Ktwcbl高考數(shù)學難點突破 難點25 圓錐曲線綜合題

1、生命是永恒不斷的創(chuàng)造，因為在它內(nèi)部蘊含著過剩的精力，它不斷流溢，越出時間和空間的界限，它不停地追求，以形形色色的自我表現(xiàn)的形式表現(xiàn)出來。泰戈爾難點25 圓錐曲線綜合題圓錐曲線的綜合問題包括：解析法的應(yīng)用，與圓錐曲線有關(guān)的定值問題、最值問題、參數(shù)問題、應(yīng)用題和探索性問題，圓錐曲線知識的縱向聯(lián)系，圓錐曲線知識和三角、復數(shù)等代數(shù)知識的橫向聯(lián)系，解答這部分試題，需要較強的代數(shù)運算能力和圖形認識能力，要能準確地進行數(shù)與形的語言轉(zhuǎn)換和運算，推理轉(zhuǎn)換，并在運算過程中注意思維的嚴密性，以保證結(jié)果的完整.難點磁場()若橢圓=1(ab0)與直線l：x+y=1在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點，求a、b所滿足的條件，并畫

2、出點P(a,b)的存在區(qū)域.案例探究例1已知圓k過定點A(a,0)(a0),圓心k在拋物線C：y2=2ax上運動，MN為圓k在y軸上截得的弦.(1)試問MN的長是否隨圓心k的運動而變化？(2)當|OA|是|OM|與|ON|的等差中項時，拋物線C的準線與圓k有怎樣的位置關(guān)系？命題意圖：本題考查圓錐曲線科內(nèi)綜合的知識及學生綜合、靈活處理問題的能力，屬級題目.知識依托：弦長公式，韋達定理，等差中項，絕對值不等式，一元二次不等式等知識.錯解分析：在判斷d與R的關(guān)系時，x0的范圍是學生容易忽略的.技巧與方法：對第(2)問，需將目標轉(zhuǎn)化為判斷d=x0+與R=的大小.解：(1)設(shè)圓心k(x0,y0),且y0

3、2=2ax0,圓k的半徑R=|AK|=|MN|=2=2a(定值)弦MN的長不隨圓心k的運動而變化.(2)設(shè)M(0,y1)、N(0,y2)在圓k：(xx0)2+(yy0)2=x02+a2中，令x=0，得y22y0y+y02a2=0y1y2=y02a2|OA|是|OM|與|ON|的等差中項.|OM|+|ON|=|y1|+|y2|=2|OA|=2a.又|MN|=|y1y2|=2a|y1|+|y2|=|y1y2|y1y20，因此y02a20,即2ax0a20.0x0.圓心k到拋物線準線距離d=x0+a,而圓k半徑R=a.且上兩式不能同時取等號，故圓k必與準線相交.例2如圖，已知橢圓=1(2m5),過其

4、左焦點且斜率為1的直線與橢圓及其準線的交點從左到右的順序為A、B、C、D，設(shè)f(m)=|AB|CD|(1)求f(m)的解析式；(2)求f(m)的最值.級題目.知識依托：直線與圓錐曲線的交點，韋達定理，根的判別式，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值.錯解分析：在第(1)問中，要注意驗證當2m5時，直線與橢圓恒有交點.技巧與方法：第(1)問中，若注意到xA,xD為一對相反數(shù)，則可迅速將|AB|CD|化簡.第(2)問，利用函數(shù)的單調(diào)性求最值是常用方法.解：(1)設(shè)橢圓的半長軸、半短軸及半焦距依次為a、b、c，則a2=m,b2=m1,c2=a2b2=1橢圓的焦點為F1(1,0),F2(1,0).故直線的方程為y=

5、x+1,又橢圓的準線方程為x=±,即x=±m.A(m,m+1),D(m,m+1)考慮方程組,消去y得：(m1)x2+m(x+1)2=m(m1)整理得：(2m1)x2+2mx+2mm2=0=4m24(2m1)(2mm2)=8m(m1)22m5,0恒成立，xB+xC=.又A、B、C、D都在直線y=x+1上|AB|=|xBxA|=(xBxA)·,|CD|=(xDxC)|AB|CD|=|xBxA+xDxC|=|(xB+xC)(xA+xD)|又xA=m,xD=m,xA+xD=0|AB|CD|=|xB+xC|·=|·= (2m5)故f(m)=，m2,5.(

