y=rsin 0, 故 z= rcos 0+i rsin 0; 利用歐拉公式 ei e=cos 0+isin 0O z=reie。

2、1 .定義法求積分：定義：設(shè)函數(shù)w=f(z)定義在區(qū)域D內(nèi)，C為區(qū)域D內(nèi)起點(diǎn)為A終點(diǎn) 為B的一條光滑的有向曲線，把曲線C任意分成n個(gè)弧段，設(shè)分點(diǎn)為 A=zo,zi,，zk-i, z% ，zn=B,在每個(gè)弧段 zk-i zk(k=12sn)上任 取一點(diǎn)并作和式 S=( (z k-z k-1 )=? ?zk 記？ zk= zk- zk-1 ,弧段zk-1 zk的長(zhǎng)度 =L?S(k=1,2門)，當(dāng) 0時(shí)，不論對(duì)c的 分發(fā)即4的取法如何，S有唯一的極限，則稱該極限值為函數(shù)f(z)沿曲線C的積分為：一上 C一 f? zk設(shè)C負(fù)方向(即B到A的積分記作).當(dāng)C為閉曲線時(shí)，f(z)的積分記作(C圓周正方向?yàn)?/p>

3、逆時(shí)針?lè)较?例題：計(jì)算積分，其中C表示a到b的任一曲線。(1)解：當(dāng)C為閉合曲線時(shí)， =0. f(z)=1 S n=(Zk-Zk-i)=b-a=b =b-a,即 =b-a.(2)當(dāng)C為閉曲線時(shí)，=0. f(z)=2z;沿C連續(xù)，則積分 存在，設(shè)4=Zk-i,則Ei=() (z k-z k-1)有可設(shè)4=zk,則12 2=() (z k-z k-i)因?yàn)镾的極限存在，且應(yīng)與1及2極限相等。所以S n= ( Ei+E2)=b2-a2=b2-a21.2 定義衍生i:參數(shù)法：f(z)=u(x,y)+iv(x,y), z=x+iy 帶入得：=-vdy + i+ udy再設(shè) z(t)=x(t)+iy(t)

4、 (t )參數(shù)方程書寫：z=zo+(zi-z0)t (04W1); z=z0+rei0 (00x)例題1:積分路線是原點(diǎn)到3+i的直線段 解：參數(shù)方程z= (3+i ) t=(3+i)=6+例題2：沿曲線y=x2計(jì)算解： 參數(shù)方程或z=t+it 2(0 1)=()=(1+i)+ 2i =-+i1.3 定義彳濘生2重要積分結(jié)果：z=z(o+ re i0 (0 0 兀)由參數(shù)法可得：=d 0=d 0例題1: 例題2:解： =0解 =2 d2 .柯西積分定理法：2.2 柯西-古薩特定理：若f(z)dz在單連通區(qū)域B內(nèi)解析, 則對(duì)B內(nèi)的任意一條封閉曲線有：=02.3 定理2：當(dāng)f為單連通B內(nèi)的解析函數(shù)

5、是積分與路線無(wú)關(guān)，僅 由積分路線的起點(diǎn)z0與終點(diǎn)zi來(lái)確定。2.4 閉路復(fù)合定理：設(shè)函數(shù)f(z)在單連通區(qū)域D內(nèi)解析，C與 c是d內(nèi)兩條正向簡(jiǎn)單閉曲線，c在c的內(nèi)部，且以復(fù)合閉路r=c+c所圍成的多連通區(qū)域G全含于D則有:=+=0:即=推論：=例題： C為包含0和1的正向簡(jiǎn)單曲線。解：被積函數(shù)奇點(diǎn)z=0和z=1.在C內(nèi)互不相交，互不包含的正向曲線Ci和C2。=+= - -= 一 +- + 一 +-=0+2 d+2 兀 i+0=4 d2.5 原函數(shù)法（牛頓萊布尼茨公式）：定理2.2可知，解析函數(shù)在單連通域B內(nèi)沿簡(jiǎn)單曲線C的積分只與起 點(diǎn)Zo與終點(diǎn)Zi有關(guān),即=這里的Z1和Zo積分的上下限。當(dāng)下限

6、Zo固定，讓上限Zi在B內(nèi)變動(dòng)，則積分 口 在B內(nèi)確定了 一個(gè)單值函數(shù)F(z),即F(z尸 t之所以有若f(z)在單連通區(qū)域B內(nèi)解析，則函數(shù)F(z)必為B內(nèi)的解析函數(shù)， 且 =f(z).根據(jù)定理 2.2 和 2.4 可得 =F(z 1) - F(z 0). 例題：求解： 函數(shù)zcosz在全平面內(nèi)解析=zsinz -=isin i+cosz=isin i+cos i-1=i+-1=e-1-1此方法計(jì)算復(fù)變函數(shù)的積分和計(jì)算微積分學(xué)中類似的方法，但是要注 意復(fù)變適合此方法的條件。2.6 柯西積分公式法：設(shè)B為以單連通區(qū)域，。位B中一點(diǎn)，如f(z)在B內(nèi)解析，則函數(shù)在 %不解析，所以在B內(nèi)沿圍繞為的閉

