主成分分析計算方法和步驟56323

1、主成分分析計算方法和步驟：在對某一事物或現(xiàn)象進(jìn)行實證研究時 ,為了充分反映被研究對象個體之間的差異 , 研究者往往要考慮 增加測量指標(biāo) ,這樣就會增加研究問題的負(fù)載程度。但由于各 指標(biāo)都 是對同一問題的反映 ,會造成信息的重疊 ,引起變量之間的共線性 ,因此 ,在 多指標(biāo)的數(shù) 據(jù)分析中 ,如何壓縮指標(biāo)個數(shù)、壓縮后的指標(biāo)能否充分反映個體之間的差異 ,成為研究 者關(guān)心的問題。而主成分分析法可以很好地解決這一問題。 主成分分析的應(yīng)用目 的可以簡單地歸結(jié)為 : 數(shù)據(jù)的壓縮、數(shù)據(jù)的解釋。它常被 用來尋 找和判斷某種事物或現(xiàn)象的綜合指標(biāo) ,并 且對綜合指標(biāo)所包含的信息給 予適當(dāng)?shù)慕忉?, 從而更加深刻地揭

2、示事物的內(nèi)在規(guī)律。主成分分析的基本步驟分為 : 對原始指標(biāo)進(jìn)行標(biāo)準(zhǔn)化 ,以消除變量在數(shù)量極或 量綱上的影響；根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化后的數(shù)據(jù)矩陣求出相關(guān)系數(shù)矩陣R;求出R矩陣的特征 根和特征向量 ; 確定主成分 ,結(jié)合專 業(yè)知識對各主成分所蘊(yùn)含的信 息給予適當(dāng)?shù)慕忉?合成主成分，得到綜合評價值。結(jié)合數(shù)據(jù)進(jìn)行分析本題分析的是全國各個省市高?？冃гu價，利用全國2014年的相關(guān)統(tǒng)計數(shù)據(jù) （見附錄），從相關(guān)的指標(biāo)數(shù)據(jù)我們無法直接評價我國各省市的高等教育績效，而通 過表 5-6的相關(guān)系數(shù)矩陣，可以看到許多的變量之間的相關(guān)性很高。如：招生人 數(shù)與教職工人數(shù)之間具有較強(qiáng)的相關(guān)性， 教育投入經(jīng)費(fèi)和招生人數(shù)也具有較強(qiáng)的 相關(guān)

3、性，教工人數(shù)與本科院校數(shù)之間的相關(guān)系數(shù)最高，到達(dá)了0.963，而各組成成分之間的相關(guān)性都很高，這也充分說明了主成分分析的必要性。表5-6相關(guān)系數(shù)矩陣本科院校數(shù)招生人數(shù)教育經(jīng)費(fèi)投入相關(guān)性師生比重點(diǎn)咼校數(shù) 教工人數(shù)本科院校數(shù) 招生人數(shù)教育經(jīng)費(fèi)投入0.2790.3450.9631.0000.9380.8810.3290.2040.9540.9381.0000.8930.2520.3100.8960.8810.8931.000師生比重點(diǎn)咼校數(shù)教工人數(shù)相關(guān)性師生比1.000-0.2180.208重點(diǎn)咼校數(shù)-0.2181.0000.433教工人數(shù)0.2080.4331.000本科院校數(shù)0.2790.345

4、0.963招生人數(shù)0.3290.2040.954教育經(jīng)費(fèi)投入（元）0.2520.3100.896表5-7給出的是各主成分的方差貢獻(xiàn)率和累計貢獻(xiàn)率，我們選取主成分的標(biāo)準(zhǔn)有兩個：第一，特征根大于 1因為，如果特征根小于 1說明該主成分的解釋力 度太弱，還比不上直接引入一個原始變量的平均解釋力度大；第二，方差貢獻(xiàn)率大于85%，如果這兩個標(biāo)準(zhǔn)不能同時符合要求，則往往是因為選擇的指標(biāo)不合理 或者樣本容量太小，應(yīng)繼續(xù)調(diào)整。表5-7還顯示，只有前2個特征根大于1因此 SPSS只提取了前兩個主成分，而這兩個主成分的方差貢獻(xiàn)率達(dá)到了 87.081%因 此選取前兩個主成分已經(jīng)能夠很好地描述我國高等教育地區(qū)現(xiàn)狀。表