6、2)由f(m)=，可知f(m)= 又222f(m)故f(m)的最大值為，此時m=2;f(m)的最小值為，此時m=5.例3艦A在艦B的正東6千米處，艦C在艦B的北偏西30°且與B相距4千米，它們準備捕海洋動物，某時刻A發(fā)現(xiàn)動物信號，4秒后B、C同時發(fā)現(xiàn)這種信號，A發(fā)射麻醉炮彈.設(shè)艦與動物均為靜止的，動物信號的傳播速度為1千米/秒，炮彈的速度是千米/秒，其中g(shù)為重力加速度，若不計空氣阻力與艦高，問艦A發(fā)射炮彈的方位角和仰角應(yīng)是多少？命題意圖：考查圓錐曲線在實際問題中的應(yīng)用，及將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學問題的能力，屬級題目.知識依托：線段垂直平分線的性質(zhì)，雙曲線的定義，兩點間的距離公式，斜拋運動

7、的曲線方程.錯解分析：答好本題，除要準確地把握好點P的位置(既在線段BC的垂直平分線上，又在以A、B為焦點的拋物線上)，還應(yīng)對方位角的概念掌握清楚.技巧與方法：通過建立恰當?shù)闹苯亲鴺讼?，將實際問題轉(zhuǎn)化成解析幾何問題來求解.對空間物體的定位，一般可利用聲音傳播的時間差來建立方程.解：取AB所在直線為x軸，以AB的中點為原點，建立如圖所示的直角坐標系.由題意可知，A、B、C艦的坐標為(3，0)、(3，0)、(5，2).由于B、C同時發(fā)現(xiàn)動物信號，記動物所在位置為P，則|PB|=|PC|.于是P在線段BC的中垂線上，易求得其方程為x3y+7=0.又由A、B兩艦發(fā)現(xiàn)動物信號的時間差為4秒，知|PB|P

8、A|=4，故知P在雙曲線=1的右支上.直線與雙曲線的交點為(8，5)，此即為動物P的位置，利用兩點間距離公式，可得|PA|=10.據(jù)已知兩點的斜率公式，得kPA=,所以直線PA的傾斜角為60°,于是艦A發(fā)射炮彈的方位角應(yīng)是北偏東30°.設(shè)發(fā)射炮彈的仰角是，初速度v0=，則,sin2=,仰角=30°.錦囊妙計解決圓錐曲線綜合題，關(guān)鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標準方程、圖形與幾何性質(zhì)，注意挖掘知識的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律，通過對知識的重新組合，以達到鞏固知識、提高能力的目的.(1)對于求曲線方程中參數(shù)的取值范圍問題，需構(gòu)造參數(shù)滿足的不等式，通過求不等式(組)求得參數(shù)的

9、取值范圍；或建立關(guān)于參數(shù)的目標函數(shù)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域.(2)對于圓錐曲線的最值問題，解法常有兩種：當題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征及意義，可考慮利用數(shù)形結(jié)合法解；當題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值.殲滅難點訓練一、選擇題1.()已知A、B、C三點在曲線y=上，其橫坐標依次為1，m,4(1m4)，當ABC的面積最大時，m等于( )B.C.D.2.()設(shè)u,vR，且|u|,v0,則(uv)2+()2的最小值為( )二、填空題3.()A是橢圓長軸的一個端點，O是橢圓的中心，若橢圓上存在一點P，使OPA=,則橢圓離心率的范圍是_.4.()一輛卡車高3

10、米，寬1.6米，欲通過拋物線形隧道，拱口寬恰好是拋物線的通徑長，若拱口寬為a米，則能使卡車通過的a的最小整數(shù)值是_.5.()已知拋物線y=x21上一定點B(1，0)和兩個動點P、Q，當P在拋物線上運動時，BPPQ，則Q點的橫坐標的取值范圍是_.三、解答題6.()已知直線y=kx1與雙曲線x2y2=1的左支交于A、B兩點，若另一條直線l經(jīng)過點P(2，0)及線段AB的中點Q，求直線l在y軸上的截距b的取值范圍.7.()已知拋物線C：y2=4x.(1)若橢圓左焦點及相應(yīng)的準線與拋物線C的焦點F及準線l分別重合，試求橢圓短軸端點B與焦點F連線中點P的軌跡方程；(2)若M(m,0)是x軸上的一定點，Q是

