直線地全參數(shù)方程及其的應(yīng)用舉例

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案直線的參數(shù)方程及應(yīng)用問(wèn)題 1：（直線由點(diǎn)和方向確定）求經(jīng)過(guò)點(diǎn) P0 ( x0 , y0) ，傾斜角為 的直線 l 的參數(shù)方程 .設(shè)點(diǎn) P( x , y)是直線l上任意一點(diǎn) （規(guī)定向上的y，方向?yàn)橹本€ L 的正方向） 過(guò)點(diǎn) P 作 y 軸的平行線，過(guò)P0P0 作 x 軸的平行線，兩條直線相交于Q點(diǎn).01)當(dāng) P0P 與直線l同方向或0P 和 P重合時(shí)，P P|P P|則 P Q P PcosQ P P Psin000002)當(dāng) P0P 與直線l反方向時(shí)， P P、P Q、Q P 同時(shí)改變符號(hào)00yP P |PP| P0QP PcosQ P P Psin仍成立0000設(shè) P0Pt ，t

2、為參數(shù)，Px , y)又 P0Q xx0 ，xx0 tcos(Q P yy0yy0 =t sin0即 xx0t cos是所求的直線 l的參數(shù)方程lP( x , y )QxlP0Qxyy0t sinP Pt ，t 為參數(shù)， t 的幾何意義是： 有向直線l上從已知點(diǎn) P ( x0 , y0 ) 到點(diǎn)00P(x , y ) 的有向線段的數(shù)量，且 |P 0P| |t|當(dāng) t>0 時(shí)，點(diǎn) P 在點(diǎn) P0 的上方；當(dāng) t 0 時(shí)，點(diǎn) P 與點(diǎn) P0 重合；當(dāng) t<0 時(shí)，點(diǎn) P 在點(diǎn) P0 的下方；xx0 t特別地，若直線 l 的傾斜角 0 時(shí)，直線 l 的參數(shù)方程為y y0y當(dāng) t>0

3、 時(shí)，點(diǎn) P 在點(diǎn) P0 的右側(cè)；P0P( x , y )當(dāng) t 0 時(shí)，點(diǎn) P 與點(diǎn) P0 重合；當(dāng) t<0 時(shí)，點(diǎn) P 在點(diǎn) P0 的左側(cè)；問(wèn)題 2：直線 l 上的點(diǎn)與對(duì)應(yīng)的 參數(shù) t 是不是一對(duì)應(yīng)關(guān)系？我們把直線 l 看作是實(shí)數(shù)軸，hyxl以直線 l 向上的方向?yàn)檎较颍远c(diǎn)l0P0P0為原點(diǎn)，以原坐標(biāo)系的單位長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，P這樣參數(shù) t 便和這條實(shí)數(shù)軸上的點(diǎn)P 建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系 .0t、t問(wèn)題 3： P、P 為直線l上兩點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為2，121則 P1P2？， P1P2=？xP1P2P1P0 P0P2 t 1 t 2 t 2t 1， P1P2 = t2t 1精彩文檔實(shí)用標(biāo)

4、準(zhǔn)文案問(wèn)題 4：若 P 為直線l上兩點(diǎn) P 、P 的中點(diǎn)， P、P 所對(duì)應(yīng)的01212參數(shù)分別為 t1 、t 2，則 t1、t2之間有何關(guān)系？根據(jù)直線 l 參數(shù)方程 t 的幾何意義，yP1Pt，P Pt， P 為直線l1220P上兩點(diǎn) P1、P2 的中點(diǎn)， |P 1P| |P 2P|1P P P，即 t t , t1t <02122一般地，若 P 、P、P 是直線l上的點(diǎn)，0123所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為 t 1 、t 2、t 3， P3 為 P1、 P2 的中點(diǎn)則 t t 2（PP PP ,根據(jù)直線l參數(shù)方程3 t11 32 3lP2P0P1t 的幾何意義，x2 P1P3 = t 3t 1,

