重慶郵電學院

1、重慶郵電學院 畢業(yè)設(shè)計（論文） 論文題目 求解波動方程的兩種間接方法 班 級 610003 專 業(yè) 信息與計算科學 學生姓名 向 峰 指導教師 胡學剛 評定成績 重慶郵電學院計算機科學與技術(shù)學院 2004 年 6 月 5 日IV重慶郵電學院本科畢業(yè)論文 中文摘要摘 要最典型的雙曲型方程是波動方程，它在物理力學和工程技術(shù)中有廣泛的應(yīng)用。求解波動方程的初值問題一般可采用分離變量法、積分變換法、特征線法、行波法和球面平均法等。這些方法都是直接從方程本身出發(fā)進行求解，即它們都可稱為直接方法。本文將給出求解波動方程的兩種間接方法。一種是通過算子因式分解將一維波動方程化歸為一維傳輸方程，利用一維傳輸方程的

2、解導出一維波動方程的解，這種方法適合一維的情形；另一種方法適合高維波動方程。當空間維數(shù)為奇數(shù)時，是通過適當?shù)淖儞Q，將波動方程轉(zhuǎn)化為熱傳導方程，利用熱傳導方程的結(jié)果導出所求波動方程的解；當空間維數(shù)為偶數(shù)時，是用降維法得到所求波動方程的解。這就解決了高維空間中如何求解波動方程的問題。關(guān)鍵字：波動方程；傳輸方程；熱傳導方程；間接方法重慶郵電學院本科畢業(yè)論文 英文摘要ABSTRACTWave equation is the most typical hyperbola equation. It is widely used in physics mechanics and engineering te

3、chnique. When solve the initial-value problem, we often use the method of separation of variables, integral transform method, characteristic method, traveling wave method and spherical means, and so on. But all of this methods solve initial-value problem are based on equation itself. So, we can call

4、 them direct methods.This paper will give two indirect methods. One is transform one-dimension wave equation into one-dimension transport equation through operator factorization, this method is adapts to one-dimension; other method is adapts to high-dimensions. When space dimension n is odd, we will

5、 transform the wave equation into heat equation through appropriate transform, furthermore, we use the solution of heat equation educe the wave equations; when n is even, we can solve wave equation through deduce dimensions method. All of all, we can solve n-dimensional wave equation not only n is o

6、dd but also even.Keywords: wave equation; transport equation; heat equation; indirect method.重慶郵電學院畢業(yè)論文 目 錄目 錄設(shè)計任務(wù)書 指導老師評分意見 論文評閱教師評分意見 論文答辯評分意見 答辯委員會通過意見 中文摘要 英文摘要 1 引言 12 求解一維波動方程的間接方法 3 2.1傳輸方程的基本理論 3 2.2 一維波動方程的初值問題 53 高維空間中求解波動方程的間接方法 7 3.1熱傳導方程的基本理論 7 3.1.1 熱傳導方程的基本解 7 3.1.2 齊次熱傳導方程的初值問題 8 3.1

7、.3 非齊次熱傳導方程的初值問題 9 3.2 高維空間中求解波動方程的間接方法 10 3.2.1 空間維數(shù)為奇數(shù)時的求解方法 10 3.2.2 空間維數(shù)為偶數(shù)時的求解方法 13 3.2.3 非齊次波動方程的解 154 結(jié)束語 17致謝 18參考文獻 19附錄 20記號表 20英文資料譯文 23英文資料原文 32V重慶郵電學院本科畢業(yè)論文 1引 言1.引 言波動方程對于量子力學及其發(fā)展，具有特別重要的地位和意義。首先，波動方程深刻地反映了微觀客體運動的基本規(guī)律。波動方程是直接從德布羅意的物質(zhì)波概念導出的，后來，波函數(shù)的物理意義又得到了明確的統(tǒng)計解釋，即波函數(shù)絕對值的平方的數(shù)值表示粒子在該點出現(xiàn)的

8、幾率。這就使波動方程更明確地反映了微觀客體的波粒二象性，使人類對于微觀世界的認識再一次深化；其次，波動方程的建立，提供了系統(tǒng)地、定量地處理有關(guān)原子結(jié)構(gòu)問題的理論。在此之前，愛因斯坦的量子論和玻爾的原子結(jié)構(gòu)理論，只能對原子機構(gòu)和運動規(guī)律做定性的描述，而波動方程建立之后，便由定性描述變?yōu)槎棵枋?；再次，波動方程原則上能解釋除了物質(zhì)的磁性及其它相對論效應(yīng)之外的所有原子現(xiàn)象，它在原子物理學中是應(yīng)用最廣泛的公式之一。隨著波動方程的建立，許多新興技術(shù)相繼誕生。所以，以波動方程為核心的波動力學迅速得到了物理學家的普遍接受。正因為如此，玻爾指出：“波動方程簡單明了，大大超過了以前一切形式，代表著量子力學的巨大