5、5-7方差貢獻(xiàn)率以及累計貢獻(xiàn)率起始特征值提取平方和載入元方差的貢累加貢獻(xiàn)方差的貝獻(xiàn)件合計獻(xiàn)率%率%合計率%累加貢獻(xiàn)率%13.98366.39066.39C3.98366.39066.39021.24120.69187.0811.24120.69187.08130.5719.50896.589.5719.50896.58940.1402.33598.925.1402.33598.92550.0520.86999.794.0520.86999.79460.0120.206100.00C.0120.206100.000表5-8為輸出的主成分系數(shù)矩陣，可以說明各主成分在各變量上的載荷。由表5-8可以看

6、出，標(biāo)準(zhǔn)化后的第一主成分（簡稱Fi）對所有變量都有載荷，且載荷絕對值 幾乎都在0.7以上,因此可以說第一主成分是對人口結(jié)構(gòu)的度量，代表了一個地區(qū) 人口結(jié)構(gòu)狀況，可以稱之為“綜合因子”。在綜合因子中，平均每戶人口，農(nóng)業(yè)與 非農(nóng)業(yè)人口比例，人口的自然增長率比重即 人口自然增長各指標(biāo)具有較強(qiáng)的作 用，人與經(jīng)濟(jì)等其他指標(biāo)所起的作用次之男女比例也起一定作用。第二主成分 （簡稱F?）對重點(diǎn)高校數(shù)和教工人數(shù)具有負(fù)載荷，其他變量具有正載荷，并且除 師生比和重點(diǎn)高校數(shù)載荷絕對值均小于 0.2有的甚至接近于0.1。因此，第二個主 成分只是匯集了第一主成分遺漏的部分信息，我們稱之為“輔助因子”。表5-8主成分矩陣成

7、分F1F2師生比0.3170.799重點(diǎn)咼校數(shù)0.396-0.759教工人數(shù)0.984-0.095本科院校數(shù)0.9730.005招生人數(shù)0.9640.131教育經(jīng)費(fèi)投入0.9390.011表5-9主成分評分系數(shù)矩陣成分F1F2師生比.079.643重點(diǎn)咼校數(shù).099-.612教工人數(shù).247-.077本科院校數(shù).244.004招生人數(shù).242.106教育經(jīng)費(fèi)投入.236.009根據(jù)表5-9可以得到各主成分的表達(dá)式F| =0.079x1 0.099x2 0.247x3 0.244x4 0.242x5 0.236x6F20.643x1 0.612x2 0.077x3 0.004x4 0.106x5

8、 0.009x6把變量分別代入以上表達(dá)式，可以得出 Fl和F2兩個主成分得分，但單獨(dú)一個主成分不能很好地評價十個地區(qū)人口結(jié)構(gòu)的情況， 因此需要按照各主成分對應(yīng)的方 差貢獻(xiàn)率為權(quán)數(shù)計算綜合統(tǒng)計F，( F 0.6639Fi 0.2069們2)0.87081主成分分析法的優(yōu)點(diǎn)：1、可消除評價指標(biāo)之間的相關(guān)影響因為主成分分析在對原指標(biāo)變量進(jìn)行變換后形成了彼此相互獨(dú)立的主成分， 而且實踐證明指標(biāo)之間相關(guān)程度越高， 主成 分分析效果越好。2、可減少指標(biāo)選擇的工作量 對于其它評價方法，由于難 以消除評價指標(biāo)間的相關(guān)影響，所以選擇指標(biāo)時要花費(fèi)不少精力，而主成分分析 由于可以消除這種相關(guān)影響，所以在指標(biāo)選擇上相

9、對容易些。3、當(dāng)評級指標(biāo)較多時還可以在保留絕大部分信息的情況下用少數(shù)幾個綜合指標(biāo)代替原指標(biāo)進(jìn)行分析 主成分分析中各主成分是按方差大小依次排列順序的，在分析問題時， 可以舍棄一部分主成分，只取前后方差較大的幾個主成分來代表原變量， 從而減 少了計算工作量。4、在綜合評價函數(shù)中，各主成分的權(quán)數(shù)為其貢獻(xiàn)率，它反 映了該主成分包含原始數(shù)據(jù)的信 息量占全部信息量的比重，這樣確定權(quán)數(shù)是客 觀的、合理的，它克服了某些評價方法中認(rèn)為確定權(quán)數(shù)的缺陷。5、這種方法的計算比較規(guī)范，便于在計算機(jī)上實現(xiàn)，還可以利用專門的軟件主成分分析法的缺點(diǎn):1在主成分分析中，我們首先應(yīng)保證所提取的前幾個主成分的累計貢獻(xiàn)率達(dá)到一個較高的水平（即變量降維后的信息量須保持在一個較高水平上） ，其次對這 些被提取的主成分必須都能夠給出符合實際背景和意義的解釋（否則主成分將空 有信息量而無實際含義）。2、主成分