高二數(shù)學(xué)橢圓知識(shí)點(diǎn)整理

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案第 1 講課題：橢圓課型：復(fù)習(xí)鞏固上課時(shí)間： 2013 年 10 月 3 日教學(xué)目標(biāo)：（1）了解圓錐曲線的來歷；（2）理解橢圓的定義；（3）理解橢圓的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程；（4 ）掌握橢圓離心率的計(jì)算方法；（5）掌握有關(guān)橢圓的參數(shù)取值范圍的問題；教學(xué)重點(diǎn)：橢圓方程、離心率；教學(xué)難點(diǎn)：與橢圓有關(guān)的參數(shù)取值問題；知識(shí)清單一、橢圓的定義：(1) 橢圓的第一定義 :平面內(nèi)與兩定點(diǎn) F1、 F2 的距離和等于常數(shù) 2a (大于 F 1F2 ）的點(diǎn)的軌跡叫做 橢圓 .說明：兩個(gè)定點(diǎn)叫做橢圓的 焦點(diǎn)；兩焦點(diǎn)間的距離叫做橢圓的焦距 2c .(2) 橢圓的第二定義：平面上到定點(diǎn)的距離與到定直線的距離之比為常

2、數(shù) e ，當(dāng) 0 e 1時(shí)，點(diǎn)的軌跡是橢圓 . 橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離可以轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離 .二、橢圓的數(shù)學(xué)表達(dá)式：PF1PF22a 2aF1 F20 ;MP PF1PF22a, 2aF1F2 0 .三、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案x2y21 ab0 ；焦點(diǎn)在 x 軸:2b2a焦點(diǎn)在y軸 :y2x21 ab0 .a2b2說明： a 是長半軸長，b 是短半軸長，焦點(diǎn)始終在長軸所在的數(shù)軸上，且滿足a2b2c2 .四、二元二次方程表示橢圓的充要條件方程 Ax 2By 2C A、 B、 C均不為零，且 A B 表示橢圓的條件：上式化為 Ax 2By21，x 2y21.所以，只有 A、B、C 同號(hào)

3、，且 A BCCCCAB時(shí)，方程表示橢圓；當(dāng) CC 時(shí)，橢圓的焦點(diǎn)在 x 軸上；當(dāng) CC 時(shí)，ABAB橢圓的焦點(diǎn)在 y 軸上 .五、橢圓的幾何性質(zhì)（以x2y21ab0 為例）a2b21.范圍 :由標(biāo)準(zhǔn)方程可知，橢圓上點(diǎn)的坐標(biāo)x, y 都適合不等式22x21, y21，即 xa, yb 說明橢圓位于直線 xa 和 yb 所圍成的ab矩形里（封閉曲線） .該性質(zhì)主要用于求最值、軌跡檢驗(yàn)等問題.2. 對(duì)稱性 : 關(guān)于原點(diǎn)、 x 軸、 y 軸對(duì)稱，坐標(biāo)軸是橢圓的對(duì)稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對(duì)稱中心。3. 頂點(diǎn)（橢圓和它的對(duì)稱軸的交點(diǎn)） 有四個(gè)：A1a,0 、 A2 a,0 、 B1 0, b 、 B2 0,b

4、 .4. 長軸、短軸： A1A2 叫橢圓的長軸， A1 A2 2a, a 是長半軸長； B1B2 叫橢圓的短軸， B1B2 2b, b 是短半軸長 .文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案5. 離心率（ 1）橢圓焦距與長軸的比ec ， a c 0, 0 e 1 （ 2）aRt OB2 F2 , B2F2 2OB2 2OF2 2 ，即 a 2b2c2 .這是橢圓的特征三角形，并且 cosOF2 B2 的值是橢圓的離心率 .（3 ）橢圓的圓扁程度由離心率的大小確定， 與焦點(diǎn)所在的坐標(biāo)軸無關(guān).當(dāng) e 接近于 1 時(shí)， c 越接近于 a ，從而 ba2c2越小，橢圓越扁；當(dāng) e接近于 0 時(shí)， c 越接近于 0 ，從而 b

