排列組合常用技巧【微信公眾號：一起來學(xué)數(shù)學(xué)】

1、有關(guān)排列組合的常用解題技巧排列組合問題是高考必考題，它聯(lián)系實(shí)際生動有趣，但題型多樣，思路靈活，不易掌 握，實(shí)踐證明，備考有效方法是題型與解法歸類、識別模式、熟練運(yùn)用，本文介紹十二類典 型排列組合題的解答策略.1 .相鄰問題并組法（捆綁法）題目中規(guī)定相鄰的幾個元素并為一個組（當(dāng)作一個元素）參與排列.【例1】A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果 A、B必須相鄰且B在A的右邊，那么不同的排法種數(shù)有A . 60 種 B . 48 種 C. 36 種D . 24 種分析 把A、B視為一人，且B固定在A的右邊，則本題相當(dāng)于 4人全排列，P： =24種，故選D.2 .相離問題插空法元素相離（即不相鄰）問

2、題，可先把無位置要求的幾個元素全排列，再把規(guī)定相離的幾個元 素插入上述幾個元素間的空位和兩端.【例2】七個人并排站成一行，如果甲乙兩個必須不相鄰，那么不同排法的種數(shù)是A. 1440 B. 3600 C. 4820 D. 4800分析 除甲、乙外，其余 5個排列數(shù)為P%種，再用甲、乙去插6個空位有P2種，不同排法種數(shù)是P5 P2 = 3600種，故選B.65 63.定序問題縮倍法在排列問題中限制某幾個元素必須保持一定順序，可用縮小倍數(shù)的方法.【例3】A、B、C、D、E五個人并排站成一排，如果 B必須站A的右邊（A、B可不相 鄰），那么不同的排法種數(shù)有A. 24 種B. 60 種 C. 90 種

3、D. 120 種分析 B在A右邊與B在A左邊排法數(shù)相同，所以題設(shè)的排法只是15個兀素全排列數(shù)的一半，即 P5 =60種，故選B.2 54 .標(biāo)號排位問題分步法把元素排到指定號碼的位置上，可先把某個元素按規(guī)定排入，第二步再排另一個元素， 如此繼續(xù)下去，依次即可完成.【例4】將數(shù)字1, 2, 3, 4填入標(biāo)號為1, 2, 3, 4的四個方格里，每格填一個數(shù)，則每個方格的標(biāo)號與所填數(shù)字均不相同的填法有A. 6 種B. 9 種 C. 11 種 D. 23 種分析 先把1填入方格，符合條件的有 3種方法，第二步把被填入方格的對應(yīng)數(shù)字填入 其它三個方格，又有三種方法；第三步填余下的兩個數(shù)字，只有一種填法，

4、共有3X3X1 = 9種填法，故選B.5 .有序分配問題逐分法有序分配問題是指把元素按要求分成若干組，可用逐步下量分組法.【例5】有甲、乙、丙三項(xiàng)任務(wù)，甲需2人承擔(dān)，乙丙各需 1人承擔(dān)，從10人中選出4人承擔(dān)這三項(xiàng)任務(wù)，不同的選法總數(shù)有A . 1260 種 B. 2025 種C. 2520 種 D. 5040 種分析 先從10人中選出2個承擔(dān)甲項(xiàng)任務(wù)，再從剩下 8個中選1人承擔(dān)乙項(xiàng)任務(wù)，第三步從另外7人中選1個承擔(dān)兩項(xiàng)任務(wù)，不同的選 法共有C1 C1 C1 =2520種，故選C.10876 .多元問題分類法元素多，取出的情況也有多種，可按結(jié)果要求，分成不相容的幾類情況分別計算，最后 總計.【例

5、6】由數(shù)字 0, 1,2, 3, 4, 5組成且沒有重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個位數(shù)字小于十 位數(shù)字的共有A. 210 個 B. 300 個 C. 464 個 D . 600 個分析 按題意，個位數(shù)字只可能是0, 1, 2, 3, 4共5種情況，分別有P5個，P1P1P3個、P1P1P3個、P1P1P3個、P1P3個，合并總計得300 54 3 33 3 32 3 33 3個，故選B.【例7】從1, 2, 3, 100這100個數(shù)中，任取兩個數(shù)，使它們的乘積能被7整除，這兩個數(shù)的取法(不計順序)共有多少種？分析 被取的兩個數(shù)中至少有一個能被7整除時，它們的乘積就能被 7整除，將這100個數(shù)組成的集