7、曲線C的積分 一 一般不為 零。 取z0位中心，以0為半徑的正向圓周=位積分曲線由于f(z)的連續(xù)性，所以=2 兀if(z 0)2.6.1 定理：若f(z)在區(qū)域D內(nèi)解析，C為D內(nèi)任何一條正向簡(jiǎn)單 閉曲線，它的內(nèi)部完全含于D, z0為C內(nèi)的任一點(diǎn)，有：f(z 0)=例題：1)2)解：=2 兀 isin z|z=0=0 解:二2Tti| z=-i2.7 解析函數(shù)的高階與數(shù)：解析函數(shù)的導(dǎo)數(shù)仍是解析函數(shù)，它的 n階導(dǎo)數(shù)為f (zo)=- dz(n=1,2 )其中C為f(z)的解析區(qū)域D內(nèi)圍繞z。的任一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，而 它的內(nèi)部全含于D.例題： C: =1解：由高階導(dǎo)數(shù)的柯西積分公式：原式=2 布

8、(e Z) | z二一=一3 .解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)：定義：(1)調(diào)和函數(shù)：如果二元實(shí)函數(shù)(x,y)在區(qū)域D內(nèi)具有二階連續(xù)函數(shù)，且滿足拉普拉斯方程：一+一二。，則稱(x,y)為區(qū)域D內(nèi)的調(diào)和函數(shù)。若f(z)=u+iv 為解 析函數(shù)，則u和v都是調(diào)和函數(shù)，反之不一定正確(2)共鈍調(diào)和函數(shù)：u(x , y)為區(qū)域內(nèi)給定的調(diào)和函數(shù)，我們把是 u+iv在D內(nèi)構(gòu)成解析函數(shù)的調(diào)和函數(shù) v(x,y)稱為u(x,y)的共鈍調(diào)和 函數(shù)。若v是u的共鈍調(diào)和函數(shù)，則-u是v的共鈍調(diào)和函數(shù)關(guān)系：任何在區(qū)域D內(nèi)解析的函數(shù)，它的實(shí)部和虛部都是D內(nèi)的調(diào)和 函數(shù)；且虛部為實(shí)部的共鈍調(diào)和函數(shù)。3.2 求解方法：(1)偏積分法：若

9、已知實(shí)部u=u(x,y),利用C-R方程先求得v的偏導(dǎo)數(shù)=，兩邊對(duì) y 積分得 v二 .再由= 又彳導(dǎo)+=- ,/AfTn = dx + Cv= + dx + C同理可由 v(x,y) 求u(x,y).3.3 不定積分法：|因?yàn)?=U+i V x= Ux-iU y= Vy+iVx所以 f(z尸+c f(z)=+c3.4 線積分法：若已知實(shí)部 u=u(x,y), 利用 C-R 方程可得的dv=dx+dy=-dx+故虛部為該積分與路徑無(wú)關(guān)，可自選路徑，同理已知v(x,y)也可求u(x,y).例題：設(shè)U=x2-y 2+xy為調(diào)和函數(shù)，試求其共鈍函數(shù)v(x,y)級(jí)解析函數(shù) f(z)=u(x,y)+iv

10、(x,y)解：利用C-R條件=2x+y=-2y+x =2 =-2所以滿足拉普拉斯方程，有=2y-x =2x+y所以 v=+=2xy- +=2x+=2x+y=y =+cv(x,y)=2xy-+cf(z尸u(x,y)+iv(x,y)=-(2-i)+iC4.留數(shù)求積分：留數(shù)定義：設(shè)Z0為函數(shù)f(z)的一個(gè)孤立奇點(diǎn)，即f(z)在去心鄰域、0 ,我們把f(z)在Z0處的洛朗展開(kāi)式中負(fù)一次哥項(xiàng)系數(shù)c-1稱為 f(z)在 zo處的留數(shù)，記為 Resf(z),z 0即 Resf(z),z o=c -1或者 Resf(z),z 0= C 為 04.1 留數(shù)定理：設(shè)函數(shù)f(z)在區(qū)域D內(nèi)除有限個(gè)孤立奇點(diǎn)ziz2

11、zn,=2 %i其中zk表示函數(shù)的孤立奇點(diǎn)4.2 孤立奇點(diǎn)：定義：如果函數(shù) 在z0不解析，但在z0某個(gè)去心鄰域0V 內(nèi) 解析，則稱z為的孤立奇點(diǎn)。例如-、一都是以z=0為孤立奇點(diǎn)函數(shù)以z=-1、z=2為孤立奇點(diǎn) ( )在孤立奇點(diǎn)z=z的去心鄰域內(nèi)，函數(shù) 可展開(kāi)為洛朗級(jí)數(shù)=()洛朗級(jí)數(shù)中負(fù)哥項(xiàng)是否存在，若存在是有限項(xiàng)還是無(wú)限項(xiàng)，這對(duì)f(z) 在z處的奇異性將起著決定性的作用。討論孤立奇點(diǎn)z的類型：4.2.1 可去奇點(diǎn)：若函數(shù)f(z)在孤立奇點(diǎn)z0的去心鄰域內(nèi)的洛朗展開(kāi)式中不含負(fù)哥項(xiàng)，即對(duì)一切 n0有cn=0,則稱z。是f(z)的可去 奇點(diǎn)因?yàn)闆](méi)有負(fù)事項(xiàng)，即c-n=0,(n=1,2.)故c-i=0