5、a2c2 越大，橢圓越接近圓；當(dāng) e0 時(shí)， c0, ab，兩焦點(diǎn)重合，圖形是圓.26.通徑（過橢圓的焦點(diǎn)且垂直于長軸的弦） ，通徑長為 2b.a7. 設(shè) F1、 F2 為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)， P 為橢圓上一點(diǎn)，當(dāng) P、 F1、 F2 三點(diǎn)不在同一直線上時(shí)，P、 F1、 F2 構(gòu)成了一個(gè)三角形焦點(diǎn)三角形 . 依橢圓的定義知： PF1PF22a, F1F22c .例題選講一、選擇題1 橢圓 x 24y 21的離心率為（）A 3B 3C2D 224232 設(shè) p 是橢圓 x2y21上的點(diǎn)若 F1，F(xiàn)2 是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則2516PF1 PF2 等于（）A 4B5C 8D103 若焦點(diǎn)在 x 軸上的橢

6、圓 x 2y 21 的離心率為 1 ，2m2則 m= （）A 3B 3C 8D 2233文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案x2y 2 1 上，頂點(diǎn) A 是橢圓的一個(gè)4 已知ABC 的頂點(diǎn) B、C 在橢圓3焦點(diǎn)，且橢圓的另外一個(gè)焦點(diǎn)在 BC 邊上，則ABC 的周長是（）A2 3B6C4 3D125 如圖，直線 l : x2 y 2 0 過橢圓的左焦點(diǎn)F1 和 一個(gè)頂點(diǎn) B，該橢圓的離心率為（）A 1B 2C5D2 555556 已知 F1、F2 是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過 F1 且與橢圓長軸垂直的直線交橢圓于 A 、B 兩點(diǎn)，若ABF 2是正三角形，則這個(gè)橢圓的離心率是 （）A2B 3C2D 333227 已知以 F1

7、（ -2,0 ），F(xiàn)2（2,0 ）為焦點(diǎn)的橢圓與直線 x3y 4 0有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則橢圓的長軸長為（）A3 2B2 6C2 7D4 2二、填空題：8 在 ABC 中，A 90o ， tan B3 若以 A， B 為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過4點(diǎn) C ，則該橢圓的離心率 e9 已知橢圓中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為F（ 2 3 ，0 ），且長軸長是短軸長的 2 倍，則該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是10 在平面直角坐標(biāo)系 xOy 中，已知ABC 頂點(diǎn) A( 4,0) 和 C (4,0) ，頂點(diǎn)B 在橢圓 x2y 21上，則 sin A sin C.259sin B11 橢圓 x 24y 24 長軸上一個(gè)頂點(diǎn)為 A ，以 A

8、為直角頂點(diǎn)作一個(gè)內(nèi)接于橢圓的等腰直角三角形，該三角形的面積是三、解答題12 已知橢圓 mx23 y26m0 的一個(gè)焦點(diǎn)為（ 0 ，2 ）求 m 的值13 已知橢圓的中心在原點(diǎn)，且經(jīng)過點(diǎn)P 3，0 ， a3b ，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案14 已知方程x2y2k 531表示橢圓，求 k 的取值范圍k15 已知 x 2 siny 2 cos1 (0) 表示焦點(diǎn)在 y 軸上的橢圓，求的取值范圍16. 求中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，且經(jīng)過A( 3, 2)和B( 23 ,1)兩點(diǎn)的橢圓方程導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用知識(shí)點(diǎn)總結(jié)一、導(dǎo)數(shù)的概念和幾何意義1.函數(shù)的平均變化率：函數(shù)f (x) 在區(qū)間 x1, x2 上的