6、合視為全集I ,能被 7整除的數(shù)的集合記作 A,則A= 7, 14,98共有14 個元素，不能被7整除的數(shù)的集合A 1, 2, 99, 100共有86個元素.由此可知，從A中任取兩數(shù)的取法，共有C2種114從A中任取一個數(shù)又從A中住取一個數(shù)的取 法，共有C1 C1種，兩種情形共得符合要求的取法有 C2 C1 C1129514 861414 86例8從1, 2, 100這100個數(shù)中，任取兩個數(shù)，使其和能被4整除的取法(不計順序)有多少？分析 將1= 1, 2,，100分成四個不相交的子集，能被 4整除的數(shù)集A= 4, 8,，100;被4除余1的數(shù)集B= 1, 5,，97;被4除余2的數(shù)集為C=

7、 2,6,98;被4除余3的數(shù)集為D= 3, 7, 99,易見這四個集合，每一個都含 25個元 素；從A中任取兩個數(shù)符合要求；從 B、D中各取一個數(shù)的取法也符合要求；從 C中任取兩 個數(shù)的取法同樣符合要求；此外其它取法都不符合要求.由此即可得符合要求的取法共有 C2 + C1 C1 + C2 (種).2525 25257 .交叉問題集合法某些排列組合問題幾部分之間有交集，可用集合中求元素個數(shù)公式n(A UB) = n(A) + n(B)n(A n B)例 9從6名運(yùn)動員中選出4個參加4X 100m接力賽，如果甲不跑第一棒，乙不跑第 四棒，共有多少種不同參賽方法？分析 設(shè)全集1= 6人中任取4人

8、參賽的排列 , A= 甲第一棒的排列 , B= 乙跑 第四棒的排列,根據(jù)求集合元素個數(shù)的公式得參賽方法共有：n(I)-n(A)- n(B) + n(AAB) = P4 P3 P3 P2 =252(種).65548 .定位問題優(yōu)先法某個(或幾個)元素要排在指定位置，可先排這個(幾個)元素，再排其他元素.【例10】1名老師和4名獲獎同學(xué)排成一排照像留念，若老師不在兩端，則有不同的排 法有 種.分析 老師在中間二個位置上選/個位置，有P1種；然后4名同學(xué)在其余4個位置上有P4種，共P1 P4 = 72種.43 49 .多排問題單排法把元素排成幾排的問題，可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理.【例11】6個不

9、同的元素排成前后兩排，每排3個元素，那么不同的排法種數(shù)是 A. 360 B. 120 C. 720 D. 1440.分析 前后兩排可看成一排的兩段，因此本題可視為6個不同元素排成一排，共P6=720#,故選C.【例12】8個不同的元素排成前后兩排，每排4個元素，其中某2個元素要排在前排，某1個元素要排在后排，有多少種排法？分析 看成一排，某2個元素在前半段四個位置中選排2個，有R2種；某1個元素在后半段四個位置中選一個，有P1種；其余5個元素任排在剩余的5個位置上有P5種，故共有P1 P2P5 = 5760種排法.54 4 510 . “至少”問題間接法關(guān)于“至少”類型組合問題，用間接法較方便

10、.【例13】從4臺甲型和5臺乙型電視機(jī)中任取出 3臺，其中至少要甲型和乙型電視機(jī)各一臺，則不同取法共有A. 140 種 B. 80 種 C. 70 種 D. 35 種分析 逆向思考，至少各一臺的反面就是分別只取一種型號，不取另一種型號的電視機(jī)，故不同取法共有 C3 C3 C3=70種.故選C.94511 .選排問題先取后排法從幾類元素中取出符合題意的幾個元素，再安排到一定位置上，可用先取后排法.【例14】四個不同的球放入編號為1, 2, 3, 4的四個盒中，則恰有一個空盒的放法共有種分析 先取四個球中的二個為一組，另二組各一個球的方法有C24種；在四個盒中每次排三個有P3種，故共有C2C3 = 144種.444【例15】9名乒乓球運(yùn)動員，其中男 5名，女4名，現(xiàn)在要進(jìn)行混合雙打訓(xùn)練，有多少 種不同分組法？分析先取男、女運(yùn)動員各二名，有C2C2種；這四名運(yùn)動員混雙練5 4習(xí)有P 2種排法，故共有C2 C2 P2種分組法.25 4 212.部分合條件問題排除法在選取總數(shù)中，只有一部分合條件，可從總數(shù)中減去不合條件數(shù)，即為所求.【例16】以一個正方體頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有A. 70 個 B. 64 個C. 58 個 D . 52 個分析 正方