Maple提高教程B3- Maple中的偏微分方程求解

1、 B3: Maple中的偏微分方程求解11.0 Maple中的微分方程求解器介紹Maple中微分方程求解器使用領(lǐng)先的算法求解以下問(wèn)題:常微分方程 (ODEs: dsolve 命令用于求解線性和非線性O(shè)DEs, 初始值問(wèn)題 (IVP, 以及邊界 值問(wèn)題 (BVP,可以通過(guò)參數(shù)項(xiàng)選擇求符號(hào)解 (解析解 或數(shù)值解。ODE Analyzer Assistant 微分方程分析器助手提供一個(gè)交互式用戶界面方便用戶求解 ODE 以及顯示結(jié)果的圖形。了 解更多信息,參考幫助系統(tǒng)中的 dsolve , dsolve/numeric, 和 ODE Analyzer.偏微分方程 (PDEs: pdsolve 命令用

2、于求 PDEs 和含邊界值問(wèn)題的 PDEs 的符號(hào)解或數(shù)值 解。使用Maple的PDE工具可以完成對(duì)PDE系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)分析和指數(shù)降階處理。了解更多信 息,參考幫助系統(tǒng)中的 微分-代數(shù)方程 (DAEs: dsolve/numeric 命令是符號(hào)-數(shù)值混合求解器,使用符號(hào)預(yù)處理和降 階技術(shù),讓Maple能夠求解高指數(shù)的DAE問(wèn)題。Maple內(nèi)置三個(gè)求解器用于處理DAEs:1 修正的 Runge-Kutta Fehlberg 方法,2Rosenbrock 方法,以及 3修正的拓展后向差分隱 式方法。11.1 求解偏微分方程 PDE 問(wèn)題 (BVP和 IVP Maple 求解經(jīng)典力學(xué)難題的能力是非常著名

3、的,它的數(shù)值和符號(hào)偏微分方程求解器是其中的 重要工具。 11.1.1 初始化 下面的Maple代碼定義了一個(gè)名為P X的程序,生成函數(shù)的周期展開。 PX := proc(h:algebraic,procedure,g:range,name=rangelocal L, D, var; if type(g,'range' then L := lhs(g; D := rhs(g - L; (1(2 if not type(h,'procedure' then var := indets(h,'name'if nops(var <> 1 th

4、en error "need to specify a variable" end if;var := op(var; end if;else L := lhs(rhs(g;D := rhs(rhs(g - L;var := lhs(g; end if;if type(h,'procedure' then proc(x:algebraic h(x - floor(x-L/D*D; end;else proc(x:algebraic eval(h, var = x - floor(x-L/D*D; end;end if;end:11.1.2 數(shù)值解和圖形解 一

5、個(gè)空間變量的波動(dòng)方程是: 假設(shè)初始形狀由下面的函數(shù)給出: 對(duì)應(yīng)的圖形如下:(4 (3Maple中的命令 將求解單變量演化方程(雙曲和拋物的數(shù)值解(有限差分。 這個(gè)命令創(chuàng)建了一個(gè)模塊,可以看到模塊的輸出函數(shù)是 plot, plot3d, animate, 和 va l u e。 時(shí)間 的圖形: x 0246810圖 2 Figure 3動(dòng)畫: (5 (6 x24681001time = 0.000000 的函數(shù): 的解: (7 (8 的精確值是: (9 圖 4 的奇次周期展開如下:我們注意到輸出是一個(gè)程序體,忽略Maple輸出的細(xì)節(jié),我們?cè)俅问褂脠D形來(lái)驗(yàn)證工作, 得到【圖5】。 圖 5 (11

6、(10 圖 6數(shù)值解項(xiàng)。 (12(13 x10203040 (15 (14 x10203040110.2.4.2 解析解Klein-Gordon方程產(chǎn)生分離的變量。因此,假設(shè)解的形式如下:因此Klein-Gordon方程,這里 ,變?yōu)?除以 得到:(20(21(15(17(16 (19(18 = 0(21 初始條件 得到條件 ，然后得到解。 (22 可以寫為： (23 使用常用的技術(shù)，前一段落中的BVP的數(shù)值解可以表示為級(jí)數(shù)： 這里系數(shù)b 由下面給出： (24 最終得到： (25 得到一個(gè)近似部分和： 疊加解后的動(dòng)畫： 1 0 10 20 x 30 40 可以發(fā)現(xiàn)數(shù)值解和級(jí)數(shù)近似值幾乎等同。

7、11.1.5 求解初始值偏微分方程問(wèn)題（熱傳導(dǎo)方程） 數(shù)值解 pde := diff(u(x, t, t = diff(u(x, t, x, x; (26 初始條件： ibc := (D1(u(0, t+a*u(0, t = h(t, u(x, 0 = 0; (27 可以得到數(shù)值解，但是我們需要定義 a 和 h 的值，以及提供第二個(gè)邊界條件： ibc1:=D1(u(0,t+2*u(0,t=cos(t,u(x,0=0,u(0,t=1; (28 pds:=pdsolve(pde,ibc1,numeric,time=t,range=0.1; (29 我們可以做其他計(jì)算，例如生成解的三維圖形： pds

8、:-plot3d(t=0.1,x=0.1,axes=boxed; 關(guān)于偏微分方程組數(shù)值解的更多信息，請(qǐng)參閱下面的幫助文件： ?pdsolve,numeric 上面的幫助頁(yè)中包含了處理熱傳導(dǎo)方程的示例。 解析解 我們可以使用 pdsolve （無(wú)需參數(shù)項(xiàng)）命令計(jì)算偏微分方程的解析解： gsol:=pdsolve(pde; (30 結(jié)果可以拆分為方程（eq）和條件（conds）： eq:=op(gsol1; conds:=op(op(gsol2; (31 我們可以用 dsolve 命令求解常微分方程組，然后使用結(jié)果對(duì) eq 求值： conditions:=dsolve(conds; (32 solution:=eval(eq,conditions; (33 我們可以判定結(jié)果是否滿足偏微分方程：