中學(xué)生數(shù)學(xué)觀察能力的培養(yǎng)2

1、中學(xué)生數(shù)學(xué)觀察能力的培養(yǎng)李竟毅摘要:多年的教學(xué)實踐中，發(fā)現(xiàn)學(xué)生大都存在模仿能力較強，觀察能力缺乏的通病。本文通過本人在教學(xué)中如何注意培養(yǎng)學(xué)生的通過觀察，積極主動地獲取數(shù)學(xué)信息，聯(lián)系數(shù)學(xué)知識，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型。進而認識數(shù)學(xué)問題及解決數(shù)學(xué)問題的能力。數(shù)學(xué)觀察能力在培養(yǎng)中的集中觀察方法：（1）直接觀察法：中整體規(guī)律與局部特點的交錯觀察法；數(shù)量關(guān)系與圖形特征觀察法；三角、幾何、代數(shù)知識角度的變換。（2）間接觀察法：簡單化觀察法，具體化觀察法，特殊化觀察法，及反面觀察法。觀察的主要思想與內(nèi)容：在含有參數(shù)的數(shù)學(xué)問題中，注意選取主元與輔元；培養(yǎng)減元減次思想；數(shù)字構(gòu)成及規(guī)律、數(shù)與式變化規(guī)律、外形結(jié)構(gòu)題型結(jié)構(gòu)，從觀

2、察中挖掘隱含條件，最大程度的獲取所提供的信息，才能取得意想不到的效果。關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué) 觀察能力 培養(yǎng)人類的智力活動總是從眼睛獲取信息開始，觀察是智力活動的開端和源泉，是人類獲得進步的前提，在數(shù)學(xué)諸能力的培養(yǎng)中，這一點也是很重要的。數(shù)學(xué)觀察能力，它有何作用，在培養(yǎng)的過程中應(yīng)注意哪些問題。一、數(shù)學(xué)觀察能力的作用 數(shù)學(xué)觀察能力是指人們有目的、有計劃、有選擇的較持久的數(shù)學(xué)感知能力，是人們在學(xué)習(xí)生活中積極主動地獲取數(shù)學(xué)信息，聯(lián)系數(shù)學(xué)知識，構(gòu)造數(shù)學(xué)模型，進而認識數(shù)學(xué)問題并解決數(shù)學(xué)問題的重要能力。它和數(shù)學(xué)的記憶能力、想象能力、思維能力、運算能力、化簡運算能力、猜想能力、探索能力和創(chuàng)造能力共同組成認識、解決及拓

3、展創(chuàng)造數(shù)學(xué)問題的能力結(jié)構(gòu)，并在這些能力中起基礎(chǔ)開發(fā)和前沿作用。在解決數(shù)學(xué)問題時，人們總是從觀察理解題意和聯(lián)系知識開始，即通過有目的的審題設(shè)和結(jié)論，觀察各類已知條件和結(jié)論之間的內(nèi)在和外在聯(lián)系，充分挖掘隱含條件和題型結(jié)構(gòu)，從而全面了解數(shù)學(xué)信息，聯(lián)系記憶，簡化類化思維過程，并參與運算。猜想和探索，進而依據(jù)所收集到的信息逐步解決問題，探索并發(fā)現(xiàn)問題。因而，在這些能力中數(shù)學(xué)觀察能力起著基礎(chǔ)和依托作用，同時，通過細致的觀察，往往可以抓住主要的信息，簡化題型結(jié)構(gòu)，從而找出簡便、快捷、實效的解決數(shù)學(xué)問題或溝通題目思想的方法，進而高質(zhì)高效的解決問題。人們在數(shù)學(xué)觀察能力方面的水平的高低，很大程度上決定其解決問題的