9、平均變化率為：f ( x2 )f ( x1 ) 。x2x12.導(dǎo)數(shù)的定義：設(shè)函數(shù)yf ( x) 在區(qū)間 (a,b) 上有定義， x0 ( a, b) ，若 x 無限趨近于y f ( x0x)f (x0 )x0 處可導(dǎo)，0 時(shí)，比值x無限趨近于一個(gè)常數(shù) A，則稱函數(shù) f (x) 在 xx并稱該常數(shù) A 為函數(shù)f (x) 在 xx0 處的導(dǎo)數(shù)，記作 f (x0 ) 。函數(shù) f (x) 在 xx0 處的導(dǎo)數(shù)的實(shí)質(zhì)是在該點(diǎn)的瞬時(shí)變化率。3. 求函數(shù)導(dǎo)數(shù)的基本步驟：（ 1 ）求函數(shù)的增量yf ( x0x)f ( x0 ) ；（ 2 ）求平均變化率： f ( x0x)f (x0 ) ；（ 3）取極限，當(dāng)x

10、 無限趨近與0 時(shí)， f ( x0x)f ( x0 ) 無限趨xx近與一個(gè)常數(shù)A，則 f (x0 ) A .4. 導(dǎo)數(shù)的幾何意義：函數(shù) f (x) 在 xx0 處的導(dǎo)數(shù)就是曲線yf (x) 在點(diǎn) ( x0 , f ( x0 ) 處的切線的斜率。由此，可以利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，具體求法分兩步：（ 1）求出 y f ( x) 在 x0 處的導(dǎo)數(shù)，即為曲線 y f (x) 在點(diǎn) (x0 , f ( x0 ) 處的切線的斜率；（ 2）在已知切點(diǎn)坐標(biāo)和切線斜率的條件下，求得切線方程為y y0 f ( x0 )( x x0 ) 。文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案當(dāng)點(diǎn) P(x0 , y0 ) 不在 yf ( x) 上時(shí)

11、，求經(jīng)過點(diǎn) P 的 yf ( x) 的切線方程，可設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，由切點(diǎn)坐標(biāo)得到切線方程，再將 P 點(diǎn)的坐標(biāo)代入確定切點(diǎn)。特別地， 如果曲線 yf ( x) 在點(diǎn)( x0 , f ( x0 ) 處的切線平行與y 軸，這時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在，根據(jù)切線定義，可得切線方程為x x0 。5. 導(dǎo)數(shù)的物理意義：質(zhì)點(diǎn)做直線運(yùn)動(dòng)的位移S 是時(shí)間 t 的函數(shù) S(t) ，則 VS (t ) 表示瞬時(shí)速度，a v (t ) 表示瞬時(shí)加速度。二、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算1. 常見函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：（ 1） (kx b) k (k , b 為常數(shù) ) ；（ 3） ( x)1 ；（ 5） ( x3 )3x2 ；（ 7） ( x )1；2x（ 9）

12、(a x )a x ln a (a 0, a 1) ；x)x；（ 11 ） (ee（2） C0(C為常數(shù) )；（4 ） ( x2 )2x；（6） (1)12 ；xx（8 ）( x)x 1（ 為常數(shù)）；（10 ） (log a x)1 loga e1 ( a 0,a 1)；xxln a（ 12 ） (ln x)1x ；（ 13 ） (sin x)cos x ；（ 14 ） (cos x)sin x 。2. 函數(shù)的和、差、積、商的導(dǎo)數(shù)：（ 1 ） f ( x) g (x)f (x)g ( x) ；（2 ） Cf (x) Cf(x) （ C 為常數(shù)）；（ 3 ） f ( x)g ( x)f ( x)

13、 g( x)f ( x)g (x) ; （ 4 ） f (x)f ( x) g( x)2f ( x)g ( x)( g ( x) 0) 。g ( x)g( x)3. 簡單復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：若 yf (u), uaxb ，則 yxyu ux ，即 yxyua 。三、導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1. 求函數(shù)的單調(diào)性：文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本方法：設(shè)函數(shù)y f ( x) 在區(qū)間 (a, b) 內(nèi)可導(dǎo)，（ 1 ）如果恒 f ( x)0 ，則函數(shù) yf ( x)在區(qū)間 (a,b) 上為增函數(shù)；（ 2 ）如果恒 f ( x)0 ，則函數(shù) yf ( x)在區(qū)間 (a,b) 上為減函數(shù)；（ 3 ）如果恒 f (