9、進步” 。普朗克也說：“這一方程式奠定了近代量子力學的基礎(chǔ)，就像牛頓，拉格朗日和哈密頓創(chuàng)立的方程式在經(jīng)典力學中所起的作用一樣”。波動方程的求解方法主要有兩種：分離變量法1和積分變換法2。其中分離變量法的主要思路是：通過分離變量把所給偏微分方程的定解問題化為常微分方程的定解問題。通常假設(shè)定解問題的解可以表示成幾個未知函數(shù)的積或和的形式，而每一個這種函數(shù)都依賴于一個自變量，使得方程可以寫成一邊僅依賴于一個自變量，而另一邊則依賴于余下變量的形式，要使得方程對于分別依賴不同的變量恒成立，則每一邊必須等于常數(shù)。反復這樣做，就可以將解偏微分方程的問題化為解常微分方程的問題。求解所得的常微分方程，并考慮到邊

10、界條件，就可以得出滿足邊界條件的特征解，然后利用疊加原理，對這些特征值的線性組合，使其滿足其它定解條件，從而得出定解問題的解；積分變換法又分變換和變換兩種，前者要求作變換的自變量在內(nèi)變化，后者要求做變換的自變量在內(nèi)變化。當然，在用（或）變換解定解問題時，是假定所求的解及定解條件中的已知函數(shù)都是能夠?。ɑ颍┳儞Q的，即假定它們的（或）變換都存在。以前我們遇到的求解波動方程的方法都是直接的方法，本文給出求解波動方程的兩種間接方法。一種是通過算子因式分解將一維波動方程化歸為一維傳輸方程，利用傳輸方程的解導出一維波動方程的解，這種方法適合一維的情形；另一種方法是通過適當?shù)淖儞Q，將波動方程轉(zhuǎn)化為熱傳導方程

11、，利用熱傳導方程的結(jié)果，得到波動方程的解，此法適合高維波動方程。本文其余各部分的安排如下：第二節(jié)主要介紹求解一維波動方程的間接方法算子因式分解法，它是將一維波動方程化歸為一維傳輸方程，為此在介紹算子因式分解法的同時也介紹了一維傳輸方程的相關(guān)內(nèi)容。第三節(jié)主要介紹高維空間中求解波動方程的間接方法。此時，我們又從奇數(shù)維空間和偶數(shù)維空間來詳細介紹了求解波動方程的方法，由于在奇數(shù)維空間中求解波動方程的解時，要將其轉(zhuǎn)化為熱傳導方程，故在介紹波動方程的求解方法之前也粗略介紹了后文將要用到的有關(guān)熱傳導方程的某些結(jié)果，最后是小結(jié)。本文用到的記號可參考附錄1。23重慶郵電學院本科畢業(yè)論文 2求解一維波動方程的間接

12、方法2.求解一維波動方程的間接方法一維波動方程又叫弦振動方程，它是最簡單的一種雙曲型方程。對于一維波動方程的初值問題（又叫柯西問題）：我們通常采用方程的特征線作自變量變換，把原波動方程化為雙曲型的第二標準型的形式，對它積分兩次求出通解，其中，是二次光滑函數(shù)，然后利用初始條件確定通解中的任意函數(shù)，便得到該初值問題的解，即公式3。以上方法是一種直接方法，本文給出一種間接方法。即利用算子因式分解，將一維波動方程化歸為傳輸方程，然后利用傳輸方程的解導出一維波動方程的解。這從另一途徑得到了著名的公式。為此，我們首先介紹傳輸方程的基本理論，然后再給出一維波動方程的間接求法。2.1傳輸方程的基本理論如下形式

13、的一階偏微分方程：稱為傳輸方程。其中：是中的一個常量，為未知函數(shù)，。傳輸方程是最簡單的偏微分方程。我們先來討論齊次傳輸方程的初值問題： (2.1)不妨假設(shè)問題(2.1)有光滑解。容易發(fā)現(xiàn)方程的解沿一個具體方向的方向?qū)?shù)等于零。事實上，固定一點，令于是，最后一步等于零是因為滿足方程(2.1)，因此，函數(shù)在過點且具有方向的直線上一點的值為常數(shù)。當時，此直線與超平面相交于，由上面分析知沿直線取常數(shù)值，而由初始條件，便得 (2.2)所以，如果問題(2.1)有解，則該解必由(2.2)式來表示，因此解是唯一的；反之，若一階連續(xù)可微，則可直接驗證由(2.2)表示的函數(shù)是問題（2.1）的解。對于非齊次傳輸方程