5、 P 2 P3= t 3t 2,t 3t 1=(t 3 t 2,)）總結(jié)：1、直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)式(1) 過(guò)點(diǎn) P0( x0 , y0 ) ，傾斜角為的直線 l 的參數(shù)方程是xx0t cos（t 為參數(shù)）t的幾何意義： t 表示有向線段P0 P 的數(shù)量， P( x , y )yy0t sinP0 P=tP0P=t為直線上任意一點(diǎn) .(2) 若 P1、P2 是直線上兩點(diǎn)，所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t 1 、t 2，則 P1P2=t 2t 1P1P2 =t 2 t 1 (3) 若 P 、 P、 P 是直線上的點(diǎn)，所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為t、 t、t312312則 P1P2 中點(diǎn) P3 的參數(shù)為 t 3 t1 t

6、 2, P0P3=t1t222(4) 若 P0 為 P1P2 的中點(diǎn)，則 t 1t 2 0， t 1·t 2<0 2、直線參數(shù)方程的一般式過(guò)點(diǎn) P0( x0 , y0 ) ，斜率為 kb 的直線的參數(shù)方程是axx0at（ t 為參數(shù)）yy0bt例題：1、參數(shù)方程與普通方程的互化例 1：化直線 l 1 的普通方程 x 3y 1 0 為參數(shù)方程，并說(shuō)明參數(shù)的幾何意義, 說(shuō)明 t 的幾何意義 .解：令 y=0, 得 x 1，直線 l1 過(guò)定點(diǎn) (1,0). k 1= 333精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案設(shè)傾斜角為， tg= 3,= 5, cos= 3 , sin= 13622l1 的參數(shù)方程為

7、x 13 t（ t 為參數(shù)）2y1 t2t 是直線 l1 上定點(diǎn) M0（1，0）到 t 對(duì)應(yīng)的點(diǎn) M( x , y ) 的有向線段 M 0 M 的數(shù)量. 由 x13 t(1)(1)、 (2)兩式平方相加 , 得 ( x1) 2y 2t 212y(2)t2 t (x1)2y2是定點(diǎn)0（ 1， 0）到 t 對(duì)應(yīng)的點(diǎn) M( x , y ) 的有tM向線段 M0M 的長(zhǎng).點(diǎn)撥： 求直線的參數(shù)方程先確定定點(diǎn)，再求傾斜角, 注意參數(shù)的幾何意義 .例 2：化直線 l 2 的參數(shù)方程x3t（t為參數(shù)）為普通方程，并求傾斜角，y13 t說(shuō)明 t 的幾何意義 .解：原方程組變形為x 3t(1)(1)代入 (2)消

8、去參數(shù) t ，y13 t(2)得 y13( x3)(點(diǎn)斜式 )可見(jiàn) k=3 , tg=3,傾斜角=3普通方程為3xy3310(1) 、(2)兩式平方相加 , 得 (x3)2( y1) 24t 2 t =(x3) 2( y 1) 2 t 是定點(diǎn) M（3，1）到 t對(duì)應(yīng)的點(diǎn) M( x , y2的有向線段 M 0 M 的長(zhǎng)的一半 .0)點(diǎn)撥： 注意在例 1、例 2中，參數(shù) t的幾何意義是不同的，直線l 1 的參數(shù)方程為 x 13 t 即 x1t cos 5是直線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式， (- 3 ) 2+(1 ) 2 =1, t的幾何2622y1yt sin5t62意義是有向線段 M 0 M 的數(shù)量 . 直

9、線 l 2 的參數(shù)方程為x3t是非標(biāo)準(zhǔn)的形y13 t式， 12 ( 3 ) 2=41，此時(shí) t的幾何意義是有向線段 M 0 M 的數(shù)量的一半 .你會(huì)區(qū)分直線參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式嗎？例 3：已知直線l03），傾斜角為x11 t（ t 為參數(shù)）過(guò)點(diǎn) M（1，判斷方程23y33t2和方程x1t（ t為參數(shù)） 是否為直線 l 的參數(shù)方程？如果是直線 l的參數(shù)y33 t精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案方程，指出方程中的參數(shù)t 是否具有標(biāo)準(zhǔn)形式中參數(shù) t 的幾何意義 .解：由于以上兩個(gè)參數(shù)方程消去參數(shù)后，均可以得到直線l 的的普通方程3xy 3 30 ，所以，以上兩個(gè)方程都是直線l 的參數(shù)方程，其中1cos= 1 ,