4、水平高低，所以在教學(xué)中重視對學(xué)生觀察能力的培養(yǎng)是必要的，尤其在現(xiàn)今高考和數(shù)學(xué)競賽中越來越注重對數(shù)學(xué)各種能力的考察，這一點就顯得格外重要。二、數(shù)學(xué)觀察能力在培養(yǎng)中的幾種主要觀察方法 在培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)觀察能力的過程中，首先應(yīng)注意傳授給學(xué)生觀察問題的方法，使他們化被動觀察為主動觀察，由盲目觀察變?yōu)橛心康?、有選擇、有針對性地觀察，從而起到培養(yǎng)和提高觀察的目的性、客觀性、全面性、精確性和深刻性的目的。觀察方法可按照觀察途徑劃分為直接觀察和間接觀察1直接觀察 直接觀察是指對對象的實物直觀、模型直觀、語言直觀加以主動地感性認識的活動。 解決數(shù)學(xué)問題總是始于直接觀察，即通過審題，弄清題目條件與結(jié)論，明確題目要求

5、，從而了解題目的基本結(jié)構(gòu)，在頭腦中建立起題目的模式，并進一步觀察題目，其條件和結(jié)論有什么特點，涉及什么概念、定理和題型，還可以挖掘什么隱含條件，條件和結(jié)論有何聯(lián)系和區(qū)別，題型有何規(guī)律，能否實現(xiàn)課題的類化，并在解題中不斷觀察，已經(jīng)解決了什么問題，還需解決的問題，哪些條件還未起用，如何啟用解決。（1）整體規(guī)律與局部特點的交錯觀察法 例： 某林場原有森林木材存量為，木材以每年25%的增長率生長。而每年冬天要砍伐的木材量為，為了使經(jīng)過20年木材翻兩番，求每年砍伐量的最大值。 分析：從局部觀察，每一次操作都是整體的一部分，即原來木材存量為，則第一年末的木材存量為；第二年末的木材存量為；第20年末的木材存

6、量為，由已知條件翻兩番知其為，列方程有。設(shè)，則，從而可求出。 此類觀察法要考問題的局部特征和整體規(guī)律，使文字題或幾何型數(shù)學(xué)歸納法的常用觀察法。（2）數(shù)量關(guān)系和圖形特征觀察法 有些問題直接求解有一定的困難，但仔細觀察其數(shù)量關(guān)系與圖形結(jié)構(gòu)特征，那些隱蔽得很深的數(shù)量關(guān)系將暴露無遺，從而使問題得到巧妙解決。 例：求函數(shù)的最小值。分析：直接用根式性質(zhì)及二次函數(shù)求解很難求得最小值，但若細致觀察其數(shù)字特征容易發(fā)現(xiàn)該函數(shù)式類似于兩點間距離公式，因而轉(zhuǎn)化為幾何問題求解，即轉(zhuǎn)化為，設(shè)點A(2, 2)，B(1, 1)，P(, 0)，求的最小值，即在軸上找一點P，使它到A(2, 2)，B(1, 1)的距離之和最小，進

7、一步由鏡面反射原理（如圖）找出點B關(guān)于軸的對稱點，當(dāng)P處于與軸交點時取得最小值，所以，即（3）三角、幾何、代數(shù)知識角度的更換 注意觀察數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)特點，靈活轉(zhuǎn)換三角、幾何、代數(shù)角度，可使問題得到巧妙解決。例：在正的外接圓的劣弧BC上任取一點P，求證：（1）;（2） 分析：通過截取法、旋轉(zhuǎn)法等都可證得（1），但對（2）無能為力。通過觀察（1）、（2）的數(shù)據(jù)特征，易發(fā)現(xiàn)等式左邊恰為兩數(shù)和與積，聯(lián)系韋達定理知，即證、是方程的兩根，則在中，由余弦定理得，故是方程的根。同理可證也是方程的根，從而可得。2間接觀察 當(dāng)所要解決的數(shù)學(xué)問題較為復(fù)雜時，直接觀察一般難以入手，這是應(yīng)注意進行間接觀察。 （1）簡單化觀