14、的初值問題： (2.3)受齊次問題解法的啟示，我們?nèi)匀幌冗x定，對，令.則 因此 于是，得到問題(2.3)的在上的解 (2.4)2.2.一維波動方程的初值問題現(xiàn)在我們來討論一維波動方程的初值問題： (2.5)其中是給定的已知函數(shù)。由算子復合作用的概念，易驗證下述算子因式分解= (2.6)令= (2.7)由(2.6)，得， 不難看出上述方程就是我們前面討論的一維傳輸方程，且由(2.7)知滿足初始條件= (2.8)于是，由公式(2.2)，得= (2.9)把代入(2.7)，得=，其中，。不難看出，這是一個非齊次傳輸方程。又已知初始條件，再利用公式(2.4)，得到= =+ (2.10)此式即為著名的公式

15、，它表示初值問題(2.5)的形式解。直接驗證可知：當時，公式（2.10）所表示的函數(shù)滿足問題(2.5)的方程和初始條件，即問題(2.5)的解存在且由公式（2.10）表示；由求解過程知，問題(2.5)的任何解都由公式表示，所以解唯一。通過以上的討論我們得到了求解一維波動方程的一種新方法算子因式分解法。它所得到的最終結(jié)果仍然是著名的公式。此方法適用于一維情況下波動方程的求解。為了得到更普遍的維情況下波動方程的求解方法，我們將在第三節(jié)繼續(xù)討論。重慶郵電學院本科畢業(yè)論文 3高維空間中求解波動方程的間接方法3.高維空間中求解波動方程的間接方法前面討論了一維波動方程初值問題，但是只研究一維波動方程遠不能滿

16、足理論和工程技術(shù)的要求。例如，平面上薄膜的振動和淺水面上波的傳播等現(xiàn)象可用二維波動方程來描述；在研究交變磁場時就要討論三維波動方程。因此，對高維空間中波動方程的研究十分重要。但是以前我們對波動方程初值問題 (3.1)的高維研究基本上集中在二維和三維的情形。而在求解三維齊次波動方程的初值問題時通常利用球?qū)ΨQ性把高維化為一維容易求解的球面平均法，此方法的代表為克茲豪夫（）公式4，而求解二維波動方程的初值問題時通常采用降維法，即如果把(3.1)的未知函數(shù)和初始函數(shù)都看作關(guān)于空間變量在三維空間上定義的函數(shù)，但與三維空間中的第三個分量無關(guān)，則由公式的推導過程可知，此時所得的克茲豪夫公式將不含變量，且滿足

17、波動方程（3.1），這樣即可求解二維波動方程。此方法最早由阿達瑪（）提出5。下面我們對一般的（）維空間來討論波動方程初值問題(3.1)的求解方法。當空間維數(shù)為奇數(shù)時，我們通過適當?shù)淖儞Q將波動方程轉(zhuǎn)換為熱傳導方程，利用熱傳導方程的解導出波動方程的解；當空間維數(shù)為偶數(shù)時，我們?nèi)杂媒稻S法得到所需的解。由于在求解過程中需要用到熱傳導方程的一些結(jié)果，為此，我們先介紹有關(guān)熱傳導方程的某些結(jié)論，然后再來討論高維空間中波動方程的求解問題。3.1 熱傳導方程的基本理論3.1.1 熱傳導方程的基本解考慮高維齊次熱傳導方程： (3.2)其中，=，拉普拉斯（）算子是關(guān)于空間變量起作用，即。不難驗證，函數(shù)滿足(3.2)

18、，我們稱函數(shù)為熱傳導方程的基本解6。注意：點是函數(shù)的奇點，當基本解是徑向?qū)ΨQ時，我們也記，。熱傳導方程的基本解具有如下重要的性質(zhì)：定理3.1. 設(shè)函數(shù)為熱傳導方程的基本解，則對每一時間，有 證明： = 13.1.2 齊次熱傳導方程的初值問題考察高維空間中齊次熱傳導方程的初值問題： (3.3)這里，初始數(shù)據(jù)。我們可以利用熱傳導方程的基本解來構(gòu)造初值問題(3.3)的解。由于當，函數(shù)為熱傳導方程的解，因此固定，關(guān)于的函數(shù)也是熱傳導方程的解。于是，作卷積：= = (3.4)可以證明(3.4)是初值問題(3.3)的解。即有下面的定理。定理3.2.7 設(shè)，函數(shù)由(3.4)給出，則(1) ;(2) ;(3)