11、(1)所求軌跡上任一點，試問|MQ|有無最小值？若有，求出其值；若沒有，說明理由.8.()如圖，為半圓，AB為半圓直徑，O為半圓圓心，且ODAB，Q為線段OD的中點，已知|AB|=4，曲線C過Q點，動點P在曲線C上運動且保持|PA|+|PB|的值不變.(1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，求曲線C的方程；(2)過D點的直線l與曲線C相交于不同的兩點M、N，且M在D、N之間，設(shè)=，求的取值范圍.學法指導怎樣學好圓錐曲線圓錐曲線將幾何與代數(shù)進行了完美結(jié)合.借助純代數(shù)的解決手段研究曲線的概念和性質(zhì)及直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，從數(shù)學家笛卡爾開創(chuàng)了坐標系那天就已經(jīng)開始.高考中它依然是重點，主客觀題必不可少，易

12、、中、難題皆有.為此需要我們做到：1.重點掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義和性質(zhì).這些都是圓錐曲線的基石，高考中的題目都涉及到這些內(nèi)容.2.重視求曲線的方程或曲線的軌跡，此處作為高考解答題的命題對象難度較大.所以要掌握住一般方法：定義法、直接法、待定系數(shù)法、相關(guān)點法、參數(shù)法等.3.加強直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題的復習.此處一直為高考的熱點.這類問題常涉及到圓錐曲線的性質(zhì)和直線的基本知識點、線段的中點、弦長、垂直問題，因此分析問題時利用數(shù)形結(jié)合思想和設(shè)而不求法與弦長公式及韋達定理聯(lián)系去解決.這樣加強了對數(shù)學各種能力的考查.4.重視對數(shù)學思想、方法進行歸納提煉，達到優(yōu)化解題思維、簡化解題過程.(1

13、)方程思想解析幾何的題目大部分都以方程形式給定直線和圓錐曲線，因此把直線與圓錐曲線相交的弦長問題利用韋達定理進行整體處理，就簡化解題運算量.(2)用好函數(shù)思想方法對于圓錐曲線上的一些動點，在變化過程中會引入一些相互聯(lián)系、相互制約的量，從而使一些線的長度及a,b,c,e之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系，函數(shù)思想在處理這類問題時就很有效.(3)掌握坐標法坐標法是解決有關(guān)圓錐曲線問題的基本方法.近幾年都考查了坐標法，因此要加強坐標法的訓練.參考答案難點磁場解：由方程組消去y,整理得(a2+b2)x22a2x+a2(1b2)=0則橢圓與直線l在第一象限內(nèi)有兩個不同的交點的充要條件是方程在區(qū)間(0，1）內(nèi)有兩相異實根，

14、令f(x)=(a2+b2)x22a2x+a2(1b2),則有同時滿足上述四個條件的點P(a,b)的存在區(qū)域為下圖所示的陰影部分：殲滅難點訓練一、1.解析：由題意知A(1，1)，B(m,),C(4,2).直線AC所在方程為x3y+2=0,點B到該直線的距離為d=.m(1,4),當時，SABC有最大值，此時m=.答案：B2.解析：考慮式子的幾何意義，轉(zhuǎn)化為求圓x2+y2=2上的點與雙曲線xy=9上的點的距離的最小值.答案：C二、3.解析：設(shè)橢圓方程為=1(ab0),以O(shè)A為直徑的圓：x2ax+y2=0,兩式聯(lián)立消y得x2ax+b2e2x2ax+b2=0,該方程有一解x2,一解為a,由韋達定理x2=

15、a,0x2a，即0aae1.答案：e14.解析：由題意可設(shè)拋物線方程為x2=ay,當x=時，y=；當x=0.8時，y=.由題意知3,即a212aa的最小整數(shù)為13.答案：135.解析：設(shè)P(t,t21)，Q(s,s21)BPPQ,=1,即t2+(s1)ts+1=0tR,必須有=(s1)2+4(s1)s2+2s30,解得s3或s1.答案：(,31,+)三、6.解：設(shè)A(x1,y1）,B(x2,y2).由,得(1k2）x2+2kx2=0,又直線AB與雙曲線左支交于A、B兩點，故有解得k17.解：由拋物線y2=4x,得焦點F(1,0),準線l：x=1.(1)設(shè)P(x,y)，則B(2x1,2y),橢圓中心O,則|FO|BF|=e,又設(shè)點B到l的距離為d,則|BF|d=e,|FO|BF|=|BF|d,即(2x2)2+(2y)2=2x(2x2),化簡得P點軌跡方程為y2=x1(x1).(2)設(shè)Q(x,y),則|MQ|=()當m1,即m時，函數(shù)t=x(m)2+m在(1，+)上遞增，故t無最小值，亦即|MQ|無最小值.()當m1,即m時，函數(shù)t=x2(m)2+m在x=m處有最小值m,|MQ|min=.8.解：(1)以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸，O為