10、sin = 3 ，是標(biāo)準(zhǔn)形式， 參數(shù) t 是有向線段 M 0 M 的x12 ty33t222x1t數(shù)量 . ，而方程3是非標(biāo)準(zhǔn)形式 ，參數(shù) t 不具有上述的幾何意義 .y3 t點(diǎn)撥：直線的參數(shù)方程不唯一，對(duì)于給定的參數(shù)方程能辨別其標(biāo)準(zhǔn)形式，會(huì)利用參數(shù) t 的幾何意義解決有關(guān)問(wèn)題 .x1t能否化為標(biāo)準(zhǔn)形式？問(wèn)題 5：直線的參數(shù)方程33 ty是可以的，只需作參數(shù) t的代換 .( 構(gòu)造勾股數(shù)，實(shí)現(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)化 )x 1 tx 11(12( 3) 2 t)12( 3)2令 t = 12( 3) 2 ty33 ty 33( 12( 3) 2 t)12( 3)2得到直線 l 參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)形式x11 t2 t

11、的幾何意義是有向線段y33 t2M0M 的數(shù)量.2、直線非標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程的標(biāo)準(zhǔn)化一般地，對(duì)于傾斜角為、過(guò)點(diǎn) M0( x0 , y0) 直線 l 參數(shù)方程的一般式為， .xx0at（ t 為參數(shù)）， 斜率為 ktgbyy0bta(1)當(dāng) a 2b 2 1 時(shí)，則 t的幾何意義是有向線段 M 0 M 的數(shù)量 .(2)當(dāng) a 2b 2 1 時(shí)，則 t不具有上述的幾何意義 .xx0at 可化為x x0a 2a( a 2b2 t)b2 tb 2令 t = a2y y0 bty y0a 2b( a 2b2 t)b2xx0att的幾何意義是有向線段 M 0 M 的數(shù)量 .則可得到 標(biāo)準(zhǔn)式a2b 2yy0bta

12、 2b 2精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案03的直線l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，并且例 4：寫(xiě)出經(jīng)過(guò)點(diǎn) M（ 2， 3），傾斜角為4求出直線l上與點(diǎn) M 相距為 2 的點(diǎn)的坐標(biāo) .0解：直線 lx2t cos32的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為4即 x22t （ t 為參數(shù)）（ 1）y33y32 tt sin設(shè)直線42l上與已知點(diǎn) M 相距為 2 的點(diǎn)為 M點(diǎn)，且 M點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)為 t,0則| M 0M|t| =2,t= ± 2將 t的值代入 (1)式當(dāng) t=2 時(shí)， M點(diǎn)在 M0 點(diǎn)的上方，其坐標(biāo)為（ 2 2 ，3 2 ）；當(dāng) t=-2 時(shí)， M點(diǎn)在 M0 點(diǎn)的下方，其坐標(biāo)為（ 2 2 ，3 2 ）.點(diǎn)撥： 若使用直線

13、的普通方程利用兩點(diǎn)間的距離公式求M點(diǎn)的坐標(biāo)較麻煩，而使用直線的參數(shù)方程，充分利用參數(shù)t 的幾何意義求 M點(diǎn)的坐標(biāo)較容易 .例 5：直線x3t sin 20 （t 為參數(shù)）的傾斜角.y4t cos20y 4解法 1：消參數(shù) t, 的 x 3 ctg20 °=tg110 °解法 2：化為標(biāo)準(zhǔn)形式：x3( t)t cos110（ t 為參數(shù)）y4( t ) sin110此直線的傾斜角為110°基礎(chǔ)知識(shí)測(cè)試1：1、 求過(guò)點(diǎn) (6,7), 傾斜角的余弦值是3 的直線 l 的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程 .22、 直線 l 的方程：x1t sin 25（ t 為參數(shù)），那么直線 l 的傾斜角

14、 ()y2t cos25A 65°B25°C155°D 115°x11 t3、 直線5（ t為參數(shù)）的斜率和傾斜角分別是()y12t5A) 2 和 arctg( 2)B) 1 和 arctg( 1)22C) 2和 arctg2D) 1 和 arctg 1224、 已知直線xx0t cos為參數(shù)）上的點(diǎn)A、 B 所對(duì)應(yīng)的參數(shù)分別為1,t2yy0t sin（ tt，點(diǎn)P 分線段 BA所成的比為（ 1），則 P 所對(duì)應(yīng)的參數(shù)是.精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案5、直線 l 的方程：xx0at（ t為參數(shù)） A、B 是直線 l上的兩個(gè)點(diǎn)，分別對(duì)應(yīng)參yy0bt數(shù)值 t 1、