19、 = .3.1.3 非齊次熱傳導方程的初值問題考慮如下形式的非齊次熱傳導方程 (3.5)與求解齊次熱傳導方程初值問題類似，容易發(fā)現(xiàn)，當固定時，函數(shù)是齊次熱傳導方程的解。于是，函數(shù)=是如下初值問題的解。 (3.6)根據(jù)齊次化原理8，考慮函數(shù)=，即有= (3.7)可以證明(3.7)是初值問題(3.5)的解。即有下面的定理：定理3.3.9 設(shè)，并且具有緊支集，即。函數(shù)由(3.7)定義，則(1) ;(2) ;(3) = .注：若給定函數(shù)和滿足如上兩個定理中的條件，利用定理3.2和定理3.3，我們可以證明函數(shù)=+ (3.8)是如下非齊次熱傳導方程初值問題的解。 (3.9)3.2 高維空間中求解波動方程的

20、間接方法3.2.1 空間維數(shù)為奇數(shù)時的求解方法假設(shè)為如下初值問題的有界光滑解： (3.10)其中為奇數(shù)，是光滑且具有緊支集的函數(shù)。我們延拓函數(shù)到負時間上，并記 （） (3.11)則 我們定義： (3.12) = 因此， 且在上一致收斂。此外 = = = =于是波動方程(3.10)化為如下形式該問題即是我們在上節(jié)中討論過的熱傳導方程的初值問題。由公式(3.4)知該問題的解為 (3.13)綜合(3.11)、(3.12)和(3.13)，并設(shè)，得等式 所以，對于一切，都有= = 即= (3.14)其中， (3.15)我們利用 (3.14)和(3.15)來求出解。記，注意到，因此 =將上式代入(3.14

21、)，并將(3.14)左端的用來代替，化簡得：在上式中，我們把看成，并把等式看成是關(guān)于的函數(shù)，觀察等式發(fā)現(xiàn)它實質(zhì)上就是一個拉普拉斯變換10。我們計算可得 (3.16)由于，利用，11。所以 (3.17)將(3.17)代入(3.16)，得 = =即= (3.18)這樣，就得到了當空間維數(shù)為奇數(shù)時波動方程初值問題(3.10)的解。從求解的過程來看，我們主要是通過化歸將該條件下的波動方程轉(zhuǎn)換成熱傳導方程，然后利用熱傳導方程的解導出波動方程的解。3.2.2 空間維數(shù)為偶數(shù)時的求解方法對于（3.10）的初值問題，現(xiàn)假設(shè)為偶數(shù)。由于維空間中波動方程的解我們沒有得到，但是（奇數(shù)）維中波動方程的初值問題的解我們

22、是計算過的，于是我們可以把求解（偶數(shù)）維空間中的初值問題轉(zhuǎn)換到（奇數(shù)）維空間中的初值問題的求解上來。假設(shè)是初值問題（3.10）的解，。我們記所以（3.10）式就表示成了 (3.19)其中，由于是奇數(shù)，問題就轉(zhuǎn)換成了求解空間維數(shù)為奇數(shù)時波動方程的初值問題，在前面已經(jīng)得到其解為= 這里我們用代替得到 = (3.20)其中表示空間中以為圓心，為半徑的球，表示維球面上的測度。所以有 =(3.21)其中，分子“2”表示由兩個半球組成。觀察得=代入（3.21），得 =將上式代入（3.20）可得由高維空間中空間維數(shù)為奇數(shù)時的求解過程知：，且，我們可得。代入上式得到空間維數(shù)為偶數(shù)時初值問題的解為 (3.22)

23、其中為偶數(shù)，。上面，我們在求解高維空間中空間維數(shù)為偶數(shù)時波動方程的初值問題時，是把（為偶數(shù)）維看成（為奇數(shù)）維空間上來求解的，而在維上我們可以直接寫出初值問題的解，然后通過降一維的方法得到維空間上波動方程的初值問題的解的結(jié)果。這種求解方法稱為降維法。3.2.3 非齊次波動方程的解前面兩節(jié)中，我們都只是考慮齊次條件下的波動方程的初值問題，下面我們把非齊次條件下波動方程的初值問題稍做討論?？疾旄呔S空間中非齊次波動方程的初值問題 (3.23)我們定義是如下初值問題的解 (3.24)設(shè) 根據(jù)法則（也稱齊次化原理或沖量原理）8可以證明上式是問題（3.23）的一個解12。重慶郵電學院本科畢業(yè)論文 4結(jié)束語