14、 x)0 ，則函數(shù) yf ( x)在區(qū)間 (a,b) 上為常數(shù)函數(shù)。利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)性的基本步驟：求函數(shù)yf ( x) 的定義域；求導(dǎo)數(shù)f (x) ；解不等式f ( x)0 ，解集在定義域內(nèi)的不間斷區(qū)間為增區(qū)間；解不等式f (x)0 ，解集在定義域內(nèi)的不間斷區(qū)間為減區(qū)間。反過來 , 也可以利用導(dǎo)數(shù)由函數(shù)的單調(diào)性解決相關(guān)問題（如確定參數(shù)的取值范圍）：設(shè)函數(shù) yf ( x) 在區(qū)間 (a,b) 內(nèi)可導(dǎo)，(1) 如果函數(shù)yf (x) 在區(qū)間 (a, b) 上為增函數(shù) ,則 f ( x)0 ( 其中使f ( x)0 的 x 值不構(gòu)成區(qū)間 )；(2)如果函數(shù)yf ( x) 在區(qū)間 (a,b) 上為減函

15、數(shù),則 f (x)0 ( 其中使f ( x)0 的 x 值不構(gòu)成區(qū)間 )；(3)如果函數(shù)yf ( x) 在區(qū)間 ( a, b) 上為常數(shù)函數(shù),則 f ( x)0 恒成立。2. 求函數(shù)的極值：設(shè)函數(shù) yf (x) 在 x0 及其附近有定義，如果對(duì)x0 附近的所有的點(diǎn)都有f ( x)f ( x0 ) （或f ( x)f (x0 ) ），則稱f (x0 ) 是函數(shù)f ( x) 的極小值（或極大值） ?？蓪?dǎo)函數(shù)的極值，可通過研究函數(shù)的單調(diào)性求得，基本步驟是：（ 1）確定函數(shù)f ( x) 的定義域；（ 2 ）求導(dǎo)數(shù)f (x) ；（ 3 ）求方程f ( x)0 的全部實(shí)根，x1x2Lxn ，順次將定義域分

16、成若干個(gè)小區(qū)間，并列表：x 變化時(shí)，f ( x) 和 f ( x) 值的變化情況：x(, x1 )x1( x1 , x2 )xn(xn ,)文檔實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)文案f (x)正負(fù)0正負(fù)0正負(fù)f (x)單調(diào)性單調(diào)性單調(diào)性（ 4 ）檢查 f (x) 的符號(hào)并由表格判斷極值。3. 求函數(shù)的最大值與最小值：如果函數(shù) f ( x) 在定義域I 內(nèi)存在 x0 ，使得對(duì)任意的 x I ，總有 f ( x) f (x0 ) ，則稱 f (x0 )為函數(shù)在定義域上的最大值。函數(shù)在定義域內(nèi)的極值不一定唯一，但在定義域內(nèi)的最值是唯一的。求函數(shù) f (x) 在區(qū)間 a, b 上的最大值和最小值的步驟：（ 1 ）求 f ( x) 在區(qū)間 (a, b) 上的極值；（ 2 ）將第一步中求得的極值與f (a), f (b) 比較，得到f (x) 在區(qū)間 a, b 上的最大值與最小值。4. 解決不等式的有關(guān)問題：（ 1）不等式恒成立問題（絕對(duì)不等式問題）可考慮值域。f ( x)( xA) 的值域是 a, b 時(shí)，不等式f ( x)0 恒成立的充要條件是f ( x)max 0 ，即b 0 ；不等式f ( x)0 恒成立的充要條件是f ( x)min0 ，即 a 0 。f ( x)( xA) 的值