15、t2，那么 |AB| 等于 ()A t 1 t 2 Ba2b2t1t 2D t 1 +t 2 t 1 t 2 Cb2a26、 已知直線 l ：x1t(t為參數(shù) ) 與直線 m： xy2 30 交于 P 點(diǎn)，求點(diǎn)5y3 tM(1, 5) 到點(diǎn) P 的距離 .例 6：已知直線 l 過(guò)點(diǎn) P（2，0），斜率為 4 ，直線 ly和拋物線 y 23B2x 相交于、兩點(diǎn)，AB設(shè)線段 AB的中點(diǎn)為 M,求：M(1)P、M兩點(diǎn)間的距離 |PM|；0P (2,0)x(2)M點(diǎn)的坐標(biāo)；A(3) 線段 AB的長(zhǎng) |AB|解： (1)直線 l 過(guò)點(diǎn) P（2， 0），斜率為 4 , 設(shè)直線的傾斜角為，tg= 4333c

16、os= 3 , sin= 4 直線 l 的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為x2t （t 為參數(shù)） *5554ty5直線 l 和拋物線相交，將直線的參數(shù)方程代入拋物線方程y 22x 中，整理得8t2 15t 500=152+4×8×50>0, 設(shè)這個(gè)二次方程的兩個(gè)根為 t 1、t2, 由韋達(dá)定理得t1t 2 15 ,t 1t 225，由為線段AB的中84M點(diǎn)，根據(jù) t 的幾何意義，得 | PM| t1t2 15216中點(diǎn) M所對(duì)應(yīng)的參數(shù)為 t M=15 , 將此值代入直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程* ，16M點(diǎn)的坐標(biāo)為 x31541即 M （41，3）2 516164153164y1645(3)|A

17、B| t 2 t1 (t1 t2 )24t1 t 2 5738點(diǎn)撥：利用直線 l 的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中參數(shù) t 的幾何意義， 在解決諸如直線 l 上兩點(diǎn)間的距離、 直線 l 上某兩點(diǎn)的中點(diǎn)以及與此相關(guān)的一些問(wèn)題時(shí)， 比用直線 l 的普通方程來(lái)解決顯得比較靈活和簡(jiǎn)捷 .例 7：已知直線 l 經(jīng)過(guò)點(diǎn) P（1, 33 ）, 傾斜角為，3精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案(1)求直線 l與直線l： yx2 3 的交點(diǎn) Q與 P點(diǎn)的距離 | PQ| ；(2)求直線l和圓x2y216的兩個(gè)交點(diǎn)，B與P點(diǎn)的距離之積.A解： (1) 直線 l經(jīng)過(guò)點(diǎn) P（1, 33） , 傾斜角為3, 直線 l 的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為x1t cos3

18、，即x11 t（t為參數(shù)）代入直線 l ：2y33t siny333t32yx23得 (11 t )(333 t)230整理，解得 t=4+2322t=4+23 即為直線 l與直線 l的交點(diǎn) Q所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，根據(jù)參數(shù) t的幾何意義可知： |t|=| PQ|,| PQ|=4+23 .(2)把直線 l的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程為x11 t（t為參數(shù)）代入圓的方程23y33t2x2y2 ，得(11t)2(333216 , 整理得： t28t+12=0 ，162t )22t 、t則 tt =12=8 -4 ×12>0, 設(shè)此二次方程的兩個(gè)根為2112根據(jù)參數(shù) t的幾何意義， t 1、t 2分別為