24、4.結(jié) 束 語前面我們從討論求解波動方程的間接方法著手，分別給出了在一維空間和高維空間中求解波動方程的兩種間接方法。在一維空間中，我們給出的間接方法是算子因式分解法。雖然它跟我們平時用的方法不一樣，但最終思想都是為了得到公式，然后用它得到所求一維波動方程的形式解。從解的形式可以看出：一維波動方程的解都具有如下形式只要我們找到合適的和，都可以得到形如的解。通過觀察也可以看出，一維波動方程的解其實是的解和的解的和，只要得到以上兩個方程的解，然后用疊加原理就可以得到的解，這就回答了我們?yōu)槭裁匆岩痪S波動方程用因式分解法分解成和兩部分的原因。從求解的過程得知此法也僅僅適用于一維波動方程，對于高維波動方

25、程的求解它并不適用。在高維空間中，我們是把空間分成奇數(shù)維和偶數(shù)維來討論的?？臻g維數(shù)為奇數(shù)時是通過適當?shù)淖儞Q把波動方程化歸為熱傳導方程，利用熱傳導方程的解導出波動方程的解；空間維數(shù)為偶數(shù)時，我們是把維數(shù)加一維，讓它變成我們求過的奇數(shù)維的情況，然后由它得到波動方程的解，即我們稱的降維法。另外，在對高維空間中波動方程的討論時，本文提出的方法只適合特殊情況的情形，對于我們更普遍的形式并不適用。因為在時，利用該方法不能將波動方程化歸為熱傳導方程，從而得不到所求波動方程的解。通過完成本次畢業(yè)論文，讓我熟悉了做科研的一系列步驟。學會了如何查閱、提取及篩選資料等工作，在完成的過程中，不光學到了扎實、寬廣的專業(yè)

26、知識，同時也學到做人的道理。由于知識及能力的有限，在該次設(shè)計中，不免出現(xiàn)不完善或錯誤的地方，望諒解并指正。重慶郵電學院本科畢業(yè)論文 致 謝致 謝本文的研究工作是在我的導師胡學剛老師的精心指導和悉心關(guān)懷下完成的，在我的學業(yè)和論文的研究工作中無不傾注著導師辛勤的汗水和心血。胡老師嚴謹治學態(tài)度、淵博的知識、無私的奉獻精神使我深受的啟迪。從他身上，我不僅學到了扎實、寬廣的專業(yè)知識，也學到了做人的道理。在此我要向我的導師致以最衷心的感謝和深深的敬意。在大學四年的學習生活中，還得到了許多領(lǐng)導和老師的熱情關(guān)心和幫助，如安世全、楊春德、鄭基明等教授。在寫這篇論文的過程中也得到了老師和同學的熱心幫助和支持，如李

27、玲老師等。在此，向所有關(guān)心和幫助過我的領(lǐng)導、老師、同學和朋友表示由衷的謝意！衷心地感謝在百忙之中評閱論文和參加答辯的各位專家、教授！ 向 峰 2004年6月 于重慶重慶郵電學院本科畢業(yè)論文 參考文獻參 考 文 獻1 謝鴻政, 楊楓林. 數(shù)學物理方程(第一版). 科學出版社, 2003. P107-129.2 南京工學院數(shù)學教研組. 數(shù)學物理方程與特殊函數(shù)(第二版). 高等教育出版社, 1982.4.P75-83.3 汪德新. 數(shù)學物理方法(第二版). 華中科技大學出版社, 2001. P150-155.4 Lawrence C.Evans. Partial Differential Equat

28、ions. Rhode Island, 1998. P71-73.5 陳祖墀.偏微分方程（第二版）. 中國科學技術(shù)大學出版社, 2003.6 F.John. Partial Differential Equations.(4th ed.). Springer.7 A. Friedman. Partial Differential Equations of Parabolic Type.Prentice-Hall.1964.8 Lawrence C.Evans. Partial Differential Equations. Rhode Island, 1998. P49.9 Lawrence

29、C.Evans. Partial Differential Equations. Rhode Island, 1998. P50-51.10 梁昆淼. 數(shù)學物理方法(第三版). 高等教育出版社, 1998. P114-128.11 W.Rudin. Principles of Mathematical Analysis (3rd ed.). McGraw-Hill, 1976.12 G.Folland. Introduction to Partial Differential Equations. Princeton University Press,1976。13 R.Courant and D.Hilbert. Methods of Mathematical Physics, Vol.2.Wiley-Interscience, 1962.14 P.Garabedian. Partial Di