8、察法 問題較為復(fù)雜，思路、方法不夠明確時，可先將問題簡單化，進行簡單觀察，進而比較原命題情況，從而溝通解題思路和方法。 例：設(shè)，求證：。 分析：若展開后證明項多且不易比較，無從入手。簡單化： 若，求證：。則由知其成立。類比為三式時，則故原命題可由得證。 （2）具體化觀察法 當(dāng)問題較為抽象，題意不夠明顯，思路、方法難尋時，一般要進行具體化，使題意明確，思路清晰，方法便捷。 例：求的末位數(shù)字。 分析：觀察前20個數(shù)的末位數(shù)字：1，的末位數(shù)字依次為：1，4，7，6，5，6，3，6，9，0，1，6，3，6，5，6，7，4，9，0。它們前十個的和的末位數(shù)字是7，后十個的和的末位數(shù)字也是7。而所有的末位數(shù)

9、字組成以20為周期的循環(huán)序列，因此，由1開始，每十個連續(xù)的，之和的末位數(shù)字都是7。所以原式的末位數(shù)字是的末位數(shù)字0。（3）特殊化觀察法 對于特殊函數(shù)、定值、定點等特殊問題，直接觀察一般難于解決，這時，可根據(jù)題設(shè)要求仔細觀察特殊狀態(tài)下將呈現(xiàn)出來的性質(zhì)和規(guī)律，然后類化解決。 例：定義在R上的奇函數(shù)是增函數(shù)，偶函數(shù)在上的圖像與的圖像重合，當(dāng)時，下列不等式成立的有哪些？ ； ； ； 。 分析： 本例直接用圖象法或函數(shù)性質(zhì)觀察討論，繁雜切易錯。若進行特殊化觀察，依題意，令，則，代入上面四個式子可迅速判定成立的式子為、，且易于理解掌握。 （4）反面觀察法 一些探索性、無窮性邏輯問題及正面觀察難于解決的問題

10、可采用反面觀察法。 例：求函數(shù)的值域。 分析：直接觀察及特殊觀察等都難于入手，但從反面入手，利用反函數(shù)定義域或類似表達式則可較易解決。原函數(shù)可化為，即，從而可得。三、觀察的主要思想與內(nèi)容 認識以上幾種主要觀察方法后，還需進一步認識數(shù)學(xué)觀察中的目的性和選擇性，從而有利于觀察能力的整體提高。 1在數(shù)學(xué)問題中，特別是函數(shù)、方程、不等式及其他綜合性問題往往含有許多參數(shù)。在觀察中應(yīng)注意選取合適的主元與副元，使題型得以簡化，從而達到實效高質(zhì)的解題目的。 例：不等式對于滿足的一切實數(shù)均成立，求的取值范圍。分析：本例若以為主元，則需分多類情況討論，并應(yīng)用二次函數(shù)性質(zhì)求解，使得問題變得相當(dāng)復(fù)雜。通過仔細觀察可發(fā)

11、現(xiàn)它是關(guān)于的二次函數(shù)，也是關(guān)于的一次函數(shù)，故以為主元時只需考慮一次函數(shù)的值在內(nèi)恒為負值時，相應(yīng)的范圍即可。解：令，則原命題可轉(zhuǎn)化為求在內(nèi)恒為負值時，的范圍。故可解不等式組即解得為所求。 2觀察能力培養(yǎng)中的減元降次思想 在數(shù)學(xué)問題中的參數(shù)字母過多、次數(shù)過高時，不利于觀察，一般應(yīng)先減元降次，使觀察得以順利進行。 例：求的值。分析：直接觀察會發(fā)現(xiàn)字母、參數(shù)過多，很難找到解題的突破點。采用減元替換思想，令，則，原式轉(zhuǎn)化為，從后兩式分母中發(fā)現(xiàn)均含有或，故分子分母同乘以或，則原式化為。3數(shù)字觀察在數(shù)列問題中，要觀察數(shù)列中的數(shù)字構(gòu)成及規(guī)律，函數(shù)構(gòu)造等問題也往往涉及到數(shù)字問題。對數(shù)字及規(guī)律的觀察有助于猜想、探