19、直線和圓 x2y2 16 的兩個(gè)交點(diǎn)A, B 所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值，則 |t1|=| PA|,|t|=| PB|,2所以 | PA| ·| PB|=|t1 t 2|=12點(diǎn)撥：利用直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程中的參數(shù) t 的幾何意義解決距離問(wèn)題、距離的乘積（或商）的問(wèn)題，比使用直線的普通方程，與另一曲線方程聯(lián)立先求得交點(diǎn)坐標(biāo)再利用兩點(diǎn)間的距離公式簡(jiǎn)便 .例 8：設(shè)拋物線過(guò)兩點(diǎn) A(1,6)和 B( 1, 2) ，對(duì)稱軸與 x 軸平行，開(kāi)口向右，直線 y=2 x +7 被拋物線截得的線段長(zhǎng)是410 ，求拋物線方程 .解：由題意，得拋物線的對(duì)稱軸方程為y=2. 設(shè)拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ a ，2）方程為 (y

20、 2) 2=2P(x a ) (P>0)點(diǎn) B(1, 2) 在拋物線上， ( 2 2) 2=2P(1 a )a P= 8 P代入 得(y 2) 2=2Px 2P+16將直線方程 y=2 x +7 化為標(biāo)準(zhǔn)的參數(shù)方程 tg=2,為銳角，= 1 , sin= 2x11tcos得5（t 為參數(shù)）55y52t5直線與拋物線相交于 A，B, 將代入并化簡(jiǎn)得：4212 2Pt70 ，由4( P6) 235 >0, 可設(shè)方程的兩根為12，t5=t 、t55精彩文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案又 |AB|= t 2 t 1 (t1t2 ) 24t 1 t2 4 105(12 2P) 2435 =(410 )2化簡(jiǎn)

21、，得 (6 P)2=10044 P=16 或 P=-4( 舍去 ) 所求的拋物線方程為 (y 2) 2=32 x 48點(diǎn)撥： (1) （對(duì)稱性） 由兩點(diǎn) A( 1,6) 和 B(1, 2) 的對(duì)稱性及拋物線的對(duì)稱性質(zhì)，設(shè)出拋物線的方程（含 P 一個(gè)未知量，由弦長(zhǎng) AB的值求得 P） .(2) 利用直線標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程解決弦長(zhǎng)問(wèn)題 . 此題也可以運(yùn)用直線的普通方程與拋物線方程聯(lián)立后，求弦長(zhǎng)。對(duì)于有些題使用直線的參數(shù)方程相對(duì)簡(jiǎn)便些 .例 9：已知橢圓(x 1) 2y 2112為右焦點(diǎn)，AB是通過(guò)左焦點(diǎn) F的弦， F4 3求| F 2A| ·| F 2B| 的最大值 .解：由橢圓方程知a ，1

22、(0,0),F2(2,0),設(shè)過(guò)的弦所在直線的2 b= 3 ,c=1, F參數(shù)方程為xt cos（t為參數(shù)）代入橢圓方程整理得yt sin（3sin2）t26 t cos9=0，=36cos2（ 2）>0363 sin此方程的解為 t 1、t 2，分別為 A、 B 兩點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)，由韋達(dá)定理 t1 t 2=6 cost1 t 2 393sin 2sin 2根據(jù)參數(shù) t 的幾何意義， t 1、t 2分別為過(guò)點(diǎn) F1 的直線和橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)A, B所對(duì)應(yīng)的參數(shù)值， | F1A| |t| |F1B| |t|12|AB|= t 2 t 1 (t1t2 ) 24t 1 t2312| F1A| &#

23、183;|F 1B| |t 1| ·|t 2|=|t1t 2|sin 2由橢圓的第一定義 | F 1A| | F2A| 2a 4， | F1B|+| F 2B|=2 a 4| F2A| ·| F 2B|=(4-| F1A|)(4-| F1 B|)=16-4|AB|+| F1A| ·|F 1B|=16-4 t 2 t 1 +|t1t 2|=16-412+93sin2sin2393=16-3sin 2當(dāng) sin21時(shí)，| F A|·| F2B| 有最大值2524點(diǎn)撥： 求過(guò)定點(diǎn)的直線與圓錐曲線相交的距離之積，利用直線的參數(shù)方程解題，此題中兩定點(diǎn) F1(0,0),F 2(2,0), 顯然 F1 坐標(biāo)簡(jiǎn)單，因此選擇過(guò) F1 的直線的參數(shù)方程， 利用橢圓的定義將 | F2A| ·| F2B| 轉(zhuǎn)化為 | F1A| ·|F 1B|.方法總結(jié)： 利用直線 l 的參數(shù)方程xx0t cos（ t 為參數(shù)），給研究