12、。遇到函數(shù)f(z)的奇點(diǎn)類型是可去奇點(diǎn)，一般對(duì)函數(shù)求積分一般為零=2 d=0。判斷可去奇點(diǎn)方法：(1)函數(shù)在某個(gè)去心鄰域0V 內(nèi)解析，則Z0是的可去奇點(diǎn)的充要條件是存在極限()=Co,其中Co是一復(fù)常數(shù)；在的假設(shè)下，Zo是f(Z)可去奇點(diǎn)的充要條件 是：存在rw ,使得f(z)在0 r內(nèi)有界4.2.2 極點(diǎn)：若函數(shù)f(z)在孤立奇點(diǎn)zo的去心鄰域內(nèi)洛朗級(jí)數(shù)展 開(kāi)式中只有有限個(gè)負(fù)哥項(xiàng)，即有正整數(shù)mi c-m 0,而當(dāng)n-m時(shí)c-n=0則稱Z0是f(z)的m級(jí)極點(diǎn)。其洛朗展開(kāi)式是：f(z)= +C0+c(z-z 0)n+m+( ) ( )+C0(z-z 0) n + 這里 C-m 0, 于是在 0

13、 有 f(z) = +( ) ( )+C0+Ci(z-z 0)n+m+C0(z-z 0) n + = .*一個(gè)在0解析，同時(shí)，則z。是f(z)的m級(jí)極點(diǎn)。判斷定理：(1) f(z)在z0的去心鄰域0解析，z0是f(z)的m級(jí)極點(diǎn)的充要條件是可以表示成*的形式。(2) z0是f(z)的m級(jí) 極點(diǎn)的充要條件是=.4.2.3 本性奇點(diǎn)：若函數(shù)f(z)在孤立奇點(diǎn)z0的去心鄰域內(nèi)洛朗級(jí)數(shù)展開(kāi)式中只有無(wú)限個(gè)負(fù)哥項(xiàng)，則稱z0是f(z)的本性奇點(diǎn)判斷方法：孤立奇點(diǎn)是本性奇點(diǎn)的充要條件是不存在有限或無(wú)窮的極4.3 函數(shù)在極點(diǎn)的留數(shù)：準(zhǔn)則一：若Z0為一級(jí)極點(diǎn)，則Resf(z),z 0=準(zhǔn)則二：做z。為m級(jí)極點(diǎn)，則

14、Resf(z),z 0= (z-z o)f(z)準(zhǔn)則三：設(shè)f(z)= ,P(z)以及Q(z)都在z。解析,如果P(z。) 0,Q(z。),則z0是f(z)的一級(jí)極點(diǎn)，而且：Resf(z),z 0=4.4 無(wú)窮遠(yuǎn)處的留數(shù)：定義：擴(kuò)充z平面上設(shè)z=為f(z)上的孤立奇點(diǎn)，即f(z)在R + 內(nèi)解析，C為圓環(huán)繞原點(diǎn)z=0的任一條正向簡(jiǎn)單閉曲線，則積分值稱為f(z)在z二處的留數(shù)，記作Resf(z),=如果f(z),在R +內(nèi)的洛朗展開(kāi)式為f(z),=則有 Resf(z), =-c -14.4.1 如果f(z)在擴(kuò)充復(fù)平面上只有有限個(gè)孤立奇點(diǎn)(包括無(wú)窮遠(yuǎn)處在內(nèi))設(shè)為zi, z2,，zn,則f(z)在各

15、奇點(diǎn)的留數(shù)總和為零即+Resf(z), =0;4.4.2 Resf，=-Resf( ),0例題：求下列Resf(z), 的值(1) f(z尸 一f(z尸 解：(1)在擴(kuò)充復(fù)平面上有奇點(diǎn)：1,，而1為f(z)的一級(jí)極點(diǎn)且 Resf(z),1=一= eResf(z),-1=-: Resf(z), + Resf(z),1 + Resf(z),-1=0 得. Resf(z), =-Resf(z),1+Resf(z),-1二-()=-sh1(2)由公式 Resf(z), =-Resf( -) ,0,而一f(-尸以z=0為可去奇點(diǎn)，所以Resf(z), = -Resf( -) 一,0=04.5用留數(shù)定理計(jì)算積分：4.5.1 形如d的定積分計(jì)算；其中為cos與 的有理函數(shù)。故解這類題是就會(huì)聯(lián)想到復(fù)變函數(shù)與三角變換的相關(guān)知識(shí)-歐拉公式，令 z= ,dz=izd =i d d = sin=()= cos則d =其中f(z)=- 然后又留數(shù)定理求的積分值為2 7d其中zk (k=1,2,- n)為f(z)在單位圓周內(nèi)的所有孤立奇點(diǎn)。4.5.2 形如的