12、索及創(chuàng)造能力的培養(yǎng)。例：求和：分析：直接相加求解顯然不易計算，但仔細觀察數(shù)列構(gòu)成可發(fā)現(xiàn)，數(shù)列中的每一項由兩個因數(shù)組成，前一個因數(shù)成公差為2的等差數(shù)列，后一個因數(shù)成公比為3的等比數(shù)列，從而得出可以用“錯位相減法”利用、求得，從而求得。解： -得 4數(shù)與式變化規(guī)律的觀察 在函數(shù)問題中常要觀察數(shù)與式的周期性的變化規(guī)律。 例：設(shè)且，求。分析：直接求解不易求出，尋求可能出現(xiàn)的數(shù)式規(guī)律，簡化求解。解： ，所以。5外形結(jié)構(gòu)觀察 許多數(shù)學(xué)問題的設(shè)置實質(zhì)上是由一些公式、定理或特殊恒等式變化得到的，因而細致觀察命題構(gòu)成的外形是很重要的。例：已知、，且，求證：。分析：本例難以從已知條件中尋找相關(guān)的、與0的獨立關(guān)系，

13、看似無從下手，但仔細觀察題設(shè)條件的外形，可以發(fā)現(xiàn)、三式實為一元三次方程三個根的關(guān)系在韋達定理中的體現(xiàn)，從而將命題轉(zhuǎn)化為一元三次方程的根的情況進行分析，判斷根的性質(zhì)便可簡易證明。證明：令則、為的三個實根。，當(dāng)時，恒成立。的圖象只與軸的正半軸有交點，故。 6題型結(jié)構(gòu)的觀察 在解決數(shù)學(xué)問題時，往往會發(fā)現(xiàn)題型結(jié)構(gòu)具有明顯的啟發(fā)性，通過對題中的題設(shè)、結(jié)論結(jié)構(gòu)特點的觀察，會發(fā)現(xiàn)許多類似知識點或公式、定理，從而找到解決問題的思路和方法。 例：在四邊形ABCD中，且 求證：四邊形ABCD是菱形。 分析：本題的關(guān)鍵在于證明四條邊相等，即，又四邊形是一個封閉的圖形，則有。 證明：， ，即 同理可證 -得，從而可得

14、，即、 同理可得 由、分別代入可得，所以，故四邊形ABCD是菱形。 7觀察中挖掘隱含條件 審題時，盡可能地從題設(shè)及結(jié)論中挖掘出隱含條件，最大程度地獲取所提供的信息，才能取得意想不到的效果。 例：已知：、是實數(shù)，函數(shù)對任意、，有；。（1）求的值； （2）證明： ；（3）設(shè)的最大值為10，求。 分析：由題設(shè)知的圖象是拋物線，由，可得當(dāng)時，；由，可得當(dāng)時，；由此可知題設(shè)中隱含著且這個條件，從而可得。結(jié)合，可證明，則，故拋物線的對稱軸，則在上是減函數(shù)，當(dāng)時，取得最大值，從而求出此時的。（1） 解：對任意、，有，又滿足且，且，故。（2） 證明：由，得， 當(dāng)時，使成立，即 把代入得，解得。 （3） 解：，

15、則拋物線的對稱軸為 在上是減函數(shù)； ，當(dāng)時取得最大值10，即，解得， 故。四、在教學(xué)中如何培養(yǎng)數(shù)學(xué)觀察能力在教育教學(xué)上培養(yǎng)數(shù)學(xué)觀察能力首先要注意使學(xué)生認識到觀察的重要性，培養(yǎng)學(xué)生的觀察興趣，通過直觀滲透及對比、類化、識圖、實踐等方法，使學(xué)生直觀認識到觀察能力的重要性及其在實踐與解題中的簡便快捷等特性，并從中產(chǎn)生興趣，從而化被動為主動，積極進行觀察和積累，從中得益。其次，要注意觀察目的性的培養(yǎng)，只有在每一次觀察及能力培養(yǎng)訓(xùn)練中讓學(xué)生帶有明確地觀察目的，有意識、有選擇地搜尋所要探求的知識點、特征和規(guī)律等，才能使其觀察能力得以提高，觀察經(jīng)驗得以積累，避免盲目觀察。第三，培養(yǎng)中應(yīng)注意指導(dǎo)正確的觀察方法、觀察思想及觀察內(nèi)容，使學(xué)生帶著明確的思想，掌握正確的方法，有針對性、有選擇地觀